北师大版八年级数学第二章实数教案 练习

新征程教育辅导讲义

年级」初二第2课时

学目三姓名：_____________辅导科目：—数学教师:_____________

课题第一章实数

授课时间：备课时间：

1、感受学习无理数的必要性

2、在学习实数的有关概念和运算法则时，感受类比的思想

教学目标

3、能进行实数运算和简单的根式化简，解决简单的问题

4、根据实际要求选择恰当的方法，估计实数的大小

1、会判断什么是无理数

重点、难点

2、能进行实数的运算和简单的根式化简，解决简单的问题

考点及考试要求无理数的判断，实数的运算，根式的化简

教学内容

一、实数的，概念及分类

1、实娄1的分类

厂正有理数1

「有理数y零

一有限小数和无限循环小数

匚负有理数」

实数Y

「正无理数］

J无理—无限不循环小数

匚负无理数」

2、无理3数：无限不循环小数叫做无理数。

在理解一无理数时，要抓住“无限彳二循环”这一时之，归纳起来有四类：

(1)开方开不尽的数，如近,正等；

兀的数,呜+8等；

(2)有特定意义的数，如圆周率兀，或化简后含有

(3)有特定结构的数，如0.1010010001…等;

(4)某些三角函数值，如sin60。等

二、实数的倒数、相反数和绝对值

1、相反数

实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零)，从数轴上看，互

为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=O,a=-b,反之亦成立。

2、绝对值

在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（间加）。零的绝对值是它本身，也可看成

它的相反数,若|a|=a,则aX>；若|a|=-a,则aWO。

3、倒数

如果a与b互为倒数，则有ab=l,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。

4、数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

5、估算

三、平方根、算数平方根和立方根

1、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根。

特别地，0的算术平方根是0。

表示方法：记作“、石”，读作根号a。

性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

2、平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。

表示方法：正数a的平方根记做“±JZ”，读作''正、负根号a”。

性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。

>o

注意〃■的双重非负性：Y

«>0

3、立方根

一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=a那么这个数x就叫做a的立方根（或三次方根）。

表示方法：记作“’

性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

注意：亚二=-右，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

四、实数大小的比较

1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总

比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。

2、实数大小比较的几种常用方法

（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（2）求差比较：设a、b是实数，

a-b>0<^>a>h,

a—b=4=a=b.

a—h<O<^>a<h

(3)求商比较法：设a、b是两正实数，->1<=>a>Z?;-=1<=>«=/?;-<1<=>a<Z?;

hhb

(4)绝对值比较法：设a、b是两负实数，则|4>切。。〈匕。

(5)平方法：设a、b是两负实数，则。2>b20a<b。

五、算术平方根有关计算(二次根式)

1、含有二次根号“、厂”；被开方数a必须是非负数。

2、性质：

(1)(后y=a(a>0)

厂a(a>0)

(2)=同=y

匚-a(a<0)

(3)y[ab=y[a•4h(a>0,Z?>0)(4a•4h=4ab(a>0,Z?>0))

(4).p=^(a>0,b>0)(史一瓦aN0,b>0))

\bJh4b\b

3、运算结果若含有“J2”形式，必须满足：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不

含能开得尽方的因数或因式

六、实数的运算

(1)六种运算：力口、减、乘、除、乘方、开方

(2)实数的运算顺序

先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

(3)运算律

加法交换律a+h=h+a

加法结合律(Q+〃)+c=a+S+c)

乘法交换律ab=ba

乘法结合律(ab)c=a(bc)

乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac

类型一.有关概念的识别

____22

.下面几个数：0.1237,1.010010001-,-V0064,3JI,7,6其中，无理数的个数有(

A、1B、2C、3D、4

【变式1】下列说法中正确的是（）

A、病的平方根是±3B、1的立方根是±1C、71=±1D、一石是5的平方根的相反数

【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，玄

于点A,则点A表示的数是（）

］IIZ：IIr

T氏-101A2

A、12B、1.4C、V2D、7$

【变式3】9/+成37t-10产

类型二.计算类型题

.设而=巴则下列结论正确的是（）

A.4,5<a<5,0B,5.0<a<5,5

C.5.5<a<6,0D,6,0<a<6,5

F=

【变式1】1）1.25的算术平方根是_________；平方根是__________.2）-27立方根是___________.3）V4

,±闹=,_g=.

【变式2】求下列各式中的工

（1）%2=25（2）（工一1）2=9（3）x3=-64

类型三.数形结合

例3.点A在数轴上表示的数为3、6，点8在数轴上表示的数为一石，则A,8两点的距离为

【变式1】如图，数轴上表示1,④的对应点分别为A,B,点B关于点A的对称点为C,则点C表示的数是（

OCAS

［变式2］已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示:

ca6b

化简I勿_司+卜一耳_k+MT-N

类型四.实数绝对值的应用

例4.化简下列各式：

(1)|->/2-1.42|(2)|n-3.142|(3)|A/2.73|(4)|X-|X-3||(XW3)

【变式1】化简：卜份一2阕+|及+国-母国

类型五.实数非负性的应用

岛—-+甘-49|

例5.已知：疝万=0,求实数a,b的值。

【变式1】已知(X-6)2+#2X-67)2+jy+2z|=0,求(x-y)3-z3的值。

【变式2】已知及"+°+5)2+卜+[=0那么a+by的值为

类型六.实数应用题

例6.有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm,宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之;

问边长应为多少cm。

【变式1】拼一拼，画一画：请你用4个长为“，宽为b的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下的空白B

个小正方形。(4个长方形拼图时不重叠)

b

(1)计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？

(2)当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3c〃?时，大正方形的面积就比小正方形的面积

多24C/«2,求中间小正方形的边长.

类型七.易错题

7.判断下列说法是否正确

(1)(-3)2的算术平方根是一3；(2)J的的平方根是±15.

(3)当x=0或2时，心后5=0(4)2是分数

类型八.引申提高

C8.(1)已知岳的整数部分为a,小数部分为b,求a2-b2的值.

(2)把下列无限循环小数化成分数：①②0.23③0.107

课后作业：

A组(基础)

一、细心选一选

1.下列各式中正确的是()

A.灰=±4B.3屈=4C.7^=3D.53

2.」话的平方根是()

A.4B.±4C.2D.±2

3.下列说法中①无限小数都是无理数②无理数都是无限小数③-2是4的平方根④带根号的数都是

无理数。其中正确的说法有()

A.3个B.2个C.1个D.0个

4.和数轴上的点一一对应的是（）

A.整数B.有理数C.无理数D.实数

5.对于应一S来说（）

A.有平方根B.只有算术平方根C.没有平方根D.不能确定

—,o,-3Vaooi,^,3,14,-.o.ioiooioooi--

6.在723（两个“1”之间依次多1个“0”）中，无理数

的个数有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

7.面积为11的正方形边长为X,则x的范围是（）

A.1cx<3B,3<x<4c,5<x<10D,10<x<100

8.下列各组数中，互为相反数的是（）

A.-2与2B.|-0|与0C.J（一之）与D.3^^与一3融

9.-8的立方根与4的平方根之和是（）

A.0B.4C.0或-4D.0或4

10.已知一个自然数的算术平方根是a,则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（）

A.a+1B,Ja+1C./+1D./+1

二、耐心填一填

11.一痛的相反数是,绝对值等于0的数是,I3一开|=。

f-3Jl+2-

12.J81的算术平方根是_____,'8=_____。

13.—的平方根等于它本身，—的立方根等于它本身，—的算术平方根等于它本身。

14.已知|xI的算术平方根是8,那么x的立方根是。

15.填入两个和为6的无理数，使等式成立：—+—=6。

16.大于-J5,小于振的整数有个。

17.若|2a-5|与e+2互为相反数,贝！|a=，b=。

18.若IaI=6,&=3,且ab<0,则a-b=。

19.数轴上点A,点B分别表示实数-2,则A、B两点间的距离为。

20.一个正数x的两个平方根分别是a+2和a-4,则a=,x=«

三、认真解一解

21.计算

223

⑴式砺（2）-V8+15（3）^729

3?

（4）I一④|+|向2I⑸（-2久7^?+>OX（2）-/

⑹4X[9+2X（、万一2）1（结果保留3个有效数字）

22.在数轴上表示下列各数和它们的相反数，并把这些数和它们的相反数按从小到大的顺序排列，用

号连接:-1.5,0,2,一衣一”

B组（提高）

一、选择题：

1.00196的算术平方根是（）

A.0.14B.0.014C.±014D.±0.014

2.（-6）2的平方根是（）

A.-6B.36C.+6D.土屈

3.下列计算或判断：①±3都是27的立方根；②正二a；③病的立方根是2；④玳±句*=±4,

其中正确的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.在下列各式中，正确的是（）

A.V^=2；B,^0064=-0.4.c.7^?=±2；D.（-的2+（我MO

5.下列说法正确的是（）

7T

A.有理数只是有限小数B.无理数是无限小数C.无限小数是无理数D.7是分数

6.下列说法错误的是（）

A.H=1B.玳-1）3—C.2的平方根是士五D.-3）x（-2）="xQ

7.若42=4/2=9,且出,>0,则a―J的值为（）

A.-2B.±1C.1D.-1

8.下列结论中正确的是（）

A.数轴上任一点都表示唯一的有理数；B.数轴上任一点都表示唯一的无理数;

C.两个无理数之和一定是无理数；D.数轴上任意两点之间还有无数个点

9.-27的立方根与插的平方根之和是

（）

A.0