2025届高三数学一轮复习策略讲座

学科本质与核心素养立意下的高考与复习建议报告提纲2核心素养及学科价值与本质立意下的高考与教学2024高考试题评析2024高考数学

试卷评析与复习策略3全国I卷命题细目表4题目题型知识板块1单选题集合运算2复数的概念与运算3平面向量坐标运算4三角恒等变换5圆柱与圆锥的侧面积与体积计算6含参分段函数的单调性7三角函数图象变换8函数递推9多选题正态分布10三次函数图图象与性质11曲线与方程的探究（叶形线）12填空题双曲线离心率13函数切线14概率计算15解答题解三角形16解析几何（椭圆背景）17立体几何（四棱锥）18导数（多参数）19数列创新题函数：6，8，10，13，18；三角：4，7，15解析几何：11，12，16立体几何：5，17统计与概率：9，14，19集合与逻辑：1，18复数与平面向量：2，3全国卷新气象5走大道求大气宽广融通试题注重数学学科价值与本质体现全面、综合、应用：灵活地考察学科能力多想少算思维的灵活性6进一步验证7全面认识三次函数两根式𝑓

𝑥

= 𝑥

−

1

2

𝑥

−4

，重根1（切于x轴），单根4𝑓′

𝑥 =3(𝑥−1)(𝑥−3)，对称中心（2，-2），A正确因为𝑥∈(0,1)时，𝑥2

<𝑥，结合图象B错𝑥∈(1,2)时，2𝑥−1∈(1,3)，结合图象知C正确；当𝑥∈(−1,0)时，2−𝑥∈(2,3)，由伪极值点关系知D正确8熟练认识三次函数𝑓′

𝑥 =

6𝑥(𝑥

−

𝑎),𝑓′′

𝑥 =

12 𝑥

−

𝑎2𝑓

0

=1，𝑥=0与𝑥=𝑎处取极值，𝑓

0 =

1,𝑓

𝑎 =

1−

𝑎3𝑎对称中心(𝑎

,

𝑓

)𝑎

>

1𝑎

<

0229三次函数图象与性质消参减元，作图识图能力11𝑎

<

0𝑎

=

0𝑎

>

0𝑎

=

2作图中寻找突破口12三角函数图象变换13图象直观与判断BC14图象直观与判断15曲线与方程16叶形线17试题具有探究性18列举法：𝑥=0时：1种，𝑥=1时：11种共有24种组合，故概率为0.5甲1357乙24862684264828644268462846824862642864828462试题具有探究性19图表20打破模式、套路、顺序，引导全面掌握主干知识21（2）观察得当B为下顶点时符合题意，再因为AP是定线段，故过下顶点且与AP平行的直线与椭圆的另一个交点也符合正确空间直观是立几问题基础22立体几何复习建议培养正确空间观念多比划、多演示呈现运动变化中的不变性在动态几何体中辨析空间元素位置与度量关系23函数图象与性质综合探究24𝑦

=

𝑙𝑛𝑥2−

𝑥𝑦′

=21

−

(𝑥

−

1)22−𝑥（2）由𝑓

𝑥 =

𝑙𝑛

𝑥

+𝑎 𝑥

−

1 +

𝑏(𝑥

−

1)3+𝑎知图象关于(1,

𝑎)对称。破解方法：拆解-合成图象25𝑔

𝑥 =

𝑙𝑛𝑥2−

𝑥ℎ

𝑥 =

𝑏(𝑥

−

1)3𝑡

𝑥 =

𝑎𝑥2024高考数学I卷创新压轴题26创新题：数学实验离散思维组合数学27设m为正整数，数列𝑎1,

𝑎2,

…

,

𝑎4𝑚+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项𝑎𝑖和𝑎𝑗(𝑖

<

𝑗)后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列𝑎1,

𝑎2,

…

,

𝑎4𝑚+2是

𝑖,

𝑗 −可分数列．写出所有的

𝑖,

𝑗

，1

≤

𝑖

<

𝑗

≤

6，使数列𝑎1,

𝑎2,

…

,

𝑎6是

𝑖,

𝑗 −可分数列；当𝑚

≥

3时，证明：数列𝑎1,

𝑎2,

…

,

𝑎4𝑚+2是

2,13 −可分数列；从1,2,

…

,

4𝑚

+

2中一次任取两个数𝑖和𝑗(𝑖

<

𝑗)，记数列𝑎1,

𝑎2,

…

,

𝑎4𝑚+2是

𝑖,

𝑗 −可分数列的概率为𝑃𝑚，8证明：𝑃𝑚

>1．(I)解析：数学实验理解题意28设m为正整数，数列𝑎1,

𝑎2,

…

,

𝑎4𝑚+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项𝑎𝑖和𝑎𝑗(𝑖

<

𝑗)后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列𝑎1,

𝑎2,

…

,

𝑎4𝑚+2是

𝑖,

𝑗 −可分数列．写出所有的

𝑖,

𝑗

，1

≤

𝑖

<

𝑗

≤

6，使数列𝑎1,

𝑎2,

…

,

𝑎6是

𝑖,

𝑗 −可分数列；当𝑚

≥

3时，证明：数列𝑎1,

𝑎2,

…

,

𝑎4𝑚+2是

2,13 −可分数列；从1,2,

…

,

4𝑚

+

2中一次任取两个数𝑖和𝑗(𝑖

<

𝑗)，记数列𝑎1,

𝑎2,

…

,

𝑎4𝑚+2是

𝑖,

𝑗 −可分数列的概率为𝑃𝑚，8证明：𝑃𝑚

>1．根据题意和实例，列表删除两项后，使剩余项成等差数列规律小结：删一个单元4m+2项的前两项，后两项，首尾项(II)解析：数学实验指出剩余4项一组的等差数列29设m为正整数，数列𝑎1,

𝑎2,

…

,

𝑎4𝑚+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项𝑎𝑖和𝑎𝑗(𝑖

<

𝑗)后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列𝑎1,

𝑎2,

…

,

𝑎4𝑚+2是

𝑖,

𝑗 −可分数列．写出所有的

𝑖,

𝑗

，1

≤

𝑖

<

𝑗

≤

6，使数列𝑎1,

𝑎2,

…

,

𝑎6是

𝑖,

𝑗 −可分数列；当𝑚

≥

3时，证明：数列𝑎1,

𝑎2,

…

,

𝑎4𝑚+2是

2,13 −可分数列；从1,2,

…

,

4𝑚

+

2中一次任取两个数𝑖和𝑗(𝑖

<

𝑗)，记数列𝑎1,

𝑎2,

…

,

𝑎4𝑚+2是

𝑖,

𝑗 −可分数列的概率为𝑃𝑚，8证明：𝑃𝑚

>1．列出部分项，前14项分出来即可，后面可以按周期中4项即可(II)解析：给出另一种删法30设m为正整数，数列𝑎1,

𝑎2,

…

,

𝑎4𝑚+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项𝑎𝑖和𝑎𝑗(𝑖

<

𝑗)后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列𝑎1,

𝑎2,

…

,

𝑎4𝑚+2是

𝑖,

𝑗 −可分数列．写出所有的

𝑖,

𝑗

，1

≤

𝑖

<

𝑗

≤

6，使数列𝑎1,

𝑎2,

…

,

𝑎6是

𝑖,

𝑗 −可分数列；当𝑚

≥

3时，证明：数列𝑎1,

𝑎2,

…

,

𝑎4𝑚+2是

2,13 −可分数列；从1,2,

…

,

4𝑚

+

2中一次任取两个数𝑖和𝑗(𝑖

<

𝑗)，记数列𝑎1,

𝑎2,

…

,

𝑎4𝑚+2是

𝑖,

𝑗 −可分数列的概率为𝑃𝑚，8证明：𝑃𝑚

>1．规律小结：可以考虑删4m+2项中距首尾的第二项(I)推广31设m为正整数，数列𝑎1,

𝑎2,

…

,

𝑎4𝑚+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项𝑎𝑖和𝑎𝑗(𝑖

<

𝑗)后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列𝑎1,

𝑎2,

…

,

𝑎4𝑚+2是

𝑖,

𝑗 −可分数列．写出所有的

𝑖,

𝑗

，1

≤

𝑖

<

𝑗

≤

6，使数列𝑎1,

𝑎2,

…

,

𝑎6是

𝑖,

𝑗 −可分数列；当𝑚

≥

3时，证明：数列𝑎1,

𝑎2,

…

,

𝑎4𝑚+2是

2,13 −可分数列；从1,2,

…

,

4𝑚

+

2中一次任取两个数𝑖和𝑗(𝑖

<

𝑗)，记数列𝑎1,

𝑎2,

…

,

𝑎4𝑚+2是

𝑖,

𝑗 −可分数列的概率为𝑃𝑚，8证明：𝑃𝑚

>1．规律小结：

4𝑝

+

1,4𝑞

+

2 −

可分,

(0

≤

𝑝

≤

𝑞

≤

𝑚

−

1)(II)推广32设m为正整数，数列𝑎1,

𝑎2,

…

,

𝑎4𝑚+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项𝑎𝑖和𝑎𝑗(𝑖

<

𝑗)后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列𝑎1,

𝑎2,

…

,

𝑎4𝑚+2是

𝑖,

𝑗 −可分数列．写出所有的

𝑖,

𝑗

，1

≤

𝑖

<

𝑗

≤

6，使数列𝑎1,

𝑎2,

…

,

𝑎6是

𝑖,

𝑗 −可分数列；当𝑚

≥

3时，证明：数列𝑎1,

𝑎2,

…

,

𝑎4𝑚+2是

2,13 −可分数列；从1,2,

…

,

4𝑚

+

2中一次任取两个数𝑖和𝑗(𝑖

<

𝑗)，记数列𝑎1,

𝑎2,

…

,

𝑎4𝑚+2是

𝑖,

𝑗 −可分数列的概率为𝑃𝑚，8证明：𝑃𝑚

>1．规律小结：

2,9

, 2,13

符合规律小结：

2,5

不符合，不可以在同一个4m+2节内规律小结：

4𝑝

+

2,4𝑞

+5 −

可分,

(0

≤

𝑝

<

𝑞

≤

𝑚

−

1)(III)解析：分两类计数求概率；可以各类将具体分法写出来33设m为正整数，数列𝑎1,

𝑎2,

…

,

𝑎4𝑚+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项𝑎𝑖和𝑎𝑗(𝑖

<

𝑗)后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列𝑎1,

𝑎2,

…

,

𝑎4𝑚+2是

𝑖,

𝑗 −可分数列．写出所有的

𝑖,

𝑗

，1

≤

𝑖

<

𝑗

≤

6，使数列𝑎1,

𝑎2,

…

,

𝑎6是

𝑖,

𝑗 −可分数列；当𝑚

≥

3时，证明：数列𝑎1,

𝑎2,

…

,

𝑎4𝑚+2是

2,13 −可分数列；从1,2,

…

,

4𝑚

+

2中一次任取两个数𝑖和𝑗(𝑖

<

𝑗)，记数列𝑎1,

𝑎2,

…

,

𝑎4𝑚+2是

𝑖,

𝑗 −可分数列的概率为𝑃𝑚，8证明：𝑃𝑚

>1．(III)数学归纳法34设m为正整数，数列𝑎1,

𝑎2,

…

,

𝑎4𝑚+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项𝑎𝑖和𝑎𝑗(𝑖

<

𝑗)后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列𝑎1,

𝑎2,

…

,

𝑎4𝑚+2是

𝑖,

𝑗 −可分数列．写出所有的

𝑖,

𝑗

，1

≤

𝑖

<

𝑗

≤

6，使数列𝑎1,

𝑎2,

…

,

𝑎6是

𝑖,

𝑗 −可分数列；当𝑚

≥

3时，证明：数列𝑎1,

𝑎2,

…

,

𝑎4𝑚+2是

2,13 −可分数列；从1,2,

…

,

4𝑚

+

2中一次任取两个数𝑖和𝑗(𝑖

<

𝑗)，记数列𝑎1,

𝑎2,

…

,

𝑎4𝑚+2是

𝑖,

𝑗 −可分数列的概率为𝑃𝑚，8证明：𝑃𝑚

>1．当𝑚=1时，𝑖,𝑗(𝑖<𝑗)：(1,2);(1,6);(5,6)；共3种，𝑃1

≥6𝐶23

=

1

>

15

8当𝑚=2时，𝑖,𝑗(𝑖<𝑗)：(1,2);(1,6);(5,6);(1,10);(9,10);(5,10);(2,9)；共7种，𝑃2

≥10𝐶27

=

7

>

125

82假设𝑚

=

𝑘时，

𝑖,

𝑗

(𝑖

<

𝑗)共𝑘 +

𝑘

+

1种，𝑃

≥2𝑘

+𝑘+14𝑘+2𝑘

𝐶2=

>𝑘2+𝑘+1

𝑘2+𝑘+1

=

18𝑘2+6𝑘+1

8𝑘2+8𝑘+8

8当𝑚

=

𝑘

+

1时，考虑后四项与前面各项相比新增加的

𝑖,

𝑗 −可分的情形有：第一类：(1,4(k+1)+2);(5,4(k+1)+2);…;(4k+1,4(k+1)+2)；共𝑘+1个；第二类：(2,4(k+1)+1);(6,4(k+1)+1);…;(4(k-1)+2,4(k+1)+1)；共𝑘个；第三类：(4(k+1)+1,4(k+1)+2)；共1个；（可并入第二类）共计

𝑘2

+

𝑘

+

1 +

𝑘

+ 𝑘

+

2 +

1

=

(𝑘

+

1)2+

𝑘

+

1 +

1个。即𝑃𝑘+14𝑘+6𝐶2>≥

(𝑘+1)2+

𝑘+1

+1

=

(𝑘+1)2+

𝑘+1

+1 (𝑘+1)2+

𝑘+1

+1

=

18(𝑘+1)2+6(𝑘+1)+1

8(𝑘+1)2+8(𝑘+1)+8

8压轴创新题特色及备考策略考数学思维能力比数学知识更突出离散思维、组合思维、数学实验、探究精神符号语言、数学抽象能力、三会目标35一些基础知识、基本原理与方法数列、集合、组合背景36抽屉原理、最小数原理、夹逼原理简单数论与组合知识等归纳法、反证法、无穷递降法、算两次、构造等几点备考与教学建议37多想少算型试题的训练符号语言阅读理解表达基本原理的了解与应用基本方法的补充与使用无须全体学生学习竞赛价值引领与素养立意的课程标准与高考38高考内容改革的历史沿革39知识立意恢复高考伊始能力立意20世纪90年代开始综合立意价值引领、素养导向能力为重、知识为基价值与素养立意下新结构试卷特点40抛弃知识点拼凑的命题方式概念本质的全面与深度理解多想少算具备数学核心素养情境与价值本质将难以兼顾中国高考评价体系：一核、四层、四翼41核心功能考查目标考查要求考什么怎么考学科素养目标与核心价值观念的教学挑战学科素养与核心价值观念42能不能教出来？怎样教出来？能力立意与素养立意考试大纲能力要求43空间想象能力抽象概括能力推理论证能力运算求解能力数据处理能力应用意识和创新意识数学抽象逻辑推理数学建模直观想象数学运算数据分析课程标准核心素养VS能力立意与素养立意考试大纲能力要求44空间想象能力抽象概括能力推理论证能力运算求解能力数据处理能力应用意识和创新意识数学抽象逻辑推理数学建模直观想象数学运算数据分析课程标准核心素养VS素养立意下的高考复习与教学题型归纳已是无类可归的状态命题指向学科本质与核心素养关注学科本质解析非题型教学重视数学思维体验非死记硬背45以不变应万变46一体四翼立德树人主干内容重点考查突显学科价值观念导向核心素养培养题序变化不押不猜梳理问题全面备考以不变应万变47一体四翼立德树人主干内容重点考查突显学科价值观念导向核心素养培养题序变化不押不猜梳理问题全面备考不掉进难题、偏题、怪题陷进48题海战术就是大海捞针思想方法能力素养根本好题面向数学概念本质能力与素养要求49全面系统的知识方法体系敏捷的数学逻辑思维能力探索未知问题能力与习惯组合思维与离散数学思维死记硬背与题海战术培养不出来拨尖创新人才50如何看待二级结论？把握高考复习方向与方法51始终站在学科本质理解与核心素养培养的立场教学、复习高中数学课程标准目标体系基础知识基本技能基本经验基本思想方法分析和解决问题的能力发现和提出问题的能力数据分析数学运算直观想象数学建模逻辑推理数学抽象正确价值观念、必备品格、关键能力会用数学眼光观察世界会用数学思维思考世界会用数学语言表达世界理性思维科学精神智力发展立德树人在复杂多样的数学思维活动中积累经验素养53观察操作运算判断归纳演绎类比猜想联想试误概括直观抽象模型模式表达应用分析综合反思提炼定义迁移训练……经历丰富多彩的学习活动领悟学科本质54发现问题提出问题分析对象抽象概念运算推理分析形式理解本质猜想验证辨析比较论证推断规范表达迁移训练……高考复习中如何让素养落地问题的本质思想情境问题与活动知识的来龙去脉活动经验的积累思想方法的领悟核心素养的沉淀感想数与形思维、思想发散与逻辑直观与理性素养与创新56数学教育教学的一个核心“目标”57学生心智成长与品质发展题型归纳与数学素养题型归纳58本质素养整体性大概念、大单元、大主题、大问题教学中形成价值观念逻辑的连贯性思想的一致性方法的普适性思维的系统性59有利于掌握四基培养四能领悟思想形成素养函数图象主题教学中数学价值观念高中数学作函数图象的教学61高中阶段关于函数图象的相对起始作用的教学有哪些（不含解题方面的）？我们梳理过其体系吗？作函数图象的基本方法是什么？作函数图象的教学体系62“幂、指、对”函数图像正弦函数图像五点法作三角函数图像三角函数图像变换双勾函数的图象函数与导函数的图象（函数图象与性质的综合运用）……作函数图象的教学体系63“幂、指、对”函数图像正弦函数图像五点法作三角函数图像三角函数图像变换双勾函数的图象函数与导函数的图象（函数图象与性质的综合运用）……共同的学科价值观念？作函数图象的基本思维方法描点作图：探究意识直观←→抽象

形←→数64作函数图象的教学程序化、模式化？探究函数图象的意识与方法作图象的根本方法是描点法估算、位置判断、走势联想65𝒙作函数𝒚=𝒙+𝟏的图像66𝑥用描点法作y=x+1的图像？函数y

=

x+

1、g(x)=x、h

x =

1有联系吗?𝑥

𝑥拆解-合成67先分别画出各简单函数值运算、估算合成新函数值作函数𝒚=𝒙𝒆𝒙的图像682023北京高考导数69拆解-合成描点作图法的应用举例70已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.求a的取值范围；把握学科本质的教学举例函数图象与性质探究相位比较与运用含参问题的处理策略三角函数定义与诱导公式……函数图象与性质综合探究问题导数在解决函数图象与性质中的作用73切线引导曲线正负定增减大小定快慢切线引导曲线的入门教学74已知导函数，原导函数的图像确定吗？唯一吗？自行车车轮行进轨迹导数的定义与切线导数是切线的斜率切点附近曲线沿切线变化切线偏转即为割线75函数图象与性质分析才是解决问题的根本途径76函数图象与性质分析拆解-合成函数图象切线引导曲线变化高考题评讲2022全国乙卷21函数性质综合探究772022全国乙卷21导数综合78已知函数𝑓

𝑥 =

𝑙𝑛

1

+

𝑥 +

𝑎𝑥𝑒−𝑥.

（1）当𝑎

=

1时，求曲线𝑦

=

𝑓

𝑥

在点(0,

𝑓

0

)处的切线方程；（2）若𝑓

𝑥

在区间(−1,0),(0,+∞)各恰有一个零点，求𝑎的取值范围．要求：数形结合、先猜后证、逻辑严谨，素养全面第1问解析及其意义79已知函数𝑓

𝑥 =

𝑙𝑛

1

+

𝑥 +

𝑎𝑥𝑒−𝑥.

（1）当𝑎

=

1时，求曲线𝑦

=

𝑓

𝑥

在点(0,

𝑓

0

)处的切线方程；（2）若𝑓

𝑥

在区间(−1,0),(0,+∞)各恰有一个零点，求𝑎的取值范围．（1）【解】𝑓

𝑥

的定义域为(−1,+∞)，当𝑎=1时,𝑓

𝑥𝑒𝑥=

𝑙𝑛

1

+

𝑥 +

𝑥

，𝑓

0=0,所以切点为(0,0)，𝑓′

𝑥

=11+𝑥𝑒𝑥+

1−𝑥，𝑓′

0 =

2所以曲线𝑦=𝑓

𝑥

在点(0,𝑓

0)处的切线方程为𝑦=2𝑥ℎ(𝑥)=ln(1+𝑥)在点(0,𝑓

0)处的切线方程为𝑦=𝑥

，𝑡(𝑥)=𝑥𝑒−𝑥在点(0,𝑓

0)处的切线方程为𝑦=𝑥；两个函数叠加起来得切线方程为𝑦=2𝑥.切线对函数图象与性质有何意义？能画出函数图象吗？第2问解析：分段观察参数对函数图象与性质的影响80已知函数𝑓

𝑥 =

𝑙𝑛

1

+

𝑥 +

𝑎𝑥𝑒−𝑥.

（1）当𝑎

=

1时，求曲线𝑦

=

𝑓

𝑥

在点(0,

𝑓

0

)处的切线方程；（2）若𝑓

𝑥

在区间(−1,0),(0,+∞)各恰有一个零点，求𝑎的取值范围．拆解分析，红线固定，蓝线变化观察参数变化时两函数合成情况。𝑎>0时，蓝线总体形态变化不大！当𝑎>0时，在同一坐标系中分别作出ℎ(𝑥)

=

ln(1

+

𝑥)，𝑡(𝑥)

=

𝑎𝑥𝑒−𝑥，两图象叠加后与𝑥轴只交于原点。𝑎=0时也一样。合成恒负合成恒正81第2问解析：分段观察参数对函数图象与性质的影响当𝑎<0时，−𝑎>0，考察ℎ(𝑥)=ln(1+𝑥)，𝑚(𝑥)=−𝑎𝑥𝑒−𝑥两函数图象交点情形。其中ℎ(𝑥)=ln(1+𝑥)图象确定，由𝑚′(𝑥)=−𝑎(1−𝑥)𝑒−𝑥，由图象知𝑚′

0 =

−𝑎

≤

1时，两函数在(0,+∞)上无交点，不符合，此时−1≤𝑎<0.已知函数𝑓

𝑥 =

𝑙𝑛

1

+

𝑥 +

𝑎𝑥𝑒−𝑥.

（1）当𝑎

=

1时，求曲线𝑦

=

𝑓

𝑥

在点(0,

𝑓

0

)处的切线方程；（2）若𝑓

𝑥

在区间(−1,0),(0,+∞)各恰有一个零点，求𝑎的取值范围．𝑎<0时，如何观察？看方程𝑙𝑛

1

+

𝑥 =

−𝑎𝑥𝑒−𝑥的解，两曲线交点下压，向左穿过红线有交点抬升，有交点下压，无交点抬升，无交点82第2问解析：分段观察参数对函数图象与性质的影响已知函数𝑓

𝑥 =

𝑙𝑛

1

+

𝑥 +

𝑎𝑥𝑒−𝑥.

（1）当𝑎

=

1时，求曲线𝑦

=

𝑓

𝑥

在点(0,

𝑓

0

)处的切线方程；（2）若𝑓

𝑥

在区间(−1,0),(0,+∞)各恰有一个零点，求𝑎的取值范围．当𝑎<−1，由切线引导曲线变化知，两函数在(0,+∞)上有交点，考察𝑥∈(−1,0)，𝑚(𝑥)=−𝑎𝑥𝑒−𝑥

与直线𝑥=−1交于A点，向右与ℎ(𝑥)=ln(1+𝑥)相交，且在原点处由下方向上穿过ℎ(𝑥)=ln(1+𝑥)，符合题意。按图索骥，思路明确，写出解答83第2问解答已知函数𝑓

𝑥 =

𝑙𝑛

1

+

𝑥 +

𝑎𝑥𝑒−𝑥.

（1）当𝑎

=

1时，求曲线𝑦

=

𝑓

𝑥

在点(0,

𝑓

0

)处的切线方程；（2）若𝑓

𝑥

在区间(−1,0),(0,+∞)各恰有一个零点，求𝑎的取值范围．𝑒𝑥𝑓

𝑥 =

ln

1

+

𝑥 +

𝑎𝑥，𝑓′

𝑥=𝑒𝑥1+𝑥

(1+𝑥)𝑒𝑥1

+

𝑎(1−𝑥)

=

𝑒𝑥+𝑎(1−𝑥2)，设𝑔

𝑥 =𝑒𝑥

+𝑎(1

−

𝑥2)若𝑎

≥

0,当𝑥

∈

(−1,0),𝑔

𝑥 =

𝑒𝑥

+𝑎(1

−

𝑥2)>0,即𝑓′

𝑥>

0所以𝑓

𝑥

在(−1,0)上单调递增,𝑓

𝑥 <

𝑓

0 =

0故𝑓

𝑥

在(−1,0)上没有零点,不合题意若𝑒𝑥𝑎

≥

0,当𝑥

∈

(0,

+∞),𝑓

𝑥 =

ln

1

+

𝑥 +

𝑎𝑥

>0,所以𝑓

𝑥

在(0,+∞)上没有零点,不合题意另解：84第2问解答已知函数𝑓

𝑥 =

𝑙𝑛

1

+

𝑥 +

𝑎𝑥𝑒−𝑥.

（1）当𝑎

=

1时，求曲线𝑦

=

𝑓

𝑥

在点(0,

𝑓

0

)处的切线方程；（2）若𝑓

𝑥

在区间(−1,0),(0,+∞)各恰有一个零点，求𝑎的取值范围．𝑒𝑥𝑓

𝑥 =

ln

1

+

𝑥 +

𝑎𝑥，𝑓′

𝑥=𝑒𝑥1+𝑥

(1+𝑥)𝑒𝑥1

+

𝑎(1−𝑥)

=

𝑒𝑥+𝑎(1−𝑥2)，设𝑔

𝑥 =𝑒𝑥

+𝑎(1

−

𝑥2)若−1

≤

𝑎

<

0,当𝑥

∈

(0,

+∞),则𝑔′

𝑥 =

𝑒𝑥

−2𝑎𝑥>0所以𝑔

𝑥

在(0,+∞)上单调递增,所以𝑔

𝑥 >

𝑔

0 =

1

+

𝑎

≥

0,即𝑓′𝑥 >

0>

𝑓

0 =

0，所以𝑓

𝑥

在(0,+∞)上单调递增,𝑓

𝑥故𝑓

𝑥

在(0,+∞)上没有零点,不合题意第2问解答85已知函数𝑓

𝑥 =

𝑙𝑛

1

+

𝑥 +

𝑎𝑥𝑒−𝑥.

（1）当𝑎

=

1时，求曲线𝑦

=

𝑓

𝑥

在点(0,

𝑓

0

)处的切线方程；（2）若𝑓

𝑥

在区间(−1,0),(0,+∞)各恰有一个零点，求𝑎的取值范围．𝑒𝑥𝑓

𝑥 =

ln

1

+

𝑥 +

𝑎𝑥，𝑓′

𝑥=𝑒𝑥1+𝑥

(1+𝑥)𝑒𝑥1

+

𝑎(1−𝑥)

=

𝑒𝑥+𝑎(1−𝑥2)，设𝑔

𝑥 =𝑒𝑥

+𝑎(1

−

𝑥2)若𝑎

<

−1，当𝑔

0 =

1

+

𝑎

<

0,

𝑔

1𝑥

∈

(0,

+∞),则𝑔′

𝑥 =𝑒𝑥

−2𝑎𝑥>0,所以𝑔

𝑥

在(0,

+∞)上单调递增=

𝑒

>

0，所以存在𝑚

∈

(0,1),使得𝑔

𝑚 =

0,即𝑓′

𝑚 =

0当𝑥

∈ 0,

𝑚

,𝑓′

𝑥 <

0,𝑓

𝑥

单调递减，当𝑥

∈

(𝑚,

+∞),𝑓′

𝑥 >0,𝑓

𝑥

单调递增所以当𝑥

∈ 0,

𝑚

,𝑓

𝑥 <

𝑓

0 =

0，𝑓

𝑥

在

0,

𝑚

没有零点,

因为𝑒−𝑎

−

1

>

0𝑓

𝑒−𝑎

−

1 >

ℎ

𝑒−𝑎

−1 +𝑎

≥

𝑙𝑛

𝑒−𝑎

+𝑎

=

−𝑎 1

−1

>

0.𝑒

𝑒

𝑒即𝑓

𝑥

在(0,+∞)上有唯一零点。特征点的找法一86已知函数𝑓

𝑥 =

𝑙𝑛

1

+

𝑥 +

𝑎𝑥𝑒−𝑥.

（1）当𝑎

=

1时，求曲线𝑦

=

𝑓

𝑥

在点(0,

𝑓

0

)处的切线方程；（2）若𝑓

𝑥

在区间(−1,0),(0,+∞)各恰有一个零点，求𝑎的取值范围．𝑒𝑥𝑓

𝑥 =

ln

1

+

𝑥 +

𝑎𝑥，𝑓′

𝑥=𝑒𝑥1+𝑥

(1+𝑥)𝑒𝑥1

+

𝑎(1−𝑥)

=

𝑒𝑥+𝑎(1−𝑥2)，设𝑔

𝑥 =𝑒𝑥

+𝑎(1

−

𝑥2)𝑒𝑚

𝑥 =

−𝑎𝑥𝑒−𝑥

≤

𝑚

1 =

−

𝑎

<

−𝑎

=

ln(𝑥

+

1)，得𝑥=𝑒−𝑎

−1特征点的找法二87已知函数𝑓

𝑥 =

𝑙𝑛

1

+

𝑥 +

𝑎𝑥𝑒−𝑥.

（1）当𝑎

=

1时，求曲线𝑦

=

𝑓

𝑥

在点(0,

𝑓

0

)处的切线方程；（2）若𝑓

𝑥

在区间(−1,0),(0,+∞)各恰有一个零点，求𝑎的取值范围．𝑒𝑥𝑓

𝑥 =

ln

1

+

𝑥 +

𝑎𝑥，𝑓′

𝑥=𝑒𝑥1+𝑥

(1+𝑥)𝑒𝑥1

+

𝑎(1−𝑥)

=

𝑒𝑥+𝑎(1−𝑥2)，设𝑔

𝑥 =𝑒𝑥

+𝑎(1

−

𝑥2)取𝑛(𝑥)=𝑎𝑥𝑒−𝑥的最小值为𝑛

1��=

𝑎，𝑎取特征线𝑦=−𝑒交ℎ(𝑥)=𝑙𝑛(1+𝑥)于点D，𝑎由ln

1

+𝑥 =

−

，得𝐷−𝑎𝑥 =

𝑒

𝑒

−1,𝑒>

1故取𝑥0=

𝑒−𝑎𝑒当𝑎𝑥𝑥>1时𝑒𝑥𝑎>

𝑒，0𝑓

𝑥 >

ℎ

𝑒−𝑎𝑒𝑎𝑒−1

+ ≥

𝑙𝑛

𝑒−𝑎𝑒𝑎𝑒+ =

0，所以𝑓(𝑥)在(𝑚,+∞)上有唯一零点88第2问解析已知函数𝑓

𝑥 =

𝑙𝑛

1

+

𝑥 +

𝑎𝑥𝑒−𝑥.

（1）当𝑎

=

1时，求曲线𝑦

=

𝑓

𝑥

在点(0,

𝑓

0

)处的切线方程；（2）若𝑓

𝑥

在区间(−1,0),(0,+∞)各恰有一个零点，求𝑎的取值范围．𝑓

𝑥 =

ln

1

+

𝑥 +

𝑎𝑥，𝑓′

𝑥=𝑒𝑥1+𝑥

(1+𝑥)𝑒𝑥1

+

𝑎(1−𝑥)

=

𝑒𝑥+𝑎(1−𝑥2)，设𝑔

𝑥 =𝑒𝑥

+𝑎(1

−

𝑥2)而𝑓

0 =

0,所以当𝑥

∈

(𝑡,

0),𝑓

𝑥 >0，所以𝑓

𝑥

在(−1,

𝑡)上有唯一零点,(𝑡,

0)上无零点，即𝑓

𝑥

在(−1,0)上有唯一零点𝑔′

𝑥𝑔

𝑥𝑓

𝑥当𝑥

∈

(−1,0)，𝑒𝑥𝑔′

𝑥=𝑒𝑥

−2𝑎𝑥

，𝑔“(𝑥)=𝑒𝑥

−2𝑎>0，𝑔′𝑥

在(−1,0)单调递增，n为𝑔′𝑥

的零点，对应右图中点N，接下来讨论g(x)零点，较简单𝑔′

−1指=

1𝑔+′(2𝑥𝑎)零<点0,存𝑔在′

0 =

1

>

0，所以存在𝑛

∈

(−1,0),使得𝑔′

𝑛 =

0出𝑒当𝑥

∈

(−1,

𝑛),𝑔′

𝑥 <

0,𝑔

𝑥

单调递减，当𝑥

∈

(𝑛,

0),𝑔′

𝑥 >

0,𝑔

𝑥

单调递增,𝑒𝑔

𝑥

<

𝑔

0 =

1

+

𝑎

<

0，又𝑔

−1 =

1

>

0，所以存在𝑡

∈

(−1,

𝑛),使得𝑔

𝑡 =

0,即𝑓′

𝑡=0（𝐭为𝐠′𝐱

即𝐟′(𝐱)零点，对就T点）当𝑥

∈

(−1,

𝑡),𝑓

𝑥

单调递增,当𝑥

∈

(𝑡,

0),𝑓

𝑥

单调递减，(下面判定𝒇(𝒙)零点)当𝑥

∈

(−1,0)时，𝑎𝑥𝑒−𝑥

<

−𝑎𝑒，𝑓

−1

+

𝑒𝑎𝑒

<

ln

𝑒𝑎𝑒

−𝑎𝑒

=

0特征点的找法89已知函数𝑓

𝑥 =

𝑙𝑛

1

+

𝑥 +

𝑎𝑥𝑒−𝑥.

（1）当𝑎

=

1时，求曲线𝑦

=

𝑓

𝑥

在点(0,

𝑓

0

)处的切线方程；（2）若𝑓

𝑥

在区间(−1,0),(0,+∞)各恰有一个零点，求𝑎的取值范围．𝑒𝑥𝑓

𝑥 =

ln

1

+

𝑥 +

𝑎𝑥，𝑓′

𝑥=𝑒𝑥1+𝑥

(1+𝑥)𝑒𝑥1

+

𝑎(1−𝑥)

=

𝑒𝑥+𝑎(1−𝑥2)，设𝑔

𝑥 =𝑒𝑥

+𝑎(1

−

𝑥2)取𝑚

𝑥 =

−𝑎𝑥𝑒−𝑥与直线𝑥

=

−1的交点𝐴(−1,

𝑎𝑒),由ln

𝑥

+1 =

𝑎𝑒得𝑥

=

𝑒𝑎𝑒

−

1,a<-1时的图象90已知函数𝑓

𝑥 =

𝑙𝑛

1

+

𝑥 +

𝑎𝑥𝑒−𝑥.

（1）当𝑎

=

1时，求曲线𝑦

=

𝑓

𝑥

在点(0,

𝑓

0

)处的切线方程；（2）若𝑓

𝑥

在区间(−1,0),(0,+∞)各恰有一个零点，求𝑎的取值范围．𝑒𝑥𝑓

𝑥 =

ln

1

+

𝑥 +

𝑎𝑥，𝑓′

𝑥=𝑒𝑥1+𝑥

(1+𝑥)𝑒𝑥1

+

𝑎(1−𝑥)

=

𝑒𝑥+𝑎(1−𝑥2)，设𝑔

𝑥 =𝑒𝑥

+𝑎(1

−

𝑥2)𝑔′

𝑥𝑔

𝑥𝑓

𝑥依图推理按图索骥有图有真相数形结合的思维本质，循着命题人思路去解题以数解形91以形助数直观抽象灵活转化合理猜想严谨推理循环反复形成自觉既教证明更教猜想与直观感性92理性灵性合情推理逻辑推理理解本质

融入系统93把握本质数学本质驾轻就熟融会贯通数学概念的学科本质94任意角三角函数的概念诱导公式诱导公式：坐标的两种表示95相位的概念与意义教材中的相位概念97教材中的相位概念相位是一个物理概念?相位的数学意义是什么？三角函数图象变换过程中有不变的量吗？98三角变换中的相位99相位概念：理解三角函数图象变换、性质三角变换中的相位100三角变换中的相位1012016全国I理12102相位是解决三角函数图象问题的思维起点103函数

f

(x)

cos(

x

)

的部分图像如图所示，则

f

(x)

的单调递减区间为（

）．134

4A．

(k

,

k

)

，

k

Z134

4B．

(2k

,

2k

)

，

k

Z1

344C．

(k

,

k

)

，

k

Z1

344D．

(2k

,

2k

)

，

k

Z变换中相位不变！2023全国I

15104相位比较是解决三角函数图象问题的基本方法105𝒚=𝑨𝒔𝒊𝒏

𝝎𝒙+𝝋

与𝒚=𝒔𝒊𝒏𝒙的相位比较函数单调性的概念教学与思考106函数单调性的教学地位107与函数的最值、零点等联系密切是数列单调性、导数、不等式、极限等数学知识的重要基础是解决数学问题的一个有力工具函数单调性的数学经验基础一列数逐渐增大（减小）数的排序经验单调性启蒙。函数图象“随着x的增大，对应的y也增大”的直观特征。108单调性定义中的“任意”的教学109为什么需要“任意两个数”？“任意”的教学设计参考110请同学们作出函数f(x)=2x，x∈N*的图象，由图象特征看，函数在定义域内是单调递增的吗？怎样运用代数关系描述函数图象特征？这个函数图象是一个点列，在这个点列中，对于图象上每一个点（或任意一个点），它右侧相临的点都比它的位置高，能说明这个函数在定义域内是单调递增吗？上述函数特征运用代数关系表示：对任意x∈N*，若f(x)<f(x+1)成立，则

f(x)在定义域上单调递增。如果将函数定义域改为R，即函数f(x)=2x，x∈R在定义域内单调递增吗？图象上的某点或每一个点右侧相邻点确定吗？“任意”的教学设计参考如果对于图象上任意一点，它右侧所有点（或任意一点）都比它位置高，能说明函数是单调递增函数吗？如何运用代数关系简洁地表示该函数单调递增这一性质？如何函数在某个区间上单调递增呢？……111“任意”的教学设计参考如果对于图象上任意一点，它右侧所有点（或任意一点）都比它位置高，能说明函数是单调递增函数吗？如何运用代数关系简洁地表示该函数单调递增这一性质？如何函数在某个区间上单调递增呢？……任意两个数之间的距离应该是无穷大还是无穷小？112“任意”的教学思考培养数学思维能力形成数形结合思想113提升数学直观和逻辑推理与表达等素养数学教学突出过程与结果的完美结合114突出核心概念的思维建构和技能操作过程突出数学基本思想的领悟过程突出数学基本活动经验的积累过程．教学设计原则：两个过程“合理性”115数学知识发生发展形成过程的合理性学生数学思维能力发展过程的合理性好教易学教好

学易教育教学是一个漫长且有意义的过程适当回顾概念形成心理过程概括形式化形成概念确认本质属性共同属性各种属性刺激模式符号表示类化抽象融入系统116分化辨别检验数学概念中蕴含数学学科本质高考复习中回归概念117数学概念