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文档简介
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(每小题3分,共30分)1.点A(1,y1)、B(3,y2)是反比例函数y=图象上的两点,则y1、y2的大小关系是()A.y1>y2 B.y1=y2 C.y1<y2 D.不能确定2.抛物线的顶点坐标为A. B. C. D.3.如图,的外切正六边形的边长为2,则图中阴影部分的面积为()A. B. C. D.4.在中,=90〫,,则的值是()A. B. C. D.5.如图,点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,且DE//BC,若AD=2,DB=1,AC=6,则AE等于()A.2 B.3 C.4 D.56.在一个不透明的盒子中,装有绿色、黑色、白色的小球共有60个,除颜色外其他完全相同,一同学通过多次摸球试验后发现其中摸到绿色球、黑色球的频率稳定在和,盒子中白色球的个数可能是()A.24个 B.18个 C.16个 D.6个7.抛物线的顶点坐标是A. B. C. D.8.下列命题:①长度相等的弧是等弧;②任意三点确定一个圆;③相等的圆心角所对的弦相等;④平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;其中真命题共有()A.0个 B.1个 C.2个 D.3个9.如图,在△ABC中,cosB=,sinC=,AC=5,则△ABC的面积是()A. B.12 C.14 D.2110.下列图形中,可以看作是中心对称图形的是()A. B. C. D.二、填空题(每小题3分,共24分)11.如图,将Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°得到△AB′C′,连结BB′,若∠1=25°,则∠C的度数是___________.12.步步高超市某种商品为了去库存,经过两次降价,零售价由100元降为64元.则平均每次降价的百分率是____________.13.一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处,沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处,则该船行驶的速度为____________海里/时.14.如图抛物线与轴交于,两点,与轴交于点,点是抛物线对称轴上任意一点,若点、、分别是、、的中点,连接,,则的最小值为_____.15.已知:如图,,,分别切于,,点.若,则的周长为________.16.根据下列统计图,回答问题:该超市10月份的水果类销售额___________11月份的水果类销售额(请从“>”“=”或“<”中选一个填空).17.已知二次函数,用配方法化为的形式为_________________,这个二次函数图像的顶点坐标为____________.18.定义为函数的“特征数”如:函数的“特征数”是,函数的“特征数”是,在平面直角坐标系中,将“特征数”是的函数的图象向下平移3个单位,再向右平移1个单位,得到一个新函数,这个新函数的“特征数”是_______.三、解答题(共66分)19.(10分)如图,在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,求tanB的值.20.(6分)解方程(1)(2)21.(6分)我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题:“直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步),只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步),问阔及长各几步.”其大意是:一矩形田地面积为864平方步,宽比长少12步,问该矩形田地的长和宽各是多少步?请用已学过的知识求出问题的解.22.(8分)解方程:(1)x2+2x﹣3=0;(2)x(x+1)=2(x+1).23.(8分)如图,AB为⊙O直径,点D为AB下方⊙O上一点,点C为弧ABD中点,连接CD,CA.(1)若∠ABD=α,求∠BDC(用α表示);(2)过点C作CE⊥AB于H,交AD于E,∠CAD=β,求∠ACE(用β表示);(3)在(2)的条件下,若OH=5,AD=24,求线段DE的长.24.(8分)如图,已知抛物线(a≠0)经过A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,﹣3)三点,直线l是抛物线的对称轴.(1)求抛物线的函数关系式;(2)设点P是直线l上的一个动点,当点P到点A、点B的距离之和最短时,求点P的坐标;(3)点M也是直线l上的动点,且△MAC为等腰三角形,请直接写出所有符合条件的点M的坐标.25.(10分)如图1,抛物线y=ax2+bx+c的顶点(0,5),且过点(﹣3,),先求抛物线的解析式,再解决下列问题:(应用)问题1,如图2,线段AB=d(定值),将其弯折成互相垂直的两段AC、CB后,设A、B两点的距离为x,由A、B、C三点组成图形面积为S,且S与x的函数关系如图所示(抛物线y=ax2+bx+c上MN之间的部分,M在x轴上):(1)填空:线段AB的长度d=;弯折后A、B两点的距离x的取值范围是;若S=3,则是否存在点C,将AB分成两段(填“能”或“不能”);若面积S=1.5时,点C将线段AB分成两段的长分别是;(2)填空:在如图1中,以原点O为圆心,A、B两点的距离x为半径的⊙O;画出点C分AB所得两段AC与CB的函数图象(线段);设圆心O到该函数图象的距离为h,则h=,该函数图象与⊙O的位置关系是.(提升)问题2,一个直角三角形斜边长为c(定值),设其面积为S,周长为x,证明S是x的二次函数,求该函数关系式,并求x的取值范围和相应S的取值范围.26.(10分)地下停车场的设计大大缓解了住宅小区停车难的问题,如图是龙泉某小区的地下停车库坡道入口的设计示意图,其中,AB⊥BD,∠BAD=18°,C在BD上,BC=0.5m.根据规定,地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志,以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入.小刚认为CD的长就是所限制的高度,而小亮认为应该以CE的长作为限制的高度.小刚和小亮谁说得对?请你判断并计算出正确的限制高度.(结果精确到0.1m,参考数据:sin18°≈0.31,cos18°≈0.95,tan18°≈0.325)
参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【解析】∵反比例函数y=中的9>0,∴经过第一、三象限,且在每一象限内y随x的增大而减小,又∵A(1,y₁)、B(3,y₂)都位于第一象限,且1<3,∴y₁>y₂,故选A.2、B【分析】利用顶点公式,进行计算【详解】顶点坐标为故选B.【点睛】本题考查二次函数的性质,熟练运用抛物线顶点的公式是解题关键.3、A【分析】由于六边形ABCDEF是正六边形,所以∠AOB=60°,故△OAB是等边三角形,OA=OB=AB=2,设点G为AB与⊙O的切点,连接OG,则OG⊥AB,OG=OA•sin60°,再根据S阴影=S△OAB-S扇形OMN,进而可得出结论.【详解】∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴∠AOB=60°,
∴△OAB是等边三角形,OA=OB=AB=2,
设点G为AB与⊙O的切点,连接OG,则OG⊥AB,
∴OG=OA∙sin60°=2×
=
,
∴S
阴影
=S
△OAB
-S
扇形OMN
=
×2×
-
.
故选A.【点睛】考核知识点:正多边形与圆.熟记扇形面积公式是关键.4、A【分析】根据同角三角函数关系:+求解.【详解】解:在Rt△ABC中,∠C=90°,,∵+,∴,∴=故选:A【点睛】本题考查了同角三角函数的关系的应用,能知道是解题的关键.5、C【分析】根据平行线分线段成比例定理,列出比例式求解,即可得到AE的长.【详解】解:∵DE//BC∴AE:AC=AD:AB,∵AD=2,DB=1,AC=6,∴,∴AE=4,故选:C.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理,注意线段之间的对应关系.6、B【分析】先由频率之和为1计算出白球的频率,再由数据总数×频率=频数,计算白球的个数.【详解】解:∵摸到绿色球、黑色球的频率稳定在和,∴摸到白球的频率为1-25%-45%=30%,故口袋中白色球的个数可能是60×30%=18个.故选:B.【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识,具体数目应等于总数乘部分所占总体的比值.7、A【分析】已知抛物线顶点式y=a(x﹣h)2+k,顶点坐标是(h,k).【详解】∵抛物线y=3(x﹣1)2+1是顶点式,∴顶点坐标是(1,1).故选A.【点睛】本题考查了由抛物线的顶点式写出抛物线顶点的坐标,比较容易.8、A【分析】由等弧的概念判断①,根据不在一条直线上的三点确定一个圆,可判断②;根据圆心角、弧、弦的关系判断③,根据垂径定理判断④.【详解】①同圆或等圆中,能够互相重合的弧是等弧,故①是假命题;②不在一条直线上的三点确定一个圆,若三点共线,则不能确定圆,故②是假命题;③同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,故③是假命题;④圆两条直径互相平分,但不垂直,故④是假命题;所以真命题共有0个,故选A.【点睛】本题考查圆中的相关概念,熟记基本概念才能准确判断命题真假.9、A【分析】根据已知作出三角形的高线AD,进而得出AD,BD,CD,的长,即可得出三角形的面积.【详解】解:过点A作AD⊥BC,∵△ABC中,cosB=,sinC=,AC=5,
∴cosB==,
∴∠B=45°,
∵sinC===,
∴AD=3,
∴CD==4,
∴BD=3,
则△ABC的面积是:×AD×BC=×3×(3+4)=.
故选A.【点睛】此题主要考查了解直角三角形的知识,作出AD⊥BC,进而得出相关线段的长度是解决问题的关键.10、B【分析】把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,根据中心对称图形的概念求解.【详解】A、不是中心对称图形,故本选项不合题意;
B、是中心对称图形,故本选项符合题意;
C、不中心对称图形,故本选项不合题意;
D、不中心对称图形,故本选项不合题意.
故选:B.【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念:关键是找到相关图形的对称中心,旋转180度后与原图重合.二、填空题(每小题3分,共24分)11、70°【详解】解:∵Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°得到△AB′C′,∴AB=AB′,∴△ABB′是等腰直角三角形,∴∠ABB′=45°,∴∠AC′B′=∠1+∠ABB′=25°+45°=70°,由旋转的性质得∠C=∠AC′B′=70°.故答案为70°.【点睛】本题考查旋转的性质,掌握旋转图像对应边相等,对应角相等是本题的解题关键.12、20%【分析】设平均每次降价的百分率是x,根据“经过两次降价,零售价由100元降为64元”,列出一元二次方程,求解即可.【详解】设平均每次降价的百分率是x,根据题意得:100(1﹣x)2=64,解得:x1=0.2,x2=1.8(舍去),即平均每次降价的百分率是20%.故答案为:20%.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,解答本题的关键是明确题意,列出相应的方程,这是一道典型的增长率问题.13、【解析】设该船行驶的速度为x海里/时,由已知可得BC=3x,AQ⊥BC,∠BAQ=60°,∠CAQ=45°,AB=80海里,在直角三角形ABQ中求出AQ、BQ,再在直角三角形AQC中求出CQ,得出BC=40+40=3x,解方程即可.【详解】如图所示:该船行驶的速度为x海里/时,3小时后到达小岛的北偏西45°的C处,由题意得:AB=80海里,BC=3x海里,在直角三角形ABQ中,∠BAQ=60°,∴∠B=90°−60°=30°,∴AQ=AB=40,BQ=AQ=40,在直角三角形AQC中,∠CAQ=45°,∴CQ=AQ=40,∴BC=40+40=3x,解得:x=.即该船行驶的速度为海里/时;故答案为:.【点睛】本题考查的是解直角三角形,熟练掌握方向角是解题的关键.14、【分析】连接,交对称轴于点,先通过解方程,得,,通过,得,于是利用勾股定理可得到的长;再根据三角形中位线性质得,,所以;由点在抛物线对称轴上,、两点为抛物线与轴的交点,得;利用两点之间线段最短得到此时的值最小,其最小值为的长,从而得到的最小值.【详解】如图,连接,交对称轴于点,则此时最小.∵抛物线与轴交于,两点,与轴交于点,∴当时,,解得:,,即,,当时,,即,∴,∴,∵点、、分别是、、的中点,∴,,∴,∵点在抛物线对称轴上,、两点为抛物线与轴的交点,∴,∴,∴此时的值最小,其最小值为,∴的最小值为:.故答案为:.【点睛】此题主要考查了抛物线与轴的交点以及利用轴对称求最短路线,用到了三角形中位线性质和勾股定理.正确得出点位置,以及由抛物线的对称性得出是解题关键.15、【分析】根据切线长定理由PA、PB分别切⊙O于A、B得到PB=PA=10cm,由于DC与⊙O相切于E,再根据切线长定理得到CA=CE,DE=DB,然后三角形周长的定义得到△PDC的周长=PD+DC+PC=PD+DB+CA+PC,然后用等线段代换后得到三角形PDC的周长等于PA+PB.【详解】∵PA、PB分别切⊙O于A、B,
∴PB=PA=10cm,
∵CA与CE为⊙的切线,
∴CA=CE,
同理得到DE=DB,
∴△PDC的周长=PD+DC+PC=PD+DB+CA+PC
∴△PDC的周长=PA+PB=20cm,
故答案为20cm.【点睛】本题考查了切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线,平分两条切线的夹角.16、>【分析】根据统计图,分别求出该超市10月份的水果类销售额与11月份的水果类销售额,比较大小即可.【详解】∵10月份的水果类销售额为(万元),11月份的水果类销售额为(万元),∴10月份的水果类销售额>11月份的水果类销售额.故答案是:>【点睛】本题主要考查从统计图种提取信息,通过观察统计图,得到有用的信息,是解题的关键.17、【分析】先利用配方法提出二次项的系数,再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式,再根据顶点式即可得到顶点的坐标.【详解】利用完全平方公式得:由此可得顶点坐标为.【点睛】本题考查了用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式、以及二次函数顶点坐标,熟练运用配方法是解题关键.18、【分析】首先根据“特征数”得出函数解析式,然后利用平移规律得出新函数解析式,化为一般式即可判定其“特征数”.【详解】由题意,得“特征数”是的函数的解析式为,平移后的新函数解析式为∴这个新函数的“特征数”是故答案为:【点睛】此题主要考查新定义下的二次函数的平移,解题关键是理解题意.三、解答题(共66分)19、【分析】过A点作AD⊥BC,将等腰三角形转化为直角三角形,利用勾股定理求AD,利用锐角三角函数的定义求∠B的正切值.【详解】过点A作AD⊥BC,垂足为D,∵AB=AC=13,BC=10,∴BD=DC=BC=5,∴AD,在Rt△ABD中,∴tanB.【点睛】本题考查了勾股定理,等腰三角形的性质和三角函数的应用,关键是将问题转化到直角三角形中求解,并且要熟练掌握好边角之间的关系.20、(1)x1=1x2=(2)x1=2x2=5【分析】(1)根据直接开平方法即可求解(2)根据因式分解法即可进行求解.【详解】解方程(1)3x+2=5或3x+2=-5x1=1x2=(2)(x-2)(x-5)=0x-2=0或x-5=0x1=2x2=521、矩形的阔为24步,长为36步.【解析】设阔为x步,则长为(x+12)步,根据面积为864,即可得出方程求解即可.【详解】设阔为x步,则长为(x+12)步,由题意可得:x(x+12)=864,解得:x1=24,x2=﹣36(舍),24+12=36,答:矩形的阔为24步,长为36步.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,为面积问题,掌握好面积公式即可进行正确解答;矩形面积=矩形的长×矩形的宽.22、(1)x1=-3,x2=1;(2)x1=-1,x2=2【分析】(1)利用“十字相乘法”对等式的左边进行因式分解;又可以利用公式法解方程;(2)利用因式分解法解方程.【详解】(1)解一:(x+3)(x﹣1)=0解得:x1=﹣3,x2=1解二:a=1,b=2,c=﹣3x=解得:x=即x1=﹣3,x2=1.(2)x(x+1)﹣2(x+1)=0(x+1)(x﹣2)=0x1=﹣1,x2=2点睛:本题主要考查了因式分解法和公式法解一元二次方程的知识,解题的关键是掌握因式分解法解方程的步骤以及熟记求根公式.23、(1)∠BDC=α;(2)∠ACE=β;(3)DE=.【分析】(1)连接AD,设∠BDC=γ,∠CAD=β,则∠CAB=∠BDC=γ,证明∠DAB=β−γ,β=90°−γ,∠ABD=2γ,得出∠ABD=2∠BDC,即可得出结果;(2)连接BC,由直角三角形内角和证明∠ACE=∠ABC,由点C为弧ABD中点,得出∠ADC=∠CAD=∠ABC=β,即可得出结果;(3)连接OC,证明∠COB=∠ABD,得出△OCH∽△ABD,则==,求出BD=2OH=10,由勾股定理得出AB==26,则AO=13,AH=AO+OH=18,证明△AHE∽△ADB,得出=,求出AE=,即可得出结果.【详解】(1)连接AD,如图1所示:设∠BDC=γ,∠CAD=β,则∠CAB=∠BDC=γ,∵点C为弧ABD中点,∴,∴∠ADC=∠CAD=β,∴∠DAB=β﹣γ,∵AB为⊙O直径,∴∠ADB=90°,∴γ+β=90°,∴β=90°﹣γ,∴∠ABD=90°﹣∠DAB=90°﹣(β﹣γ)=90°﹣90°+γ+γ=2γ,∴∠ABD=2∠BDC,∴∠BDC=∠ABD=α;(2)连接BC,如图2所示:∵AB为⊙O直径,∴∠ACB=90°,即∠BAC+∠ABC=90°,∵CE⊥AB,∴∠ACE+∠BAC=90°,∴∠ACE=∠ABC,∵点C为弧ABD中点,∴,∴∠ADC=∠CAD=∠ABC=β,∴∠ACE=β;(3)连接OC,如图3所示:∴∠COB=2∠CAB,∵∠ABD=2∠BDC,∠BDC=∠CAB,∴∠COB=∠ABD,∵∠OHC=∠ADB=90°,∴△OCH∽△ABD,∴==,∴BD=2OH=10,∴AB===26,∴AO=13,∴AH=AO+OH=13+5=18,∵∠EAH=∠BAD,∠AHE=∠ADB=90°,∴△AHE∽△ADB,∴=,即=,∴AE=,∴DE=AD﹣AE=24﹣=.【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识;正确作出辅助线是解题的关键.24、(1);(2)P(1,0);(3)M(1,)(1,)(1,﹣1)(1,0).【分析】(1)直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可;(2)由图知:A.B点关于抛物线的对称轴对称,那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知,直线l与x轴的交点,即为符合条件的P点;(3)由于△MAC的腰和底没有明确,因此要分三种情况来讨论:①MA=AC、②MA=MC、③AC=MC;可先设出M点的坐标,然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长,再按上面的三种情况列式求解.【详解】解:(1)将A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,﹣3)代入抛物线中,得:,解得:,故抛物线的解析式:.(2)当P点在x轴上,P,A,B三点在一条直线上时,点P到点A、点B的距离之和最短,此时x==1,故P(1,0);(3)如图所示:抛物线的对称轴为:x==1,设M(1,m),已知A(﹣1,0)、C(0,﹣3),则:=,==,=10;①若MA=MC,则,得:=,解得:m=﹣1;②若MA=AC,则,得:=10,得:m=;③若MC=AC,则,得:=10,得:,;当m=﹣6时,M、A、C三点共线,构不成三角形,不合题意,故舍去;综上可知,符合条件的M点,且坐标为M(1,)(1,)(1,﹣1)(1,0).考点:二次函数综合题;分类讨论;综合题;动点型.25、抛物线的解析式为:y=﹣x2+5;(2)20<x<2,不能,+和﹣;(2),相离或相切或相交;(3)相应S的取值范围为S>c2.【分析】将顶点(0,5)及点(﹣3,)代入抛物线的顶点式即可求出其解析式;(2)由抛物线的解析式先求出点M的坐标,由二次函数的图象及性质即可判断d的值,可由d的值判断出x的取值范围,分别将S=3和2.5代入抛物线解析式,即可求出点C将线段AB分成两段的长;(2)设AC=y,CB=x,可直接写出点C分AB所得两段AC与CB的函数解析式,并画出图象,证△OPM为等腰直角三角形,过点O作OH⊥PM于点H,则OH=PM=,分情况可讨论出AC与CB的函数图象(线段PM)与⊙O的位置关系;(3)设直角三角形的两直角边长分别为a,b,由勾股定理及完全平公式可以证明S是x的二次函数,并可写出x的取值范围及相应S的取值范围.【详解】解:∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点(0,5),∴y=ax2+5,将点(﹣3,)代入,得=a×(﹣3)2+5,∴a=,∴抛物线的解析式为:y=
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