2024内蒙古中考数学一轮知识点复习 微专题 解直角三角形的实际应用（课件）

微专题

解直角三角形的实际应用【测量目的】运用所学知识解决实际测量高度的问题，体验数学建模活动的完整过程．【测量对象】学校内的旗杆高度．【测量工具】测角仪、皮尺、无人机．【小组交流】(1)小组探讨交流测量方法和设计测量方案；(2)明确责任，测量、记录数据，计算求解人员．【测量方案一】如图①，在旗杆AB前的平地上选择一点C，用测角仪测得旗杆顶端A的仰角为48°，已知测角仪的高度为1m，用皮尺测得BC之间的距离为11.5m，求旗杆AB的高度．(结果精确到0.1，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11)题图①解：如解图①，过点D作DE⊥AB交AB于点E，E由题意可知DE＝BC＝11.5，BE＝DC＝1，在Rt△ADE中，∠ADE＝48°，∴tan48°＝

，即1.11≈

，解得AE≈12.8，∴AB＝AE＋BE＝12.8＋1＝13.8.答：旗杆AB的高度约为13.8m.题图①E【测量方案二】如图②，在旗杆AB前的平地上选择一点C，测得旗杆顶部A的仰角为32°，在CB之间选择一点D(点C、D、B在同一条直线上)，测得旗杆顶部A的仰角为45°，用皮尺测得C、D之间的距离为8.45m，求旗杆AB的高度．(结果精确到0.1，参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62)题图②解：设旗杆AB的高度为x，在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，∴BD＝x.在Rt△ABC中，∠ACB＝32°，∴tan32°＝

，即0.62≈

，解得x≈13.8.答：旗杆AB的高度约为13.8m.题图②模型总结模型一母子型【模型展示】在三角形外部作高：【模型分析】通过在三角形外作高BC，构造出两个直角三角形求解，其中公共边BC是解题的关键．【测量方案三】如图③，用皮尺测得看台顶端C到地面的垂直距离CD为4.28m，看台所在斜坡CE的坡比为1∶2，在点C处测得旗杆顶端A的仰角为30°，在点E处测得旗杆顶端A的仰角为60°(点B、E、D在同一条直线上)，求旗杆AB的高度．(结果精确到0.1，参考数据：

≈1.73)题图③题图③解：如解图，过点C作CF⊥AB交AB于点F，F由题意可知CD＝4.28，tan∠CED＝

，∴ED＝8.56.设BE＝x，∴BD＝x＋8.56.∵∠AEB＝60°，∴∠BAE＝30°，∴AB＝

x.由题意可知四边形BDCF为矩形，∴BF＝CD＝4.28，CF＝BD＝x＋8.56，∴AF＝x－4.28.在Rt△ACF中，∠ACF＝30°，∴tan30°＝

，即

＝

，解得x≈7.99，∴AB＝

x≈1.73×7.99≈13.8.答：旗杆AB的高度约为13.8m.题图③F【测量方案四】如图④，无人机在距离地面4.6m处的点C处测得旗杆底端B的俯角为53°，无人机垂直上升4.1m到达点D处，测得旗杆顶端A的仰角为40°，求旗杆AB的高度．(结果精确到0.1m，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)题图④解：如解图，过点C作CE⊥AB交AB于点E，过点D作DF⊥AB交AB于点F，题图④EF由题意可知，BE＝4.6，CD＝4.1，∠CBE＝53°，∠ADF＝40°，∴EF＝CD＝4.1.在Rt△BEC中，∠CBE＝53°，tan53°＝

，即1.33≈

，解得CE≈6.12，∴DF＝CE＝6.12.在Rt△AFD中，∠ADF＝40°，∴tan40°＝

，即0.84≈

，解得AF≈5.14，∴AB＝AF＋EF＋BE＝5.14＋4.1＋4.6≈13.8.答：旗杆AB的高度约为13.8m.题图④EF模型总结模型二背靠背型【模型展示】在三角形内部作高：【模型分析】如图①，在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边CD是解题的关键．如图②，过较短的底边作梯形的高，构造矩形和直角三角形，其中CD＝EF是解题关键．图①图②【测量方案五】如图⑤，某一时刻，旗杆AB的影子有一部分落在距离旗杆5.3m处的教学楼上，此时在点B处测得影子最高点C的仰角为33°，同一时刻，测得站在点F处身高为1.76m的小华的影长FG＝0.9m，求旗杆AB的高度．(结果精确到0.1，参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65)题图⑤解：如解图④，过点C作CH⊥AB交AB于点H，题图⑤H由题意可知BD＝5.3，EF＝1.76，FG＝0.9，∴tan∠EGF＝

＝

≈1.96，∴tan∠ACH＝1.96，由题意易得四边形BDCH为矩形，∴CH＝BD＝5.3，在Rt△BCH中，∠BCH＝33°，∴tan33°＝

，即0.65≈

，解得BH≈3.45.在Rt△ACH中，tan∠ACH＝1.96，∴tan∠ACH＝

，即1.96＝

，解得AH≈10.39，∴AB＝AH＋BH＝10.39＋3.45＝13.84≈13.8.答：旗杆AB的高度约为13.8m.H题图⑤【测量方案六】如图⑥，小明在点C处测得旗杆顶端A的仰角为45°，再用一架无人机从点C处起飞，沿直线CD以1.9m/s的速度匀速垂直上升，4s后无人机飞行至点D，在此处测得旗杆底端B的俯角为29°，求旗杆AB的高度．(结果精确到0.1，参考数据：sin29°≈0.48，cos29°≈0.87，tan29°≈0.55)题图⑥解：由题意可知CD＝1.9×4＝7.6，在Rt△DCB中，∠DBC＝29°，∴tan29°＝

，即0.55≈

，解得CB