江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期初测试数学试题

2023—2024学年南师附中高二期初测试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，，则（）A B.C. D.2.已知复数（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（）A.7 B.15 C.25 D.354.有3个完全相同的小球，，，随机放入甲、乙两个盒子中，则两个盒子都不空的概率为（）A. B. C. D.5.设，，则“”是“且”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件6.设，且，则（）A. B.10 C. D.7.已知函数是定义在上的偶函数.，，且，都有，则不等式的解集为（）A. B. C. D.8.平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某大学生暑假到工厂参加生产劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度（单位：厘米），将所得数据分成6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，则对这100件产品，下列说法中正确的是（）A. B.长度落在区间内的个数为35C.长度的众数一定落在区间内 D.长度的中位数一定落在区间内10.已知，，且，下列不等式恒成立的有（）A. B.C. D.11.已知函数对任意，都有成立，且函数是奇函数，当时，.则下列结论正确的是（）A.当时，B.函数的最小正周期为2C.函数的图象关于点（）中心对称D.函数在（）上单调递减12.连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦，的长度分别等于，，，分别为，的中点，每条弦的两端都在球面上运动，则（）A.弦，可能相交于点 B.弦，可能相交于点C的最大值为5 D.的最小值为1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为______.14.在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，，则的最大值是______.15.已知函数（且），若函数的图象上有且仅有一组点关于轴对称，则的取值范围是______.16.已知的内角，，的对边分别为、、，设的面积为，若，则的最大值为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中.（1）若，且，求的坐标；（2）若，且与垂直，求与的夹角.18.（12分）已知函数.（1）求函数的值域；（2）若，求的值.19.（12分）某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是.若各家庭回答是否正确互不影响.（1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.20.（12分）已知函数，，若函数在定义域内存在实数，使得成立，则称函数具有性质.（1）判断函数是否具有性质？并说明理由；（2）证明：函数具有性质.21.（12分）如图，在四棱柱中，侧棱垂直于底面，底面为等腰梯形，，，，，、、分别是棱、、的中点.（1）证明：直线平面；（2）求二面角的余弦值.22.（12分）设的三个内角、、所对的边分别为、、且.（1）求的大小；（2）若，求的取值范围.

2023—2024学年南师附中高二期初测试数学试题参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C.【解析】∵，，∴，∴.故选：C.2.【答案】C.【解析】因为，所以对应点的坐标为，所以在复平面内对应的点位于第三象限.故选：C.3.【答案】B.【解析】青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7:5:3，所以样本容量为.故选：B.4.【答案】C.【解析】先求两个盒子中有一个空的概率为，所以两个盒子都不空的概率为.故选：C.5.【答案】B.【解析】若，则如满足条件，但不满足且，不是充分条件，若且，则，，所以，即，是必要条件，所以“”是“且”的必要不充分条件.故选：B.6.【答案】D.【解析】∵，∴，，∴，∴，故选：D.7.【答案】B.【解析】因为函数是定义在上的偶函数，所以关于轴对称，由向左平移1个单位得到，所以关于直线对称，，，且，都有，在上单调递增，∴在上单调递减，∵，且，，∴，∴，解得，∴原不等式的解集为.故选：B.8.【答案】B.【解析】由题意，四面体顶点在同一个球面上，和都是直角三角形，所以的中点就是球心，所以，球的半径为：，所以球的表面积为：.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.【答案】ABD.【解析】对于A：由频率之和为1，得，解得，所以选项A正确，对于选项B：长度落在区间内的个数为，所以选项B正确，对于选项C：对这100件产品，长度的众数不一定落在区间内，所以选项C错误，对于选项D：对这100件产品，因为，而，所以长度的中位数一定落在区间内，所以选项D正确，故选：ABD.10.【答案】BC.【解析】因为正实数，满足，所以，当且仅当时取等号，，A错误；∵正实数，满足，，则，B成立；，当且仅当，即时取等号，C成立；，当且仅当，即，时取等号，D错误.故选：BC.11.【答案】AB.【解析】因为函数对任意都有，所以，即，所以，所以，即恒成立，所以的周期为4.函数是奇函数，当时，.故时，.任取，则，因为函数对任意都有，即，所以.所以，作出的图象如图所示：对于A.由前面的推导可得：当时，.故A正确；对于B.函数的图象可以看成的图象轴上方的图象保留，把轴上方的图象轴下方的图象翻折到轴上方，所以函数的最小正周期为2.故B正确；对于C.由图象可知：函数的图象关于点（）中心对称，故C错误；对于D.作出的图像如图所示，在上函数单调递增.故D错误.故选：AB.12.【答案】ACD.【解析】设球心为，则，.因为，所以弦，可能相交于点，不可能相交于点.因为，所以，当、、三点共线且，在两侧时，有最大值5；当、、三点共线且，在同侧时，有最小值1；故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】或.【解析】当直线在坐标轴上的截距为0时，可设直线：，∵直线过点，∴，即直线的方程为，当直线在坐标轴上的截距不为0时，可设直线：，∵直线过点，∴，即，即直线的方程为.故答案为：或.14.【答案】.【解析】如图，由题知，球的体积要尽可能大时，球需与三棱柱内切.需保证截面圆与内切，记圆的半径为，则由等面积法得，∴，又，，∴，得.由于三棱柱高为5，此时可以保证球在三棱柱内部，若增大，则无法保证球在三棱柱内，故球的最大半径为2，∴的最大值是.故答案为：.15.【答案】.【解析】易得时已有一个点关于轴对称，故只需当，且时，函数的图象上有且仅有1个点关于轴对称即可.由题意，时，显然成立；时，关于轴的对称函数为，则，∴，综上所述，的取值范围是，故答案为：.16.【答案】.【解析】由，得，则，同时，则，，，当且仅当时取等号，则，故的最大值为，故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【答案】（1），或；（2）.【解析】（1）∵；∴设，且，；∴；∴；∴，或；（2）∵与垂直，∴，即，又，，∴，∴，又，∴与的夹角.18.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，得，所以的值域为.（2）由（1）知，，所以，所以.19.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）设事件表示“甲家庭回答正确这道题”，事件表示“乙家庭回答正确这道题”，事件表示“丙家庭回答正确这道题”，由题意得：，解得乙家庭回答正确这道题的概率，丙家庭回答正确这道题的概率.（2）甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率为：.20.【答案】（1）否，理由见解析；（2）见解析.【解析】（1）函数不具有性质.由，可得，，，由，即，可得，即，该方程无解，故函数不具有性质；（2）证明：，由，可得，化简可得，即，由图像可知，两个函数必有交点，可得函数在定义域内存在实数，使得成立，故函数具有性质.21.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）取的中点，连接，，，.∵，，∴，，∴四边形为平行四边形，∴.