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【创优导学案】届高考数学总复习第四章三角函数与解三角形4-1课后巩固提升(含解析)新人教A版(对应学生用书P329解析为教师用书独有)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)1.已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边中点,且2eq\o(OA,\s\up10(→))+eq\o(OB,\s\up10(→))+eq\o(OC,\s\up10(→))=0,那么 ()A.eq\o(AO,\s\up10(→))=eq\o(OD,\s\up10(→)) B.eq\o(AO,\s\up10(→))=2eq\o(OD,\s\up10(→))C.eq\o(AO,\s\up10(→))=3eq\o(OD,\s\up10(→)) D.2eq\o(AO,\s\up10(→))=eq\o(OD,\s\up10(→))解析A由题意可得eq\o(OB,\s\up10(→))+eq\o(OC,\s\up10(→))=2eq\o(OD,\s\up10(→)),又2eq\o(OA,\s\up10(→))+eq\o(OB,\s\up10(→))+eq\o(OC,\s\up10(→))=0,得eq\o(OB,\s\up10(→))+eq\o(OC,\s\up10(→))=-2eq\o(OA,\s\up10(→)),所以2eq\o(OD,\s\up10(→))=-2eq\o(OA,\s\up10(→)),即eq\o(AO,\s\up10(→))=eq\o(OD,\s\up10(→)).2.已知向量a、b且eq\o(AB,\s\up10(→))=a+b,eq\o(BC,\s\up10(→))=2a-3b,eq\o(CD,\s\up10(→))=2a+7b,则一定共线的三点是 ()A.A、B、D B.A、B、CC.B、C、D D.A、C、D解析A∵eq\o(AB,\s\up10(→))=a+b,eq\o(BC,\s\up10(→))=2a-3b,eq\o(CD,\s\up10(→))=2a+7b,∴Aeq\o(D,\s\up10(→))=eq\o(AB,\s\up10(→))+eq\o(BC,\s\up10(→))+eq\o(CD,\s\up10(→))=5a+5b=5eq\o(AB,\s\up10(→)),∴eq\o(AB,\s\up10(→))∥Aeq\o(D,\s\up10(→)),故A、B、D三点共线.3.给出下列命题:①两个具有公共终点的向量一定是共线向量;②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小;③λa=0(λ为实数),则λ必为零;④λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.其中错误命题的个数为 ()A.1 B.2C.3 D.4解析C①错,两向量共线要看其方向,而不是起点与终点;②对,因为向量既有大小,又有方向,故它们不能比较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大小;③错,当a=0时,不论λ为何值,λa=0;④错,当λ=μ=0时,λa=μb,此时,a与b可以是任意向量.4.(·皖南八校联考)对于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析A若a+b=0,则a=-b,所以a∥b.若a∥b,则a=λb,a+b=0不一定成立,故选A.5.(·郑州模拟)在△ABC中,eq\o(AB,\s\up10(→))=c,eq\o(AC,\s\up10(→))=b,若点D满足eq\o(BD,\s\up10(→))=2eq\o(DC,\s\up10(→)),则eq\o(AD,\s\up10(→))= ()A.eq\f(2,3)b+eq\f(1,3)c B.eq\f(5,3)c-eq\f(2,3)bC.eq\f(2,3)b-eq\f(1,3)c D.eq\f(1,3)b+eq\f(2,3)c解析A画图易知eq\o(BC,\s\up10(→))=eq\o(AC,\s\up10(→))-eq\o(AB,\s\up10(→))=b-c,eq\o(BD,\s\up10(→))=eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up10(→))=eq\f(2,3)(b-c),∴eq\o(AD,\s\up10(→))=eq\o(AB,\s\up10(→))+eq\o(BD,\s\up10(→))=c+eq\f(2,3)(b-c)=eq\f(2,3)b+eq\f(1,3)c.6.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若eq\o(AD,\s\up10(→))=2eq\o(DB,\s\up10(→)),eq\o(CD,\s\up10(→))=eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up10(→))+λeq\o(CB,\s\up10(→)),则λ= ()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,3)C.-eq\f(1,3) D.-eq\f(2,3)解析A由eq\o(AD,\s\up10(→))=2eq\o(DB,\s\up10(→)),得eq\o(CD,\s\up10(→))=eq\o(CA,\s\up10(→))+eq\o(AD,\s\up10(→))=eq\o(CA,\s\up10(→))+eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up10(→))=eq\o(CA,\s\up10(→))+eq\f(2,3)(eq\o(CB,\s\up10(→))-eq\o(CA,\s\up10(→)))=eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up10(→))+eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up10(→)),结合eq\o(CD,\s\up10(→))=eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up10(→))+λeq\o(CB,\s\up10(→)),知λ=eq\f(2,3).二、填空题(本大题共3小题,每小题8分,共24分)7.如图所示,在平行四边形ABCD中,下列结论中正确的是.①eq\o(AB,\s\up10(→))=eq\o(DC,\s\up10(→)); ②eq\o(AD,\s\up10(→))+eq\o(AB,\s\up10(→))=Aeq\o(C,\s\up10(→));③eq\o(AB,\s\up10(→))-eq\o(AD,\s\up10(→))=eq\o(BD,\s\up10(→)); ④eq\o(AD,\s\up10(→))+eq\o(CB,\s\up10(→))=0.解析①显然正确;由平行四边形法则知②正确;eq\o(AB,\s\up10(→))-eq\o(AD,\s\up10(→))=Deq\o(B,\s\up10(→)),故③不正确;eq\o(AD,\s\up10(→))+eq\o(CB,\s\up10(→))=eq\o(AD,\s\up10(→))+eq\o(DA,\s\up10(→))=0,故④正确.【答案】①②④8.设四边形ABCD中,有eq\o(DC,\s\up10(→))=eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up10(→)),且|eq\o(AD,\s\up10(→))|=|eq\o(BC,\s\up10(→))|,则这个四边形是.解析由eq\o(DC,\s\up10(→))=eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up10(→))知四边形ABCD是梯形,又|eq\o(AD,\s\up10(→))|=|eq\o(BC,\s\up10(→))|,所以四边形ABCD是等腰梯形.【答案】等腰梯形9.在▱ABCD中,eq\o(AB,\s\up10(→))=a,eq\o(AD,\s\up10(→))=b,eq\o(AN,\s\up10(→))=3eq\o(NC,\s\up10(→)),M为BC的中点,则eq\o(MN,\s\up10(→))=(用a,b表示).解析由eq\o(AN,\s\up10(→))=3eq\o(NC,\s\up10(→))得4eq\o(AN,\s\up10(→))=3eq\o(AC,\s\up10(→))=3(a+b),eq\o(AM,\s\up10(→))=a+eq\f(1,2)b,所以eq\o(MN,\s\up10(→))=eq\f(3,4)(a+b)-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a+\f(1,2)b))=-eq\f(1,4)a+eq\f(1,4)b.【答案】-eq\f(1,4)a+eq\f(1,4)b三、解答题(本大题共3小题,共40分)10.(12分)在正六边形ABCDEF中,eq\o(AB,\s\up10(→))=a,eq\o(AF,\s\up10(→))=b,求eq\o(AC,\s\up10(→)),eq\o(AD,\s\up10(→)),eq\o(AE,\s\up10(→)).解析如图所示,连结FC交AD于点O,连结BE、EC,由平面几何知识得四边形ABOF及四边形ABCO均为平行四边形.根据向量的平行四边形法则,有eq\o(AO,\s\up10(→))=eq\o(AB,\s\up10(→))+eq\o(AF,\s\up10(→))=a+b.在▱ABCO中,eq\o(AC,\s\up10(→))=eq\o(AB,\s\up10(→))+eq\o(AO,\s\up10(→))=a+a+b=2a+b,故eq\o(AD,\s\up10(→))=2eq\o(AO,\s\up10(→))=2a+2b.而eq\o(BC,\s\up10(→))=eq\o(AO,\s\up10(→))=eq\o(FE,\s\up10(→))=a+b,由三角形法则得eq\o(AE,\s\up10(→))=eq\o(AF,\s\up10(→))+eq\o(FE,\s\up10(→))=b+a+b=a+2b.11.(12分)如图,▱OADB的对角线OD、AB相交于点C,线段BC上有一点M满足BC=3BM,线段CD上有一点N满足CD=3CN,设eq\o(OA,\s\up10(→))=a,eq\o(OB,\s\up10(→))=b,试用a,b表示eq\o(OM,\s\up10(→)),eq\o(ON,\s\up10(→)),eq\o(MN,\s\up10(→)).解析∵BM=eq\f(1,3)BC=eq\f(1,6)BA,∴eq\o(BM,\s\up10(→))=eq\f(1,6)Beq\o(A,\s\up10(→))=eq\f(1,6)(eq\o(OA,\s\up10(→))-eq\o(OB,\s\up10(→)))=eq\f(1,6)(a-b),∴eq\o(OM,\s\up10(→))=eq\o(OB,\s\up10(→))+eq\o(BM,\s\up10(→))=b+eq\f(1,6)(a-b)=eq\f(1,6)a+eq\f(5,6)b.∵CN=eq\f(1,3)CD,∴ON=eq\f(4,3)CD=eq\f(2,3)OD,∴eq\o(ON,\s\up10(→))=eq\f(2,3)eq\o(OD,\s\up10(→))=eq\f(2,3)(eq\o(OA,\s\up10(→))+eq\o(OB,\s\up10(→)))=eq\f(2,3)(a+b).∴Meq\o(N,\s\up10(→))=Oeq\o(N,\s\up10(→))-Oeq\o(M,\s\up10(→))=eq\f(2,3)(a+b)-=eq\f(1,2)a-eq\f(1,6)b.12.(16分)(·成都模拟)设两个非零向量a与b不共线.(1)若eq\o(AB,\s\up10(→))=a+b,eq\o(BC,\s\up10(→))=2a+8b,eq\o(CD,\s\up10(→))=3(a-b),求证:A、B、D三点共线;(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.解析(1)∵eq\o(AB,\s\up10(→))=a+b,eq\o(BC,\s\up10(→))=2a+8b,eq\o(CD,\s\up10(→))=3(a-b),∴eq\o(BD,\s\up10(→
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