2024内蒙古中考数学一轮知识点复习 第20课时 等腰三角形与直角三角形（课件）

第20课时等腰三角形与直角三角形

考点精讲1

重难点分层练2

内蒙古中考真题及拓展3等腰三角形的性质与判定性质判定面积公式等边三角形的性质与判定性质判定面积公式性质判定面积公式直角三角形的性质与判定等腰直角三角形的性质与判定性质判定面积公式等腰三角形与直角三角形考点精讲

【对接教材】北师：八上第一章P1～P19，

八下第一章P2～P21；

人教：八上第十三章P75～P84，

八下第十七章P21～P39.1考点等腰三角形的性质与判定性质1.两腰_____；2.两个底角_____(简写成“等边对等角”)；3.等腰三角形的______________、______________、______________相互重合(简称“三线合一”)；4.是轴对称图形，有___条对称轴，其对称轴为底边上的高(底边上的中线或顶角的平分线)所在的直线．判定1.有两边相等的三角形是等腰三角形(定义)；2.有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”)相等相等顶角的平分线底边上的中线底边上的高线1面积公式S＝ah，其中a是底边长，h是底边上的高【满分技法】涉及等腰三角形的边、角问题不明确时，常常分情况进行讨论，看某条边是底边还是腰，看角是底角还是顶角2考点等边三角形的性质与判定性质1.具有等腰三角形的所有性质；2.三边_____；3.三个内角都相等，且每个角都等于_____；4.是轴对称图形，有___条对称轴，其对称轴为每一条边上的高(或每一条边上中线或顶角的平分线)所在的直线判定1.三边都相等的三角形是等边三角形(定义)；2.三个角都相等的三角形是等边三角形；3.有一个角是_____的等腰三角形是等边三角形面积公式S＝ah＝a2，其中a是等边三角形的边长，h是任意边上的高，h＝a相等60°360°3考点直角三角形的性质与判定性质1.两锐角之和等于_____；2.斜边上的中线等于___________；3.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于_____________；4.勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则有____________；5.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于____(在解答过程中需要证明)90°斜边的一半斜a2＋b230°边的一半＝c2判定1.有一个角为90°的三角形是直角三角形；2.有两个角互余的三角形是直角三角形；3.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长分别为a，b，c，若满足____________________________________________，那么这个三角形为直角三角形；4.如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形为直角三角形(解答题使用时需证明)面积公式S＝ab＝ch(其中a，b为两条直角边，h是斜边c上的高)a2＋b2＝c2(答案不唯一，a2＋c2＝b2或b2＋c2＝a2)4考点等腰直角三角形的性质与判定性质1.具有直角三角形的所有性质；2.两直角边相等，即AC＝BC；3.两锐角相等且都等于_____判定1.顶角为_____的等腰三角形是等腰直角三角形；2.有两个角为_____的三角形是等腰直角三角形；3.有一个角为45°的_____三角形是等腰直角三角形；4._________相等的直角三角形是等腰直角三角形面积公式S＝a2＝ch＝c2＝ah(a为直角边的长，h为斜边c上的高)45°90°45°直角两直角边第1题图证明：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简称“三线合一”)．1.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线．求证：AD平分∠BAC，AD⊥BC.【自主作答】证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，∴BD＝DC.在△ABD和△ACD中，

回归教材

∴△ABD≌△ACD(SSS)，∴∠BAD＝∠CAD，∠BDA＝∠CDA.∵∠BDA＋∠CDA＝180°，∴∠BDA＝∠CDA＝90°，∴AD平分∠BAC，AD⊥BC.第1题图证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．2.已知：如图，△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∠A＝30°.求证：BC＝

AB.【自主作答】第2题图证明：如解图，延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD，D∴∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ACD＝90°，∠B＝60°.∵AC＝AC，∴△ABC≌△ADC(SAS)，∴AB＝AD，∴△ABD是等边三角形，∴BC＝

BD＝

AB.第2题解图D例1

如图①，已知△ABC，AB＝AC，D为BC上一点，E为AC上一点，连接AD，DE.重难点分层练一题多设问例1题图一、等腰三角形的相关证明与计算回顾必备知识(1)若∠BAC＝50°，∠BAD＝40°，AD＝AE，则∠B的度数为____，∠EDC的度数为____；65°20°【解题依据】第一空用到的等腰三角形的性质为_________________________．等腰三角形的两底角相等例1题图(2)在△ABC中，若一边长为10，一边长为16，则△ABC的周长为______；(3)若AB＝10，BC＝16，则△ABC的面积为____，AB边上高为____；36或4248例1题图(4)如图②，AD为BC边上的中线，DE⊥AC，BC＝10.①若∠BAD＝30°，则△ABC的面积为______，∠CDE的度数为____，CE的长为____；【判定依据】此处用到的三角形判定依据为_______________________________________．②若AB＝13，则点D到AB的距离为___．例1题图30°有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形例2已知△ABC为等腰三角形，AB＝AC，AD⊥BC，点E是AC上一点，连接BE交AD于点G.(1)如图①，BE是AC边上的高．①若∠BAC＝40°，则∠AGE的度数为____；一题多设问图①例2题图【解法提示】∵AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝40°，∴∠CAD＝∠BAD＝20°.∵BE是AC边上的高，∴∠BEA＝90°，∴∠AGE＝70°；70°提升关键能力②若AB＝13，BC＝10，则BE的长为____；图①例2题图【解法提示】由题意得，AB＝AC＝13，BC＝10，AD⊥BC，∴BD＝CD＝5，∴AD＝

＝12，∵BE是边AC的高，∴S△ABC＝

BC·AD＝

AC·BE，∴BE＝.为_____；(2)如图②，若BE是AC边上的中线，AB＝AC＝13，BC＝10，则GE的长例2题图②【解法提示】∵在等腰△ABC中，AB＝AC＝13，AD⊥BC，BC＝10，∴BD＝CD＝

BC＝5，∴在Rt△ACD中，AD＝

＝

＝12.如解图①，过点E作EF∥BC，则EF⊥AD，∵点E为AC的中点，∴点F为AD的中点，即EF为△ACD的中位线，∴FD＝

AD＝6，EF＝

CD＝.∵EF∥BC，∟F∴△EGF∽△BGD，∴，∴GF＝

FD＝2，∴在Rt△GEF中，GE＝

＝

＝.GE的长为例2题图②∟F(3)如图③，BE是∠ABC的平分线．①若∠BAC＝36°，写出图中所有的等腰三角形，并说明理由；例2题图③①△ABC，△ABE，△CBE，理由如下：由题意可知△ABC是等腰三角形，∵∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°.∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE＝∠EBC＝36°，∴∠BAE＝∠ABE，即△ABE是等腰三角形．在△BCE中，∠BEC＝180°－∠ACB－∠EBC＝72°，∴∠BCE＝∠BEC，即△BCE是等腰三角形；②当AB＝13，BC＝10，求AG的长．②如解图，过点G作GH⊥AB交AB于点H，∟H∵等腰△ABC中，AB＝AC＝13，AD⊥BC，BC＝10，∴BD＝CD＝

BC＝5，∴在Rt△ABD中，AD＝

＝12，∴S△ABD＝

×5×12＝30.∵S△ABD＝S△ABG＋S△DBG，∴30＝

×13HG＋

×5DG.例2题图③∵BE是∠ABC的平分线，∴HG＝DG，∴30＝

×13×DG＋

×5×DG，解得DG＝

，∴AG＝AD－DG＝12－

＝

；∟H例2题图③(4)如图④，若∠BAC＝60°，AB＝6，CE＝2AE，求S△ABE和DG的长．(4)如解图，过点E作EF⊥AB于点F，作EH∥BC交AB于点H，交AD于点M，∟FHM∵CE＝2AE，AC＝AB＝6，∴AE＝2.∵EF⊥AB，∠BAC＝60°，∴EF＝AE·sin60°＝

，AF＝AE·cos60°＝1，∴S△ABE＝

AB·EF＝

×6×＝3，例2题图④由题意知，△ABC为等边三角形，AE＝2，CE＝4，BD＝CD＝3，∴AD＝

＝

，∵EH∥BC，∴△AHE∽△ABC

，∴

，∴AM＝

，∴MD＝

，∴EM＝

＝1.∵EM∥BD，∴△EMG∽△BDG

，∴

.∵MG＋DG＝

，∴MG＝

，DG＝

.∟FHM例2题图④二、直角三角形的相关证明与计算例3

△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，点D为AB上的一点，连接CD.(1)若∠A＝40°，则∠B＝____°；一题多设问例3题图①50回顾必备知识(2)如图①，当点D为AB的中点，∠B＝30°时．①若AB＝10，则CD＝___，AC＝___；【解题依据】第一空用到的直角三角形的性质为_____________________________________；第二空用到的直角三角形的性质为__________________________________________________.②若△ACD的面积为9

，则AC＝___，△BCD的周长为________；55直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半6例3题图①(3)如图②，当CD⊥AB时，①若AC＝3，AB＝5，则CD＝___，S△ABC＝___；②若AC＝2，AB＝4，则∠ACD＝____；③若∠B＝45°，AC＝2，则BD＝___；(4)若BC＋AB＝8，AC＝4，则BC的长为___．630°3例3题图②例4在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是BC上一点，点E是AB上一点．(1)如图①，若∠B＝30°，∠ADC＝45°，DE⊥AB于点E，AB＝4，则DE的长为______；一题多设问例4题图(2)如图②，若AD平分∠CAB，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BD＝2，CD＝1，则ME的长为_____；提升关键能力(3)如图③，若点D是BC的中点，AC＝6，BC＝8，点E是边AB上的动点，要使△BED为直角三角形，则BE的长为________；(4)如图④，∠B＝45°，AC＝4，DB＝1，点E为AB上一动点，则CE＋DE的最小值为____．图③图④例4题图5或等腰三角形的相关计算(包头5考，呼和浩特4考，赤峰2考)内蒙古中考真题及拓展1命题点1.(2022包头、巴彦淖尔10题3分)已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4.且a、b是关于x的一元二次方程x2－12x＋m＋2＝0的两根，则m的值是(

)

A.34B.30C.30或34D.30或36A拓展训练2.(2023陕西)如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若AC＝6cm，CD⊥BC，则线段CE的长度为(

)

A.6cmB.7cmC.6cmD.8cm第2题图D3.(2023绍兴)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连接AP，则∠BAP的度数是___________.第3题图15°或75°4.(2023江西)如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC＝80°，BE平分∠ABC交AC于点E，ED⊥AB于点D，求证：AD＝BD.第4题图证明：∵BE平分∠ABC，∠ABC＝80°，∴∠EBA＝

∠ABC＝

×80°＝40°.又∵∠A＝40°，∴∠EBA＝∠A，∴BE＝AE，△AEB为等腰三角形．又∵ED⊥AB，∴AD＝BD.直角三角形的相关证明与计算(包头6考，呼和浩特6考，赤峰2考)2命题点第5题图5.(2022包头8题3分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°,D是AB的中点，BE⊥CD，交CD的延长线于点E.若AC＝2，BC＝2，则BE的长为(

)A.B.C.D.A6.(2022包头20题3分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，D为斜边AC的中点，连接BD，F是BC边上的动点(不与点B，C重合)，过点B作BE⊥BD交DF延长线于点E，连接CE.下列结论：①若BF＝CF，则CE2＋AD2＝DE2；②若∠BDE＝∠BAC，AB＝4，则CE＝

；③△ABD和△CBE一定相似；④若∠A＝30°，∠BCE＝90°，则DE＝

.其中正确的是_______．(填写所有正确结论的序号)第6题图①②④7.(2022呼和浩特18题6分)如图，在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c.(1)若a＝6，b＝8，c＝12，请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系；第7题图(1)解：∠C>∠A＋∠B；(2)求证：△ABC的内角和等于180°；第7题图(2)证明：如解图所示，过点B作DE∥AC，DE则∠A＝∠ABD，∠C＝∠CBE.∵∠ABD＋∠ABC＋∠CBE＝180°，∴∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，即△ABC的内角和等于180°；(3)若

，求证：△ABC是直角三角形．第7题图(3)证明：原式可变形为

，∴(a＋c)2－b2＝2ac，∴a2＋2ac＋c2－b2＝2ac，∴a2＋c2＝b2，∴△ABC是直角三角形．拓展训练8.(2