人教A版（2019）选修第二册 导数的概念及其意义（含解析）

人教A版(2019)选修第二册5.1导数的概念及其意义

(共21题)

一、选择题(共12题)

1.已知函数y=/(%),当自变量％由工。改变到(k为常数)时，函数值的改变量4y

为()

A./(%o+kAx)B./(%。)+/cd%

C./(%0)-kAxD./(%0+如)一/8))

3

2.若函数/(%)=%,g(%)=%2,/i(x)=x在区间［0,1］上的平均变化率分别为mlfm2,m3,则

下列结论正确的是()

A.m1=m2=m3B.m1>m2>m3C.m2>m1>m3D.m1<m2<m3

3.已知函数f(x)=x2图象上四点A(l,「(l)),B(2"(2)),C(3,/(3)),。(4,/(4)),割线AB,BC,

CD的斜率分别为七，七，&，贝U()

A.kr<k2<k3B.k2<kr<k3C.k3<k2<七D.<k3<k2

4.已知函数f(x)和gM在区间［见句上的图象如图所示，则下列说法正确的是()

A.f(x)在a到b之间的平均变化率大于g(%)在Q到b之间的平均变化率

B./(%)在a到匕之间的平均变化率小于g(%)在a到b之间的平均变化率

C.对于任意x0G(a,b),函数/(%)在％处的瞬时变化率总大于函数g(%)在％=&处

的瞬时变化率

D.存在x0G(a,b),使得函数/(%)在％=&处的瞬时变化率小于函数g(%)在％=%。处

的瞬时变化率

5.函数y=y/x在x=1处的瞬时变化率为()

A.2B.-C.—D.1

22

6.若曲线y=/+。％+力在点(0,力)处的切线方程是％+y+1=0,则()

A.a=1,b=1B.a=—1,b=1

C.a=1,b=—1D.a=—1,b=—1

7.做直线运动的质点在任意位置处所受的力F（%）=l+ex,则质点沿着与F（x）相同的方向，从点

=0处运动到点血=1处，力尸（工）所做的功是（）

1

A.1+eB.ec.D.e—1

e

8.设/（%）为可导函数且满足lim巫四2则曲线y=/(%)在点（1,7（1））处的切线斜

x->02X

率为（）

A.2B.-1c.1D.-2

9.已知函数f（x）在x=与处的导数为「（X。），则lim3哼匕3（利40）等于（）

A.时Go）B.-何’（无0）

C.-/。。）D.

10.已知r⑴=1.limf(i+34x)5D等于（)

1

A.1B.-1C.3D.

3

2

11.若一物体的运动方程为s=mtf在"1时的速度v=2,则m等于（)

1

A.1B.-C.D.-1

22

12.设P为曲线C\y=x2+2%+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为日己）

则点p横坐标的取值范围为（)

A.(-8月B.[-1,0]

C.[0,1]D.

二、填空题（共5题）

13.在曲线、=无2+1的图象上取一点（1,2）及邻近一点（1.1,2.21）,则该曲线在［1,1.1］上的平均

变化率为—.

14.设/(%)=ax+4,若/'(I)=2,贝！Ja等于.

15.已知函数y=3，，则函数在区间［1,3］上的平均变化率为.

16.若函数y=log3x在［a,a+l］(a>0)上的平均变化率大于1,则a的取值范围为__.

2

17.已知曲线/(%)=2x+1在点M(x0,/(x0))处的瞬时变化率为一8,则与的值为,点M

的坐标为_.

三、解答题(共4题)

18.已知函数f(x)=-x2+x图象上两点4(2,「(2)),B(2+4x,f(2+4x))(2%>0).

(1)若割线AB的斜率不大于—1,求Ax的范围；

(2)求函数f(x)=-x2+x的图象在点4(2,f(2))处切线的方程.

19.如图是函数y=f(x)的图象.

(1)函数f(x)在区间上的平均变化率为—；

(2)函数f(x)在区间［0,2］上的平均变化率为____.

20.已知直线l-.y=4x+a和曲线y=了(无)=/一2久2+3相切，求切点坐标及a的值.

21.求曲线y=/(%)=x2+1过点P(l,0)的切线方程.

答案

一、选择题(共12题)

1.【答案】D

【解析】=/(%0+k』%)一f(%o).

2.【答案】A

【解析】函数/(x)=x在区间［0,1］上的平均变化率=咨=1；

1—0

函数g(x)=/在区间［0,1］上的平均变化率租2=营=1；

函数/l(x)=X3在区间［0,1］上的平均变化率巾3=注=1；

1—0

所以7nl=血2=血3・

3.【答案】A

【解析】的=粤2=4—1=3,

2—1

£M2)=9_4=

Z3-2

上欢*=16-9=7,

§4-3

所以kr<k2<k3.

4.【答案】D

【解析】因为f(x)在a到b之间的平均变化率是咒二⑷,g(x)在a到b之间的平均变化

率是哈衿，f(b)=g(b),f(a)=g(a),

所以f⑻-f(a)_。㈤-g(a)

b-ab-a

所以A,B错误；

易知函数f(x)在尤=无0处的瞬时变化率是函数/(X)在X=无0处的导数，即函数f(x)在该

点处的切线的斜率，

同理函数g(x)在无=&处的瞬时变化率是函数g(x)在该点处的导数，即函数9(无)在该点处

的切线的斜率，

由题中图象知C错误，D正确.

5.【答案】B

6.【答案】D

【解析】将(0,b)代入切线方程可得0+b+1=0,

所以b=-1,y'=lim—=2x+a,

Ax^O^X

所以当x=0时，y'=a=-1.

7.【答案】B

8.【答案】B

【解析】易知

=1血"5S

XTO1-(1-2X)

="I,

根据导数的定义可得f(l)=-1.

故曲线y=f(x)在点(l,f(l))处的切线斜率为—1.

9.【答案】B

【解析】因为函数f(x)在X=Xo处的导数为r(Xo)，

所以

=_租1而必匚四包鱼2

-mAx

10.【答案】C

11.【答案】A

【解析】由题意可知，v=s'(l)=2.

又

s'(t)=杷送

At

2

limmit+Aty-mt

At-^OAt

=lim(2mt+mJt)

ASO

=2mt.

所以s'(l)=2m,

所以由2nl=2,

所以m=1.

12.【答案】D

(x+zlx)2+2(x+21x)+3-(x2+2x+3)

y,=nm-----------------------

Ax^O4%

..(2X+2)-Z1X+(21X)2

=lim------------

【解析】Ax^O4工

=lim(Jx+2%+2)

Ax^O

=2%+2,

又曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为g,=),

所以共斜率fc>1.

由y'=2x+2e[1,+00),解得X>-

二、填空题(共5题)

13.【答案】2.1

【解析】2.21-2-0.-21=20.13.

1.1-10.1

14.【答案】2

【解析】因为f(x)=ax+4,

a(l+Ax)-a

所以f'(l)=lim*3-/⑴lim—Cl,

Ax^OA久4靠r0Ax

又)(1)=2,

所以a=2.

15.【答案】12

【解析】当％=1时，y=3,当％=3时，y=27,

则该函数在区间［1,3］上的平均变化率为吞=12.

故答案为：12.

16.【答案】(0,|)

【解析】因为第二等篙瞥-1唯(1+J>1=1唯3,«>0,

所以1+工>3,

a

所以0VaV

17.【答案】—2；(—2,9)

【解析】因为s=f(x)=2x2+1,

所以f(x+h)-f(x)2(x+n)2+l-2x2-l

=4%+2h,

、hh

所以在点M(%o，/(%o))M(%oJGo))处的瞬时变化率为=lim(4x0+2h)=4x0=-8,得

xo=-2,

所以/(-2)=9,因此点M的坐标为(-2,9).

三、解答题(共4题)

18.【答案】

丝_f(2+4x)-f(2)

AxAx

_-(2+21X)2+(2+^X)-(-44-2)

(1)由题意得，割线AB的斜率为Ax

-4Ax+Ax-(Ax)2

~Ax

=-3—Ax,

由一3一Ax〈一1,得AxN—2,

又因为Jx>0,所以Jx的取值范围是(0,+8).

(2)由(1)知函数/(%)=-x2+x的图象在点/l(2,f(2))处切线的斜率为k=1而父

Ax->0

lim(—3—Jx)=—3,

21X->0

又/⑵=—22+2=-2,

所以切线的方程为y—(―2)=—3。—2),

即3无+y—4=0.

19.【答案】

⑴1

【解析】

⑴函数/(%)在区间［-1,1］上的平均变化率为陪笄=平=；

(2)由函数/(%)的图象知，

/)=［等，-UMI,

1%+1,1<x<3

3

所以函数f(x)在区间［0,2］上的平均变化率为线衿=q=：.