二阶线性微分方程(一)

复习1.一阶线性微分方程的三个类型：(1)可分离变量的微分方程(2)齐次型微分方程：解法：令解法：令(3)一阶线性微分方程

线性非齐次方程

齐次方程的通解为：1常数变易法：

线性非齐次方程通解为:令2.二阶微分方程(1)可降阶的有：

方法：接连积分2次.

方法：

方法：(2)二阶线性微分方程有什么样的形式呢？令令26-4.1二阶线性微分方程一.二阶线性微分方程的定义它是二阶线性齐次微分方程.它是二阶线性非齐次微分方程.n阶线性微分方程形如说明：1.定义：2.

均为一次.当时，当时，叫自由项.

均为已知函数.

的方程.3二、二阶线性微分方程的解的结构1.二阶齐次方程解的结构:证明解的线性组合定理1如果函数及是方程(1)的两个解，那么对于任意常数仍然是(1)的解.由于是(1)的解，则将代入(1)的左边，得4证毕问题:例如一定是通解吗？的两个特解为：而就不是通解.又知的两个特解为：就是的通解.左边==右边5例如线性无关.线性相关.定义:设是定义在某区间上的两个函数.若(常数)，则称线性无关.若(常数)，则称线性相关.当时，常数，常数，6例如线性无关.例如的特解，那么就是方程(1)的通解.如果与是方程(1)的两个线性无关定理2的两个特解为：常数，则就是的通解.的两个特解为：且常数，与线性无关.则是的通解.72.二阶非齐次线性方程的解的结构:证明定理3设是二阶非齐次线性方程的一个特解，是与(2)对应的齐次方程(1)通解，那么是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解.是(2)的解，是(1)的解，将代入(2)的左边得：8证毕若求的通解

说明:右边.只须求它的一个特解和的两个线性无关的特解则的通解为左边=9解的叠加原理该定理的证明留给大家设非齐次方程(2)的右端是几个函数之和，若而与分别是方程的特解，那么就是原方程的特解.定理410一、定义1.二阶常系数齐次线性方程的标准形式2.二阶常系数非齐次线性方程的标准形式§6-4.2二阶常系数线性微分方程的解法(p,q为常数)(p,q为常数)通解为：通解为：其中线性无关，即常数，即11二、二阶常系数齐次线性方程的解法将其代入上方程,得故有特征方程特征根(p,q为常数)则是方程的解.设12两个线性无关的特解：得齐次方程的通解为Ⅰ

有两个不相等的实根设特征根为如：特征方程为且常数则通解为13Ⅱ

有两个相等的实根一特解为得齐次方程的通解为特征根为如特征方程为将代入原方程并化简得知取则则通解为设另一特解为：14Ⅲ

有一对共轭复根重新组合得齐次方程的通解为设特征根为如特征方程为则通解为15定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其总之通解的表达式特征根情况实根实根复根通解的方法称为特征方程法.16例1求的通解.解写出特征方程为求出特征根解得

写出所求通解为特征方程为解得故所求通解为例2求的通解.解17解特征方程为解得故通解为解特征方程为解得故所求通解为例3求方程的通解.例4求方程下的特解.在由得故则所求的特解为18解得故所求特解为解特征方程为解得故所求通解为例5求方程满足的特解.由得：19三、n阶常系数齐次线性方程解法特征方程为特征方程的根通解中的对应项若是k重根r若是k重共轭复根20特征根为故所求通解为解特征方程为例6求方程的通解.即21特征根为故所求通解为解特征方程为注意：n次代数方程有n个根,且每一项各一个任意常数对应着通解中的一项,而特征方程的每一个根都例6求方程的通解.22四、小结