2022-2023学年吉林省长春市养正某中学高三九月摸底考试数学试题

2022-2023学年吉林省长春市养正高级中学高三九月摸底考试数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知定义在R上的奇函数.f(x)满足：f(x+2e)=-f(x)(其中e=2.71828)且在区间［e,2e］上是减函数，

令。=殍，b~,c=—,则/3),/3)，/(c)的大小关系(用不等号连接)为()

235

A./0)>/(fl)>/(C)B./0)>/(C)>/(«)

c.f(a)>f(b)>f(c)D.f\a)>f(c)>f(b)

2.将函数,y=sin(3x+°)的图象沿x轴向左平移g个单位长度后，得到函数/(x)的图象，贝！|"夕=?是"/(》)是

偶函数”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知平行于1轴的直线分别交曲线1”=2》+1,丁2=2%一1(”0)于45两点，则4|4国的最小值为()

A.5+In2B.5-In2C.3+ln2D.3-In2

4.已知等差数列｛2｝中，。4+。6=8贝!)。3+。4+。5+。6+%=()

A.10B.16C.20D.24

5,若(％2+。)(_1一1)的展开式中的常数项为-12,则实数"的值为()

A.-2B.-3C.2D.3

6.已知复数2=。+。々£/?,若|z|=2,则。的值为()

B.6C.±1D.

7.已知命题〃：VXER,x2>0,则力是()

A.VXGR,%2<0B.*)£R，片<0.

2

c.3x0eR,XQ>0D.Vx^R,x<0.

8.已知定义在R上的可导函数/(x)满足(l-x)-/(x)+x-f(x)>0,若y=〃x+2)”是奇函数，则不等式

x「f(x)-2e'M<0的解集是()

A.(-oo,2)B.(-oo,l)C.(2,4-oo)D.

9.已知a>h>0,则下列不等式正确的是()

A.2一.〈的一4B.|Va-Z?|>|\/^-a|

C.|e0-/?|<|Z-a|D.pa-Z?|>|e*-o|

10.已知定义在R上的奇函数,f(x)和偶函数g(x)满足/(x)+g(x)=a、-ar+2(。>()且。。1),若g(2)=a,

则函数/(/+2”的单调递增区间为()

A.(-1,1)B.y,l)C.(1,+w)D.(-l,+<o)

11.已知A,B,C,。是球。的球面上四个不同的点，若A8=AC=O3=OC=8C=2,且平面。平面

ABC,则球。的表面积为()

12.我们熟悉的卡通形象“哆啦4梦”的长宽比为正：1.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和

建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台

到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度

差为100米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是()

A.400米B.480米

C.520米D.600米

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量AB=(1，2),AC=(-3,1),则ABBC=.

22

14.已知双曲线亍-忘=1的右准线与渐近线的交点在抛物线丁=2内上，则实数〃的值为.

15.六位同学坐在一排，现让六位同学重新坐，恰有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有种(用数

字回答).

22

16.设双曲线0=-3=1(“>0/>0)的左焦点为尸，过点尸且倾斜角为45。的直线与双曲线C的两条渐近线顺次交

CTb

于A,3两点若FB=3FA，则C的离心率为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，三棱台ABC-44G.中，侧面与侧面AC2cA是全等的梯形，若4A，AB,_LAG，

且AB—2AjB]-44A.

(I)若00=2%,AE=2E3,证明：〃平面BCGg；

IT

(II)若二面角G-44,-3为求平面4g84与平面GA3C所成的锐二面角的余弦值.

18.(12分)如图，已知抛物线E：y?=4无与圆Al：(x-3)'+y2=r2(r>0)相交于A,B，C。四个

(1)求「的取值范围；

(2)设四边形ABC。的面积为S,当S最大时，求直线与直线的交点P的坐标.

19.(12分)设函数/(x)=(l+e-2)，+日—1(其中xe(0,+8)),且函数/(x)在x=2处的切线与直线

(e2+2)x-y=0平行.

(1)求Z的值；

(2)若函数g(x)=-xlnx,求证：/(x)>g(x)恒成立.

20.(12分)随着电子阅读的普及，传统纸质媒体遭受到了强烈的冲击.某杂志社近9年来的纸质广告收入如下表所

示：

年份201020112012201320142015201620172018

时间代号，123456789

广告收入y（千万元）22.22.52.832.52.321.8

根据这9年的数据，对，和）'作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.243；

根据后5年的数据，对/和作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.984.

（1）如果要用线性回归方程预测该杂志社2019年的纸质广告收入，现在有两个方案,

方案一：选取这9年数据进行预测，方案二：选取后5年数据进行预测.

从实际生活背景以及线性相关性检验的角度分析，你觉得哪个方案更合适？

附：相关性检验的临界值表：

小概率

«-2

0.050.01

30.8780.959

70.6660.798

（2）某购物网站同时销售某本畅销书籍的纸质版本和电子书，据统计，在该网站购买该书籍的大量读者中，只购买电

子书的读者比例为50%,纸质版本和电子书同时购买的读者比例为10%,现用此统计结果作为概率，若从上述读者

中随机调查了3位，求购买电子书人数多于只购买纸质版本人数的概率.

21.（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面A3CO是矩形，面底面ABCD,且APAQ是边长为2的等

边三角形，=在PC上，且PA面MBD.

（2）在Q4上是否存在点F,使二面角F—BD—M为直角？若存在,求出——的值；若不存在，说明理由.

AP

22.（10分）随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活.网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的

普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而

得到表（单位：人）

经常网购偶尔或不用网购合计

男性50100

女性70100

合计

(I)完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？

(2)①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3

人中至少有2人经常网购的概率;

②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为X,求随机变

量X的数学期望和方差.

〃(ad—be)"

参考公式：K?=

(a+0)(c+d)(a+c)(b+d)

P/NK。)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

K。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

因为/(x+〃)=—/(%),所以/(x+4e)=/(x),即周期为4,因为/(x)为奇函数，所以可作一个周期[-2e,2e]

示意图，如图/(X)在(0,1)单调递增，因为52<25.N<2$,23<32.・.23<3§.•.O<c<a</?<1，因此

f(b)>f(a)>f(c),选A.

点睛：函数对称性代数表示

(1)函数/(X)为奇函数O/(%)=―/(-X),函数/(幻为偶函数o/(x)=/(-X)(定义域关于原点对称);

(2)函数/(x)关于点(a,6)对称of(x)+/(-x+2a)=2b,函数/(x)关于直线x=相对称<=>/(%)=/(-x+2m),

(3)函数周期为T,则/(x)=/(x+T)

2、A

【解析】

求出函数y=/(x)的解析式，由函数y=/(x)为偶函数得出9的表达式，然后利用充分条件和必要条件的定义判断

即可.

【详解】

将函数y=sin(3x+0)的图象沿x轴向左平移;个单位长度，得到的图象对应函数的解析式为

71・1c兀

/(x)=sin3Xd---+(p=sin[3x+§+0

9

若函数y=/(x)为偶函数，则W+°=Z»+W(ZGZ),解得9=讥+5(丘Z),

326

TT

当k=0时，(()=一.

6

因此，“夕=?”是“y=/(x)是偶函数”的充分不必要条件.

6

故选：A.

【点睛】

本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用图象变换求三角函数解析式以及利用三角函数的奇偶性求参数，

考查运算求解能力与推理能力，属于中等题.

3、A

【解析】

设直线为丁=。(。＞0),4(西,凹)8(%,必)，用”表示出X，%，求出4|A8|,令/(a)=4+2—Ina,利用导数求出

单调区间和极小值、最小值，即可求出41A例的最小值.

【详解】

解：设直线为.丫=。3>0）,4>1，N）例工2，%），贝Ulna=2XI+l,.•.玉=g（lna-l）,

而x,满足。2=2居一1,.•.x,=gE

-2

那么41ABk4(%-%)=4&J-glnq-l)=2(«24-2-lntz)

Q21（⑻、

设/⑷=4+2_]na,则广⑷二二二L,函数73）在0,、-上单调递减，在,+8上单调递增,

<2>/

=2/(叽,,=2/图=5+ln2

所以41ABi.

故选：A.

【点睛】

本题考查导数知识的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导确定函数的最小值是关键,

属于中档题.

4、C

【解析】

根据等差数列性质得到%+4=8=2as，再计算得到答案.

【详解】

已知等差数列｛”“｝中，%+4=8=2%=%=4

%+为+%+4+%=5%=20

故答案选C

【点睛】

本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型.

5、C

【解析】

（、、5

先研究的展开式的通项，再分（V+a）中，取一和。两种情况求解.

lx）

【详解】

因为仕-11的展开式的通项为&=（一1）'G/-5,

X7

所以(f+力(！-1)的展开式中的常数项为：f(—1)3。%-2+。或(-1)=—]0一。=一]2,

解得a=2,

故选：C.

【点睛】

本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

6、D

【解析】

由复数模的定义可得：|z|=V^+l=2.求解关于实数。的方程可得：a=±y/3.

本题选择O选项.

7、B

【解析】

根据全称命题的否定为特称命题，得到结果.

【详解】

根据全称命题的否定为特称命题，可得「pH/eR,

本题正确选项：B

【点睛】

本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.

8、A

【解析】

构造函数g(x)=『八",根据已知条件判断出g(x)的单调性.根据y=/(x+2)-/是奇函数，求得”2)的值,

由此化简不等式x-f(x)-2e'+,<0求得不等式的解集.

【详解】

构造函数g(x)=依题意可知g'(%)=0工〃?小)>0,所以g(x)在R上递增.由于

y=〃x+2)—/是奇函数，所以当％=0时，y=f(2)-e3=0,所以〃2)=e3,所以g(2)=±*=2e.

由x/x)-2/<0得g(x)=±/pl<2e=g(2),所以x<2,故不等式的解集为(一02).

故选：A

【点睛】

本小题主要考查构造函数法解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档

题.

9、D

【解析】

利用特殊值代入法，作差法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项.

【详解】

已知”>人>0,赋值法讨论a>人>0的情况：

(1)当a>Z?21时，令a=2,b-lt贝上"一。卜排除B、C选项；

(2)当0<Z?<a<l时，令a=；,b=；,贝46-^>|四一4,排除A选项.

故选：D.

【点睛】

比较大小通常采用作差法，本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质，利用特殊值代入法，排除不符合条

件的选项，得到符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于中等题.

10、D

【解析】

根据函数的奇偶性用方程法求出/(x),g(x)的解析式，进而求出。，再根据复合函数的单调性，即可求出结论.

【详解】

依题意有/(x)+g(x)=a'-cTx+2,①

/(-x)+g(-x)=a"-优+2=-/(x)+g(x)，②

①—②得/(%)=ax-a-x,g(x)=2,又因为g⑵=a,

所以a=2,/(x)=2'-2r，以x)在R上单调递增，

所以函数/(V+2x)的单调递增区间为(-1,+8).

故选:D.

【点睛】

本题考查求函数的解析式、函数的性质，要熟记复合函数单调性判断方法，属于中档题.

11、A

【解析】

由题意画出图形，求出多面体外接球的半径，代入表面积公式得答案.

【详解】

如图，

取BC中点G,连接AG,DG,则AGJ_BC,DG_LBC,

分别取ABC与DBC的外心E,F,分别过E,F作平面ABC与平面DBC的垂线，相交于O,

则O为四面体A-BCD的球心，

由AB=AC=DB=DC=BC=2,得正方形OEGF的边长为口，则OG=旦,

33，

四面体A-BCD的外接球的半径R=7OG2+BG2

球O的表面积为4无

故选A.

【点睛】

本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题.

12、B

【解析】

根据题意，画出几何关系，结合各线段比例可先求得第一展望台和第二展望台的距离，进而由比例即可求得该塔的实

际高度.

【详解】

设第一展望台到塔底的高度为x米，塔的实际高度为）'米，几何关系如下图所示：

yT00

X

_3100+x

由题意可得-=--7-2---,解得x=100(夜+1)；

y

且满足V2,

x+100

故解得塔高y=（X+100）&=20（）（行+1卜480米，即塔高约为480米.

故选：B

【点睛】

本题考查了对中国文化的理解与简单应用，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、-6

【解析】

由BC=AC-A3可求BC，然后根据向量数量积的坐标表示可求A3*BC-

【详解】

,**AB=（1，2）,AC=（-3,1）,BC-AC—AB~（-4,-1）,

则AB・BC=lx<-4)+2x(-1)=-6

故答案为-6

【点睛】

本题主要考查了向量数量积的坐标表示，属于基础试题.

3

14、-

2

【解析】

求出双曲线的渐近线方程，右准线方程，得到交点坐标代入抛物线方程求解即可.

【详解】

解：双曲线士—匕=1的右准线*=±=3=],渐近线y=±&,

412C4/

22

双曲线二-匕=1的右准线与渐近线的交点（i,±6）,

412

交点在抛物线V=2px上，

可得：3=2p,

3

解得〃=务.

故答案为三.

2

【点睛】

本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题.

15、135

【解析】

根据题意先确定2个人位置不变，共有C；=15种选择，再确定4个人坐4个位置，但是不能坐原来的位置，计算得

到答案.

【详解】

根据题意先确定2个人位置不变，共有C；=15种选择.

再确定4个人坐4个位置，但是不能坐原来的位置，共有3x3xlxl=9种选择,

故不同的坐法有15x9=135.

故答案为:135.

【点睛】

本题考查了分步乘法原理，意在考查学生的计算能力和应用能力.

16、75

【解析】

b

设直线A8的方程为％=y一。，与y=±-x联立得到A点坐标，由EB=3E4得，）^=3%,代入可得8=2。，即

a

得解.

【详解】

由题意，直线的方程为％=y一。，与^=±2%

a

e——bebe

联立得y=-,y=工，

Aa+bBb-a

由所=3E4得，丁8=3y”

即b=2a,

从而离心率e=2=石.

故答案为：V5

【点睛】

本题考查了双曲线的离心率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（I）见解析；（II）I.

【解析】

试题分析：（I）连接AG，BG，由比例可得。E〃BC，进而得线面平行；

（H）过点A作AC的垂线，建立空间直角坐标系，不妨设朋=1,则A4=4G=2,求得平面的法向量

为m,设平面G4BC的法向量为〃，由85（机,〃）=^^求二面角余弦即可.

试题解析：

（I）证明：连接AG，8G，梯形4CCA,AC=2AlCi,

易知：ACin4C=D,AD=2DC］；

又AE=2EB，则。七〃Bq：

BC、u平面BCC[B],DEB平面BCC]B,,

可得：OE〃平面BCCg；

（n）侧面AGE是梯形，4A±AC,,

0AAi_LAC,AAJ,AB,

则ABAC为二面角G-A4,-8的平面角,ABAC=y；

nA4BC,A^BiG均为正三角形，在平面ABC内，过点A作AC的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设蝴=1,

则44=4G=2,

4。=4。=4,故点4（0,0,1）,C（0,4,0）,

网2月,2,0），4（6,1,1）；

m-AB=0

设平面442M的法向量为加=（%],y,zj,则有：<=>

m-AB1=0

m-CB-0

设平面C,5,BC的法向量为〃=（9,%，Z2），则有：=>

mCB1=0

故平面AB}BA与平面C,B}BC所成的锐二面角的余弦值为

4

18>（1）2>/2<r<3（2）点P的坐标为（―g,0）

【解析】

（1）将抛物线方程V=4x与圆方程（x—3p+y2=/联立，消去y得到关于x的一元二次方程，抛物线E与圆”有

四个交点需满足关于x的一元二次方程在（0,+。）上有两个不等的实数根，根据二次函数的有关性质即可得到关于r的

不等式组，解不等式即可.

（2）不妨设抛物线E与圆M的四个交点坐标为A（x”2喜），B（%,-2忖,2后），。（9,2后），据此可

表示出直线AD、BC的方程，联立方程即可表示出点P坐标，再根据等腰梯形的面积公式可得四边形ABCD的面积S

的表达式，令t=斥■，由t=及（I）知0<f<1,对关于t的面积函数进行求导，判断其单调性和最值，即可求出

四边形ABC。的面积取得最大值时/的值，进而求出点P坐标.

【详解】

/=4x,

(1)联立抛物线与圆的方程,",,

[(7-+9二产,

消去N,^x2—2x+9—r2=0.

由题意可知/一2》+9-r=0在（0,+“）上有两个不等的实数根.

△=4—4（9—目>0,

所以,{）解得2及<「<3，

9-r2>0,

所以r的取值范围为re（2夜,3）.

（2）根据（1）可设方程/-2x+9—/=0的两个根分别为x2（0<x,<x2）,

则4（5，2衣），3（%,—2毒），C（Xz，-2区）,D（x2,2y/x^）,

2

且XI+%2=2,X]X2=9-r,

所以直线A。、BC的方程分别为

y一2嘉=2惠-2底'

王一乙

y+2嘉=-2募+2日（a%）,

xx-x2

联立方程可得，点P的坐标为,

因为四边形ABCD为等腰梯形，

所以5=（（|4回+|8|）.（々_%）=14喜+46）（％_王）

=2而+/+2dxiX?-J（X[+々）2-40％2=2d2+2d9一户■^4-4（9-r2）,

令f=j9一/G（0,1）,贝！|/a）=S2=4（2+2f）（4—4/）=-32,3+/2—/—l）,

所以广⑺=—32（3/+2r—l）=—32（r+l）（3r—1）,

因为0<t<l,所以当0</<；时,/'（。>0；当g<f<l时,

所以函数./•"）在（0.1）上单调递增，在4,1）上单调递减，

JJ

即当/=，时，四边形ABC。的面积S取得最大值，

3

因为-Jxw=T点P的坐标为,“1工2，。)，

所以当四边形ABCD的面积S取得最大值时，点P的坐标为(-1,0).

【点睛】

本题考查利用导数求函数的极值与最值、抛物线及其标准方程及直线与圆锥曲线相关的最值问题；考查运算求解能力、

转化与化归能力和知识的综合运用能力;利用函数的思想求圆锥曲线中面积的最值是求解本题的关键;属于综合型强、

难度大型试题.

19、(1)k=l(2)证明见解析

【解析】

(1)求导得到/'(2)=(1+e/卜2+%=+2,解得答案.

(2)变形得到(l+e1)/>l—x—xlnx,令函数〃(x)=1-x-xlnx,求导得到函数单调区间得到

〃(x)〈〃(e-2)=l+e-2,E(x)>E(0)=(l+e-2),得到证明.

【详解】

(1)f'(x)=(l+e-2)ex+k,f'(2)=(l+e-2)e2+k=e2+2,解得k=l.

(2)/(尤)>g(x)得(1+e。)/+x-l>—xlnx,变形得(l+e")e*>l-x-xlnx,

令函数/?(x)=l_x_xlnx,/i'(x)=-2-lnx,令_2_lnx=0解得x=e1,

当xe(0,e~2)时h'(x)>0,xe(e-2,+oo)时h'(x)<0.

函数〃(x)在(0,济2)上单调递增，在(理,+8)上单调递减，〃(幻<〃("2)=1+6-2,

_2

而函数R(x)=(l+e-2)e"在区间(0,+8)上单调递增，r.F(x)>F(0)=(l+e),

F(x)>F(0)=(1+e2)>h(x)=1一x-xlnx,BP(l+e-2)eA>1-x-xlnx,

即(1+6~2)6*-1+%>-只11%，，/(X)>g(X)恒成立.

【点睛】

本题考查了根据切线求参数，证明不等式，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力.

Q1

20、(1)选取方案二更合适；(2)—

125

【解析】

(1)可以预见，2019年的纸质广告收入会接着下跌，前四年的增长趋势已经不能作为预测后续数据的依据，而后5年

的数据得到的相关系数的绝对值0.984>0.959,所以有99%的把握认为y与/具有线性相关关系，从而可得结论；⑵

32

求得购买电子书的概率为二,只购买纸质书的概率为不，购买电子书人数多于只购买纸质书人数有两种情况：3人购买电

子书，2人购买电子书一人只购买纸质书，由此能求出购买电子书人数多于只购买纸质版本人数的概率.

【详解】

(1)选取方案二更合适，理由如下：

①题中介绍了，随着电子阅读的普及，传统纸媒受到了强烈的冲击，从表格中的数据中可以看出从2014年开始，广告

收入呈现逐年下降的趋势，可以预见，2019年的纸质广告收入会接着下跌，前四年的增长趋势已经不能作为预测后续

数据的依据.

②相关系数年|越接近1,线性相关性越强，因为根据9年的数据得到的相关系数的绝对值().243<0.666,我们没有理

由认为y与f具有线性相关关系；而后5年的数据得到的相关系数的绝对值0.984〉0.959,所以有99%的把握认为,

与f具有线性相关关系.

(2)因为在该网站购买该书籍的大量读者中，只购买电子书的读者比例为50%,纸质版本和电子书同时购买的读者比

113

例为10%,所以从该网站购买该书籍的大量读者中任取一位，购买电子书的概率为一+不=-，只购买纸质书的概率

2105

2

为不，购买电子书人数多于只购买纸质书人数有两种情况：3人购买电子书，2人购买电子书一人只购买纸质书.概率

【点睛】

本题主要考查最优方案的选择，考查了相关关系的定义以及互斥事件的概率与独立事件概率公式的应用，考查阅读能

力与运算求解能力，属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的

事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型

进行解答.

21、(1)见解析;(2)^=；；.

AP8

【解析】

试题分析：(1)连AC交BO于E可得E是AC中点，再根据P4面版5。可得PAME,进而根据中位线定理可得结

果；(2)取AO中点。，由(1)知。尸两两垂直.以。为原点，尸所在直线分别为x轴,y轴，二轴

建立空间直角坐标系，求出面MBD的一个法向量”，用X表示面的一个法向量〃?，由“•//=()可得结果.

试题解析：(1)证明：连AC交于E，连ME.43CD是矩形，是AC中点.又PA面MB。，且ME是面PAC

与面MC■的交线，ME".M是PC的中点.

⑵取AD中点。，由（1）知0AOE,OP两两垂直.以。为原点，所在直线分别为x轴，

）‘轴，z轴建立空间直角坐标系（如图），则各点坐标为

A（l,0,0）,B（l,3,0）,D（-l,0,0）,C（-l,3,0）,P（0,0,V3）,M.

k2227

（2出）

设存在尸满足要求，且AF则由4尸=X4P得：尸（1一40,6/1）,面的8。的一个法向量为〃=,