高考数学理科一轮复习第7章立体几何第7讲课后作业

A组基础关1．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A.eq\f(\r(5),5) B．eq\f(\r(5),3)C．eq\f(2\r(5),5) D．eq\f(3,5)答案A解析不妨设CB＝1，则B(0,0,1)，A(2,0,0)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，∴eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(0,2，－1)，eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(－2,2,1)．cos〈eq\o(BC1,\s\up6(→))，eq\o(AB1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BC1,\s\up6(→))·\o(AB1,\s\up6(→)),|\o(BC1,\s\up6(→))||\o(AB1,\s\up6(→))|)＝eq\f(0＋4－1,\r(5)×3)＝eq\f(\r(5),5).∴直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为eq\f(\r(5),5).2．(2018·沧州模拟)如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱长为1，E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝CF＝a(0<a<1)，则D′E与B′F的位置关系是()A．平行 B．垂直C．相交 D．与a值有关答案B解析建立如图所示空间直角坐标系．则D′(0,0,1)，E(1－a,1,0)，B′(1，1,1)，F(0,1－a,0)，∴eq\o(D′E,\s\up6(→))＝(1－a,1，－1)，eq\o(B′F,\s\up6(→))＝(－1，－a，－1)．∴eq\o(D′E,\s\up6(→))·eq\o(B′F,\s\up6(→))＝(1－a)×(－1)＋1×(－a)＋(－1)×(－1)＝a－1－a＋1＝0.∴eq\o(D′E,\s\up6(→))⊥eq\o(B′F,\s\up6(→))，即D′E⊥B′F.故选B.3．在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为()A.eq\f(1,5) B．eq\f(2\r(5),5)C．eq\f(\r(5),5) D．eq\f(2,5)答案C解析以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由AB＝AC＝1，PA＝2，得A(0，0,0)，B(1，0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，Deq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，0,0eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1())，Eeq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1())eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，0eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1())，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，1))，∴eq\o(PA,\s\up6(→))＝(0,0，－2)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，0))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，1)).设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，则由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DE,\s\up6(→))＝0，,n·\o(DF,\s\up6(→))＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝0，,－x＋y＋2z＝0，))取z＝1，则n＝(2,0,1)，设PA与平面DEF所成的角为θ，则sinθ＝eq\f(|\o(PA,\s\up6(→))·n|,|\o(PA,\s\up6(→))||n|)＝eq\f(\r(5),5)，∴PA与平面DEF所成角的正弦值为eq\f(\r(5),5).故选C.4．二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB＝2，AC＝3，BD＝4，CD＝eq\r(17)，则该二面角的大小为()A．30° B．45°C．60° D．120°答案C解析由已知可得，eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))，∴|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＝|eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＋2eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＋2eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝32＋22＋42＋2×3×4cos〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝(eq\r(17))2，∴cos〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝－eq\f(1,2)，即〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝120°，∴二面角的大小为60°.故选C.5．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，E，F，G分别为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为()A.eq\f(3,5) B．eq\f(5,6)C.eq\f(3\r(3),10) D．eq\f(3\r(6),10)答案A解析设正三棱柱的棱长为2，取AC的中点D，连接DG，DB，分别以DA，DB，DG所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B1(0，eq\r(3)，2)，F(1，0,1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)，0))，G(0,0,2)，eq\o(B1F,\s\up6(→))＝(1，－eq\r(3)，－1)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)，1))，eq\o(GF,\s\up6(→))＝(1,0，－1)．设平面GEF的法向量n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(EF,\s\up6(→))·n＝0，,\o(GF,\s\up6(→))·n＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(\r(3),2)y＋z＝0，,x－z＝0，))取x＝1，则z＝1，y＝eq\r(3)，故n＝(1，eq\r(3)，1)为平面GEF的一个法向量，所以cos〈n，eq\o(B1F,\s\up6(→))〉＝eq\f(1－3－1,\r(5)×\r(5))＝－eq\f(3,5)，所以B1F与平面GEF所成角的正弦值为eq\f(3,5).故选A.6．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则：①A1M∥D1P；②A1M∥B1Q；③A1M∥平面DCC1D1；④A1M∥平面D1PQB1.以上说法正确的个数为()A．1 B．2C．3 D．4答案C解析eq\o(A1M,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(D1P,\s\up6(→))＝eq\o(D1D,\s\up6(→))＋eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(A1M,\s\up6(→))∥eq\o(D1P,\s\up6(→))，所以A1M∥D1P，由线面平行的判定定理可知，A1M∥平面DCC1D1，A1M∥平面D1PQB1.①③④正确．7．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，点E，F分别为BB1，CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为()A.eq\r(2) B．eq\f(3\r(2),2)C．2eq\r(2) D．2eq\r(3)答案B解析以点A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，A1(0,0,4)，D1(0,2,4)，E(2,0,2)，F(1,2,0)，eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝(0,2,0)，eq\o(A1E,\s\up6(→))＝(2,0，－2)易知平面A1D1E的法向量可取n＝(1,0,1)，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝(1,2，－4)，d＝eq\f(|\o(A1F,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(3\r(2),2).8．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，则异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于________．答案eq\f(\r(15),5)解析以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，∴F(1,0,0)，D1(0,0,2)，O(1,1,0)，E(0,2,1)．∴eq\o(FD1,\s\up6(→))＝(－1,0,2)，eq\o(OE,\s\up6(→))＝(－1,1,1)．∴cos〈eq\o(FD1,\s\up6(→))，eq\o(OE,\s\up6(→))〉＝eq\f(1＋2,\r(5)·\r(3))＝eq\f(\r(15),5).∴异面直线OE与FD1所成角的余弦值为eq\f(\r(15),5).9．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，eq\o(VP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(VC,\s\up6(→))，eq\o(VM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(VB,\s\up6(→))，eq\o(VN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(VD,\s\up6(→)).则VA与平面PMN的位置关系是________．答案平行解析如图，设eq\o(VA,\s\up6(→))＝a，eq\o(VB,\s\up6(→))＝b，eq\o(VC,\s\up6(→))＝c，则eq\o(VD,\s\up6(→))＝a＋c－b，由题意知eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)b－eq\f(1,3)c，eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(VD,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(VC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c.因此eq\o(VA,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(PM,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(PN,\s\up6(→))，∴eq\o(VA,\s\up6(→))，eq\o(PM,\s\up6(→))，eq\o(PN,\s\up6(→))共面．又∵VA⊄平面PMN，∴VA∥平面PMN.10．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，且AC⊥BD，AC与BD交于O，PO⊥底面ABCD，PO＝2，AB＝2eq\r(2)，E，F分别是AB，AP的中点．则二面角F－OE－A的余弦值为________．答案eq\f(\r(3),3)解析以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，由题知，OA＝OB＝2，则A(0，－2,0)，B(2,0,0)，P(0,0,2)，E(1，－1,0)，F(0，－1,1)，则eq\o(OE,\s\up6(→))＝(1，－1,0)，eq\o(OF,\s\up6(→))＝(0，－1,1)，设平面OEF的法向量为m＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(OE,\s\up6(→))＝0，,m·\o(OF,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,－y＋z＝0.))令x＝1，可得m＝(1,1,1)．易知平面OAE的一个法向量为n＝(0,0,1)，则cos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m||n|)＝eq\f(\r(3),3).由图知二面角F－OE－A为锐角，所以二面角F－OE－A的余弦值为eq\f(\r(3),3).B组能力关1．(2018·河南百校联盟联考)已知斜四棱柱ABCD－A1B1C1D1的各棱长均为2，∠A1AD＝60°，∠BAD＝90°，平面A1ADD1⊥平面ABCD，则直线BD1与平面ABCD所成的角的正切值为()A.eq\f(\r(3),4) B．eq\f(\r(13),4)C.eq\f(\r(39),13) D．eq\f(\r(39),3)答案C解析取AD中点O，连接OA1，易证A1O⊥平面ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系，得B(2，－1,0)，D1(0,2，eq\r(3))，eq\o(BD,\s\up6(→))1＝(－2,3，eq\r(3))，平面ABCD的一个法向量为n＝(0,0,1)，设BD1与平面ABCD所成的角为θ，∴sinθ＝eq\f(|\o(BD,\s\up6(→))1·n|,|\o(BD,\s\up6(→))1||n|)＝eq\f(\r(3),4)，则cosθ＝eq\f(\r(13),4)，∴tanθ＝eq\f(\r(39),13).故选C.2．如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．设二面角D－AE－C为60°，AP＝1，AD＝eq\r(3)，则三棱锥E－ACD的体积为________．答案eq\f(\r(3),8)解析因为PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．如图，以A为坐标原点，Aeq\o(B,\s\up6(→))的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，则D(0，eq\r(3)，0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，所以Aeq\o(E,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)，\f(1,2))).设B(m,0,0)(m>0)，则C(m，eq\r(3)，0)，Aeq\o(C,\s\up6(→))＝(m，eq\r(3)，0)．设n1＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·A\o(C,\s\up6(→))＝0，,n1·A\o(E,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mx＋\r(3)y＝0，,\f(\r(3),2)y＋\f(1,2)z＝0，))可取n1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),m)，－1，\r(3))).易知n2＝(1,0,0)为平面DAE的一个法向量，由题设知|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(1,2)，即eq\r(\f(3,3＋4m2))＝eq\f(1,2)，解得m＝eq\f(3,2).因为E为PD的中点，所以三棱锥E－ACD的高为eq\f(1,2).所以三棱锥E－ACD的体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\f(3,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),8).3．(2017·全国卷Ⅲ)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号)答案②③解析依题意建立如图所示的空间直角坐标系．设等腰直角三角形ABC的直角边长为1.由题意知点B在平面xOy中形成的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆．设直线a的方向向量为a＝(0,1,0)，直线b的方向向量为b＝(1,0,0)，eq\o(CB,\s\up6(→))以Ox轴为始边沿逆时针方向旋转的旋转角为θ，θ∈[0,2π)，则B(cosθ，sinθ，0)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(cosθ，sinθ，－1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(2).设直线AB与a所成夹角为α，则cosα＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))·a)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→)))))＝eq\f(\r(2),2)|sinθ|∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))，∴45°≤α≤90°，∴③正确，④错误．设直线AB与b所成夹角为β，则cosβ＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))·b)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→)))))＝eq\f(\r(2),2)|cosθ|.当直线AB与a的夹角为60°，即α＝60°时，则|sinθ|＝eq\r(2)cosα＝eq\r(2)cos60°＝eq\f(\r(2),2)，∴|cosθ|＝eq\f(\r(2),2).∴cosβ＝eq\f(\r(2),2)|cosθ|＝eq\f(1,2).∵0°≤β≤90°，∴β＝60°，即直线AB与b的夹角为60°.∴②正确，①错误．4．如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)证明：AP⊥BC；(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC.证明如图所示，以O为坐标原点，以射线OP为z轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0,0,0)，A(0，－3,0)，B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0,0,4)．(1)∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝(0,3,4)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－8,0,0)，∴eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0，eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，即AP⊥BC.(2)由(1)知|AP|＝5，又|AM|＝3，且点M在线段AP上，∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(9,5)，\f(12,5))).又eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－4,5,0)，eq\o(BA,\s\up6(→))＝(－4，－5,0)，∴eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，－\f(16,5)，\f(12,5)))，则Aeq\o(P,\s\up6(→))·Beq\o(M,\s\up6(→))＝(0,3,4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，－\f(16,5)，\f(12,5)))＝0，∴eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BM,\s\up6(→))，即AP⊥BM，又根据(1)的结论知AP⊥BC，BM∩BC＝B，∴AP⊥平面BMC，于是AM⊥平面BMC.又AM⊂平面AMC，故平面AMC⊥平面BCM.C组素养关1．在如图所示的多面体中，四边形ABCD是平行四边形，四边形BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，∠ABD＝eq\f(π,6)，AB＝2AD.(1)求证：平面BDEF⊥平面ADE；(2)若ED＝BD，求直线AF与平面AEC所成角的正弦值．解(1)证明：在△ABD中，由正弦定理知eq\f(AB,sin∠ADB)＝eq\f(AD,sin∠ABD)，所以sin∠ADB＝eq\f(AB·sin∠ABD,AD)＝eq\f(2AD·sin\f(π,6),AD)＝1，所以∠ADB＝90°，即BD⊥AD.因为DE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以DE⊥BD.又AD∩DE＝D，所以BD⊥平面ADE.因为BD⊂平面BDEF，所以平面BDEF⊥平面ADE.(2)由(1)可得，在Rt△ABD中，∠BAD＝eq\f(π,3)，BD＝eq\r(3)AD，又由ED＝BD，设AD＝1，则BD＝ED＝eq\r(3).因为DE⊥平面ABCD，BD⊥AD，所以可以点D为坐标原点，DA，DB，DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示．则A(1,0,0)，C(－1，eq\r(3)，0)，E(0,0，eq\r(3))，F(0，eq\r(3)，eq\r(3))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝(－1,0，eq\r(3))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，eq\r(3)，0)．设平面AEC的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AE,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AC,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋\r(3)z＝0，,－2x＋\r(3)y＝0，))令z＝1，得n＝(eq\r(3)，2,1)为平面AEC的一个法向量．因为eq\o(AF,\s\up6(→))＝(－1，eq\r(3)，eq\r(3))，所以cos〈n，eq\o(AF,\s\up6(→))〉＝eq\f(n·\o(AF,\s\up6(→)),|n||\o(AF,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(42),14)，所以直线AF与平面AEC所成角的正弦值为eq\f(\r(42),14).2．如图，球O内接四面体ABCD，AB为球O的直径，平面BCD截球得圆O′，BD为圆O′的直径，C为圆O′上一点，AD⊥平面BCD，AD＝2，BD＝2eq\r(2)，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.(1)证明：PQ∥平面BCD；(2)若二面角C－BM－D的大小为60°，求∠BDC的大小．解(1)证明：连接PO′，由中位线易知PO′∥AD，从而PO′⊥平面BCD.如图，以O′为原点，O′D，O′P所在射线分别为y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O′xyz.由题意知A(0，eq\r(2)，2)，B(0，－eq\r(2)，0)，D(0，eq\r(2)，0)．设点C的坐标为(x0，y0,0)，因为eq\o(AQ,\s\up6(→))＝3eq\o(QC,\s\up6(→))，所以Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)x0，\f(\r(2),4)＋\f(3,4)y0，\f(1,2))).因为M为AD的中点，故M(0，eq\r(2)，1)．又P为BM的中点，故Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(