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文档简介
A组基础关1.如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A.eq\f(\r(5),5) B.eq\f(\r(5),3)C.eq\f(2\r(5),5) D.eq\f(3,5)答案A解析不妨设CB=1,则B(0,0,1),A(2,0,0),C1(0,2,0),B1(0,2,1),∴eq\o(BC1,\s\up6(→))=(0,2,-1),eq\o(AB1,\s\up6(→))=(-2,2,1).cos〈eq\o(BC1,\s\up6(→)),eq\o(AB1,\s\up6(→))〉=eq\f(\o(BC1,\s\up6(→))·\o(AB1,\s\up6(→)),|\o(BC1,\s\up6(→))||\o(AB1,\s\up6(→))|)=eq\f(0+4-1,\r(5)×3)=eq\f(\r(5),5).∴直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为eq\f(\r(5),5).2.(2018·沧州模拟)如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,棱长为1,E,F分别是BC,CD上的点,且BE=CF=a(0<a<1),则D′E与B′F的位置关系是()A.平行 B.垂直C.相交 D.与a值有关答案B解析建立如图所示空间直角坐标系.则D′(0,0,1),E(1-a,1,0),B′(1,1,1),F(0,1-a,0),∴eq\o(D′E,\s\up6(→))=(1-a,1,-1),eq\o(B′F,\s\up6(→))=(-1,-a,-1).∴eq\o(D′E,\s\up6(→))·eq\o(B′F,\s\up6(→))=(1-a)×(-1)+1×(-a)+(-1)×(-1)=a-1-a+1=0.∴eq\o(D′E,\s\up6(→))⊥eq\o(B′F,\s\up6(→)),即D′E⊥B′F.故选B.3.在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=2,则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(2,5)答案C解析以A为原点,AB,AC,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,由AB=AC=1,PA=2,得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),Deq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))),0,0eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1()),Eeq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1())eq\f(1,2),eq\f(1,2),0eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1()),Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2),1)),∴eq\o(PA,\s\up6(→))=(0,0,-2),eq\o(DE,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2),0)),eq\o(DF,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),\f(1,2),1)).设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),则由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DE,\s\up6(→))=0,,n·\o(DF,\s\up6(→))=0,))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y=0,,-x+y+2z=0,))取z=1,则n=(2,0,1),设PA与平面DEF所成的角为θ,则sinθ=eq\f(|\o(PA,\s\up6(→))·n|,|\o(PA,\s\up6(→))||n|)=eq\f(\r(5),5),∴PA与平面DEF所成角的正弦值为eq\f(\r(5),5).故选C.4.二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB,已知AB=2,AC=3,BD=4,CD=eq\r(17),则该二面角的大小为()A.30° B.45°C.60° D.120°答案C解析由已知可得,eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))=0,eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))=0,eq\o(CD,\s\up6(→))=eq\o(CA,\s\up6(→))+eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(BD,\s\up6(→)),∴|eq\o(CD,\s\up6(→))|2=|eq\o(CA,\s\up6(→))+eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(BD,\s\up6(→))|2=|eq\o(CA,\s\up6(→))|2+|eq\o(AB,\s\up6(→))|2+|eq\o(BD,\s\up6(→))|2+2eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))+2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))+2eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))=32+22+42+2×3×4cos〈eq\o(CA,\s\up6(→)),eq\o(BD,\s\up6(→))〉=(eq\r(17))2,∴cos〈eq\o(CA,\s\up6(→)),eq\o(BD,\s\up6(→))〉=-eq\f(1,2),即〈eq\o(CA,\s\up6(→)),eq\o(BD,\s\up6(→))〉=120°,∴二面角的大小为60°.故选C.5.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,E,F,G分别为AB,AA1,A1C1的中点,则B1F与平面GEF所成角的正弦值为()A.eq\f(3,5) B.eq\f(5,6)C.eq\f(3\r(3),10) D.eq\f(3\r(6),10)答案A解析设正三棱柱的棱长为2,取AC的中点D,连接DG,DB,分别以DA,DB,DG所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则B1(0,eq\r(3),2),F(1,0,1),Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),\f(\r(3),2),0)),G(0,0,2),eq\o(B1F,\s\up6(→))=(1,-eq\r(3),-1),eq\o(EF,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),-\f(\r(3),2),1)),eq\o(GF,\s\up6(→))=(1,0,-1).设平面GEF的法向量n=(x,y,z),则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(EF,\s\up6(→))·n=0,,\o(GF,\s\up6(→))·n=0,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x-\f(\r(3),2)y+z=0,,x-z=0,))取x=1,则z=1,y=eq\r(3),故n=(1,eq\r(3),1)为平面GEF的一个法向量,所以cos〈n,eq\o(B1F,\s\up6(→))〉=eq\f(1-3-1,\r(5)×\r(5))=-eq\f(3,5),所以B1F与平面GEF所成角的正弦值为eq\f(3,5).故选A.6.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,若平行六面体的各棱长均相等,则:①A1M∥D1P;②A1M∥B1Q;③A1M∥平面DCC1D1;④A1M∥平面D1PQB1.以上说法正确的个数为()A.1 B.2C.3 D.4答案C解析eq\o(A1M,\s\up6(→))=eq\o(A1A,\s\up6(→))+eq\o(AM,\s\up6(→))=eq\o(A1A,\s\up6(→))+eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(D1P,\s\up6(→))=eq\o(D1D,\s\up6(→))+eq\o(DP,\s\up6(→))=eq\o(A1A,\s\up6(→))+eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)),∴eq\o(A1M,\s\up6(→))∥eq\o(D1P,\s\up6(→)),所以A1M∥D1P,由线面平行的判定定理可知,A1M∥平面DCC1D1,A1M∥平面D1PQB1.①③④正确.7.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=4,点E,F分别为BB1,CD的中点,则点F到平面A1D1E的距离为()A.eq\r(2) B.eq\f(3\r(2),2)C.2eq\r(2) D.2eq\r(3)答案B解析以点A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,A1(0,0,4),D1(0,2,4),E(2,0,2),F(1,2,0),eq\o(A1D1,\s\up6(→))=(0,2,0),eq\o(A1E,\s\up6(→))=(2,0,-2)易知平面A1D1E的法向量可取n=(1,0,1),eq\o(A1F,\s\up6(→))=(1,2,-4),d=eq\f(|\o(A1F,\s\up6(→))·n|,|n|)=eq\f(3\r(2),2).8.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E,F分别是CC1,AD的中点,则异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于________.答案eq\f(\r(15),5)解析以D为原点,分别以DA,DC,DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,∴F(1,0,0),D1(0,0,2),O(1,1,0),E(0,2,1).∴eq\o(FD1,\s\up6(→))=(-1,0,2),eq\o(OE,\s\up6(→))=(-1,1,1).∴cos〈eq\o(FD1,\s\up6(→)),eq\o(OE,\s\up6(→))〉=eq\f(1+2,\r(5)·\r(3))=eq\f(\r(15),5).∴异面直线OE与FD1所成角的余弦值为eq\f(\r(15),5).9.已知V为矩形ABCD所在平面外一点,且VA=VB=VC=VD,eq\o(VP,\s\up6(→))=eq\f(1,3)eq\o(VC,\s\up6(→)),eq\o(VM,\s\up6(→))=eq\f(2,3)eq\o(VB,\s\up6(→)),eq\o(VN,\s\up6(→))=eq\f(2,3)eq\o(VD,\s\up6(→)).则VA与平面PMN的位置关系是________.答案平行解析如图,设eq\o(VA,\s\up6(→))=a,eq\o(VB,\s\up6(→))=b,eq\o(VC,\s\up6(→))=c,则eq\o(VD,\s\up6(→))=a+c-b,由题意知eq\o(PM,\s\up6(→))=eq\f(2,3)b-eq\f(1,3)c,eq\o(PN,\s\up6(→))=eq\f(2,3)eq\o(VD,\s\up6(→))-eq\f(1,3)eq\o(VC,\s\up6(→))=eq\f(2,3)a-eq\f(2,3)b+eq\f(1,3)c.因此eq\o(VA,\s\up6(→))=eq\f(3,2)eq\o(PM,\s\up6(→))+eq\f(3,2)eq\o(PN,\s\up6(→)),∴eq\o(VA,\s\up6(→)),eq\o(PM,\s\up6(→)),eq\o(PN,\s\up6(→))共面.又∵VA⊄平面PMN,∴VA∥平面PMN.10.如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是等腰梯形,AB∥CD,且AC⊥BD,AC与BD交于O,PO⊥底面ABCD,PO=2,AB=2eq\r(2),E,F分别是AB,AP的中点.则二面角F-OE-A的余弦值为________.答案eq\f(\r(3),3)解析以O为坐标原点,OB,OC,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,由题知,OA=OB=2,则A(0,-2,0),B(2,0,0),P(0,0,2),E(1,-1,0),F(0,-1,1),则eq\o(OE,\s\up6(→))=(1,-1,0),eq\o(OF,\s\up6(→))=(0,-1,1),设平面OEF的法向量为m=(x,y,z),则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(OE,\s\up6(→))=0,,m·\o(OF,\s\up6(→))=0,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x-y=0,,-y+z=0.))令x=1,可得m=(1,1,1).易知平面OAE的一个法向量为n=(0,0,1),则cos〈m,n〉=eq\f(m·n,|m||n|)=eq\f(\r(3),3).由图知二面角F-OE-A为锐角,所以二面角F-OE-A的余弦值为eq\f(\r(3),3).B组能力关1.(2018·河南百校联盟联考)已知斜四棱柱ABCD-A1B1C1D1的各棱长均为2,∠A1AD=60°,∠BAD=90°,平面A1ADD1⊥平面ABCD,则直线BD1与平面ABCD所成的角的正切值为()A.eq\f(\r(3),4) B.eq\f(\r(13),4)C.eq\f(\r(39),13) D.eq\f(\r(39),3)答案C解析取AD中点O,连接OA1,易证A1O⊥平面ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系,得B(2,-1,0),D1(0,2,eq\r(3)),eq\o(BD,\s\up6(→))1=(-2,3,eq\r(3)),平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),设BD1与平面ABCD所成的角为θ,∴sinθ=eq\f(|\o(BD,\s\up6(→))1·n|,|\o(BD,\s\up6(→))1||n|)=eq\f(\r(3),4),则cosθ=eq\f(\r(13),4),∴tanθ=eq\f(\r(39),13).故选C.2.如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=eq\r(3),则三棱锥E-ACD的体积为________.答案eq\f(\r(3),8)解析因为PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直.如图,以A为坐标原点,Aeq\o(B,\s\up6(→))的方向为x轴的正方向,建立空间直角坐标系Axyz,则D(0,eq\r(3),0),Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(\r(3),2),\f(1,2))),所以Aeq\o(E,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(\r(3),2),\f(1,2))).设B(m,0,0)(m>0),则C(m,eq\r(3),0),Aeq\o(C,\s\up6(→))=(m,eq\r(3),0).设n1=(x,y,z)为平面ACE的法向量,则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·A\o(C,\s\up6(→))=0,,n1·A\o(E,\s\up6(→))=0,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mx+\r(3)y=0,,\f(\r(3),2)y+\f(1,2)z=0,))可取n1=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),m),-1,\r(3))).易知n2=(1,0,0)为平面DAE的一个法向量,由题设知|cos〈n1,n2〉|=eq\f(1,2),即eq\r(\f(3,3+4m2))=eq\f(1,2),解得m=eq\f(3,2).因为E为PD的中点,所以三棱锥E-ACD的高为eq\f(1,2).所以三棱锥E-ACD的体积V=eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\f(3,2)×eq\f(1,2)=eq\f(\r(3),8).3.(2017·全国卷Ⅲ)a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;③直线AB与a所成角的最小值为45°;④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是________.(填写所有正确结论的编号)答案②③解析依题意建立如图所示的空间直角坐标系.设等腰直角三角形ABC的直角边长为1.由题意知点B在平面xOy中形成的轨迹是以C为圆心,1为半径的圆.设直线a的方向向量为a=(0,1,0),直线b的方向向量为b=(1,0,0),eq\o(CB,\s\up6(→))以Ox轴为始边沿逆时针方向旋转的旋转角为θ,θ∈[0,2π),则B(cosθ,sinθ,0),∴eq\o(AB,\s\up6(→))=(cosθ,sinθ,-1),|eq\o(AB,\s\up6(→))|=eq\r(2).设直线AB与a所成夹角为α,则cosα=eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))·a)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→)))))=eq\f(\r(2),2)|sinθ|∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(\r(2),2))),∴45°≤α≤90°,∴③正确,④错误.设直线AB与b所成夹角为β,则cosβ=eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))·b)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→)))))=eq\f(\r(2),2)|cosθ|.当直线AB与a的夹角为60°,即α=60°时,则|sinθ|=eq\r(2)cosα=eq\r(2)cos60°=eq\f(\r(2),2),∴|cosθ|=eq\f(\r(2),2).∴cosβ=eq\f(\r(2),2)|cosθ|=eq\f(1,2).∵0°≤β≤90°,∴β=60°,即直线AB与b的夹角为60°.∴②正确,①错误.4.如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)证明:AP⊥BC;(2)若点M是线段AP上一点,且AM=3.试证明平面AMC⊥平面BMC.证明如图所示,以O为坐标原点,以射线OP为z轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4).(1)∵eq\o(AP,\s\up6(→))=(0,3,4),eq\o(BC,\s\up6(→))=(-8,0,0),∴eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))=(0,3,4)·(-8,0,0)=0,eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→)),即AP⊥BC.(2)由(1)知|AP|=5,又|AM|=3,且点M在线段AP上,∴eq\o(AM,\s\up6(→))=eq\f(3,5)eq\o(AP,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(9,5),\f(12,5))).又eq\o(AC,\s\up6(→))=(-4,5,0),eq\o(BA,\s\up6(→))=(-4,-5,0),∴eq\o(BM,\s\up6(→))=eq\o(BA,\s\up6(→))+eq\o(AM,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-4,-\f(16,5),\f(12,5))),则Aeq\o(P,\s\up6(→))·Beq\o(M,\s\up6(→))=(0,3,4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-4,-\f(16,5),\f(12,5)))=0,∴eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BM,\s\up6(→)),即AP⊥BM,又根据(1)的结论知AP⊥BC,BM∩BC=B,∴AP⊥平面BMC,于是AM⊥平面BMC.又AM⊂平面AMC,故平面AMC⊥平面BCM.C组素养关1.在如图所示的多面体中,四边形ABCD是平行四边形,四边形BDEF是矩形,ED⊥平面ABCD,∠ABD=eq\f(π,6),AB=2AD.(1)求证:平面BDEF⊥平面ADE;(2)若ED=BD,求直线AF与平面AEC所成角的正弦值.解(1)证明:在△ABD中,由正弦定理知eq\f(AB,sin∠ADB)=eq\f(AD,sin∠ABD),所以sin∠ADB=eq\f(AB·sin∠ABD,AD)=eq\f(2AD·sin\f(π,6),AD)=1,所以∠ADB=90°,即BD⊥AD.因为DE⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以DE⊥BD.又AD∩DE=D,所以BD⊥平面ADE.因为BD⊂平面BDEF,所以平面BDEF⊥平面ADE.(2)由(1)可得,在Rt△ABD中,∠BAD=eq\f(π,3),BD=eq\r(3)AD,又由ED=BD,设AD=1,则BD=ED=eq\r(3).因为DE⊥平面ABCD,BD⊥AD,所以可以点D为坐标原点,DA,DB,DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示.则A(1,0,0),C(-1,eq\r(3),0),E(0,0,eq\r(3)),F(0,eq\r(3),eq\r(3)),所以eq\o(AE,\s\up6(→))=(-1,0,eq\r(3)),eq\o(AC,\s\up6(→))=(-2,eq\r(3),0).设平面AEC的法向量为n=(x,y,z),则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AE,\s\up6(→))=0,,n·\o(AC,\s\up6(→))=0,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-x+\r(3)z=0,,-2x+\r(3)y=0,))令z=1,得n=(eq\r(3),2,1)为平面AEC的一个法向量.因为eq\o(AF,\s\up6(→))=(-1,eq\r(3),eq\r(3)),所以cos〈n,eq\o(AF,\s\up6(→))〉=eq\f(n·\o(AF,\s\up6(→)),|n||\o(AF,\s\up6(→))|)=eq\f(\r(42),14),所以直线AF与平面AEC所成角的正弦值为eq\f(\r(42),14).2.如图,球O内接四面体ABCD,AB为球O的直径,平面BCD截球得圆O′,BD为圆O′的直径,C为圆O′上一点,AD⊥平面BCD,AD=2,BD=2eq\r(2),M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.(1)证明:PQ∥平面BCD;(2)若二面角C-BM-D的大小为60°,求∠BDC的大小.解(1)证明:连接PO′,由中位线易知PO′∥AD,从而PO′⊥平面BCD.如图,以O′为原点,O′D,O′P所在射线分别为y轴、z轴的正半轴,建立空间直角坐标系O′xyz.由题意知A(0,eq\r(2),2),B(0,-eq\r(2),0),D(0,eq\r(2),0).设点C的坐标为(x0,y0,0),因为eq\o(AQ,\s\up6(→))=3eq\o(QC,\s\up6(→)),所以Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)x0,\f(\r(2),4)+\f(3,4)y0,\f(1,2))).因为M为AD的中点,故M(0,eq\r(2),1).又P为BM的中点,故Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(
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