福建省龙岩市2024届高中毕业班三月质量检测数学试题含答案

龙岩市2024年高中毕业班三月教学质量检测数学试题（满分：150分考试时间：120分钟）注意事项：1.考生将自己的姓名､准考证号及所有的答案均填写在答题卡上，2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.已知复数满足，则（）A.B.C.-8D.83.已知互相垂直的平面交于直线，若直线满足，则（）A.B.C.D.4.已知向量，则（）A.B.C.D.5.的展开式中的系数为（）A.-91B.-21C.14D.496.已知，则的值为（）A.B.C.D.27.已知直线与抛物线相交于两点，以为直径的圆与抛物线的准线相切于点，则（）A.4B.C.5D.68.已知函数的定义域为，且，，则（）A.B.为奇函数C.D.的周期为3二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则10.已知点与圆是圆上的动点，则（）A.的最大值为B.过点的直线被圆截得的最短弦长为C.D.的最小值为11.如图，在棱长为2的正方体中，已知分别是棱的中点，点满足，下列说法正确的是（）A.不存在使得B.若四点共面，则C.若，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为D.若，由平面分割该正方体所成的两个空间几何体和，某球能够被整体放入或，则该球的表面积最大值为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.定义在上的函数满足，且在上单调递减，则不等式的解集为__________.13.在中，为上一点，为的角平分线，则__________.14.斜率为-1的直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的一点，且满足，点分别是的重心，点是的外心.记直线的斜率分别为，若，则椭圆的离心率为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人.某市医院传染病科从该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人，并调查其患病情况，将调查结果整理如下：有慢性疾病没有慢性疾病未感染支原体肺炎6080感染支原体肺炎4020（1）试根据小概率值的独立性检验，分析70岁以上老年人感染支原体肺炎与自身慢性疾病是否有关？（2）用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，从本市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽取3人，设抽取的3人中感染支原体肺炎的人数为，求的分布列和数学期望.附：.0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82816.（本题满分15分）如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，设平面平面.（1）作出（不要求写作法）；（2）线段上是否存在一点，使平面？请说明理由；（3）若，求平面与平面的夹角的余弦值.17.（本题满分15分）设等差数列的公差为，令，记分别为数列的前项和.（1）若，求数列的通项公式；（2）若数列是公比为正数的等比数列，，，求数列的前项和.18.（本题满分17分）已知函数是大于0的常数，记曲线在点处的切线为在轴上的截距为.（1）若函数，求的单调区间；（2）当时，求的取值范围.19.（本题满分17分）已知双曲线是双曲线的左顶点，直线.（1）设直线过定点，且交双曲线于两点，求证：直线与的斜率之积为定值；（2）设直线与双曲线有唯一的公共点.（i）已知直线与双曲线的两条渐近线相交于两点，求证：；（ii）过点且与垂直的直线分别交轴､轴于两点，当点运动时，求点的轨迹方程.龙岩市2024年高中毕业班三月教学质量检测数学试题参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678选项BADCDACC二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．题号91011选项ACACDACD简析：令，得或，当时不合题意，故，所以A错误；令得，故为偶函数，所以B错误；令，得，所以，所以，所以的周期为6，所以D错误；令，得，所以，所以，故C正确．11．简析：对于A，如图（1）：易知,故不可能为直角三角形的斜边，所以不存在，所以A正确；对于B，如图（2），延展平面，易知平面过的中点，所以，故B错误；对于C，如图（1），若，图（1）取的三等分点（靠近），图（1）的中点,易得平面平面，所以即为的轨迹，计算得，所以C正确；对于D，易知，该球是以为顶点，底面为正六边形的正六棱锥相切的球，由等体积法可得该球的半径为，所以该球的表面积最大为，所以D正确．图（2）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．图（2）12．13．14．14．简析：恰好是线段的中点，，记线段的中点分别为，易得，.由点差法可得，，相乘得，化简得，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分．15．（本题满分13分）解：（1）假设70岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病无关．则， 3分 5分（2）由已知得， 7分所以随机变量的分布列为：0123 11分所以 13分16．（本题满分15分）解：（1）如图所示即为所作； 3分（2）存在为的中点，使平面．证明如下：延长交的延长线于点，连接，.，，即为的中点.又为的中点，，平面，平面，平面．即线段上存在一点，使平面． 8分（3）分别取、中点、，连接、，，，又,,,平面,平面，面，.，为中点，.以为原点，以，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 10分，，，，，设向量为平面的一个法向量，则取，得，又为平面的一个法向量， 13分设平面与平面的夹角为，，平面与平面的夹角的余弦值为． 15分17．（本题满分15分）解：（1），，，即，， 3分又，，，，解得：或，又，. 7分（2）设数列公比为，，，，又， 10分①②①-②：， 15分18．（本题满分17分）解：（1）函数的定义域为， 2分①当时，，在区间上单调递增. 4分②当时，由，得，在区间上单调递增；由，得，在区间上单调递减. 6分综上：时，的增区间为，无减区间；当时，的增区间为，减区间为. 7分（2），切线方程为：， 10分令，得，，，又，， 12分又由，得，即令， 14分则，当时，，当时，；在区间单调递增，在区间单调递减，而，的取值范围是 17分19．（本题满分17分）解：（1）因为直线过定点，所以， 1分由消去，得，，设，则 4分直线的斜率，所以即直线与的斜率之积为定值. 7分（2）因为直线与双曲线有唯一的公共点，所以直线与双曲线相切.由，消去，得由题