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文档简介
人教版数学六年级(上册)知识点梳理附复习要点
各知识点梳理归纳
第一单元分数乘法
(一)分数乘法意义:
1,分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同,就是求几个相同加数的和的
简便运算。
“分数乘整数”指的是第二个因数必须是整数,不能是分数。
2、一个数乘分数的意义就是求一个数的几分之几是多少。
“一个数乘分数”指的是第二个因数必须是分数,不能是整数。(第一个因数
是什么都可以)
(-)分数乘法计算法则:
1、分数乘整数的运算法则是:分子与整数相乘,分母不变。
(1)为了计算简便能约分的可先约分再计算。(整数和分母约分)
(2)约分是用整数和下面的分母约掉最大公因数。(整数千万不能与分母相
乘,计算结果必须是最简分数)。
2、分数乘分数的运算法则是:用分子相乘的积做分子,分母相乘的积做分
母。(分子乘分子,分母乘分母)
(1)如果分数乘法算式中含有带分数,要先把带分数化成假分数再计算。
(2)分数化简的方法是:分子、分母同时除以它们的最大公因数。
(3)在乘的过程中约分,是把分子、分母中,两个可以约分的数先划去,
再分别在它们的上、下方写出约分后的数。(约分后分子和分母必须不再含
有公因数,这样计算后的结果才是最简单分数)。
(4)分数的基本性质:分子、分母同时乘或者除以一个相同的数(0除外),
分数的大小不变。
(三)积与因数的关系:
一个数(0除外)乘大于1的数,积大于这个数。axb=c,当b>l时,c>a»
一个数(0除外)乘小于1的数,积小于这个数。axb=c,当b<1时,cVa(b#))。
一个数(0除外)乘等于1的数,积等于这个数。axb=c,当b=1时,c=a。
在进行因数与积的大小比较时,要注意因数为0时的特殊情况。
(四)分数乘法混合运算
1、分数乘法混合运算顺序与整数相同,先乘、除后加、减,有括号的先算
括号里面的,再算括号外面的。
2、整数乘法运算定律对分数乘法同样适用;运算定律可以使一些计算简便。
乘法交换律:axb=bxa
乘法结合律:(axb)xc=ax(bxc)
乘法分配律:ax(b±c)=axb±axc
(五)倒数的意义:乘积为1的两个数互为倒数。
1、倒数是两个数的关系,它们互相依存,不能单独存在。单独一个数不能
称为倒数。(必须说清谁是谁的倒数)
2、判断两个数是否互为倒数的唯一标准是:两数相乘的积是否为“1”。例如:
axb=1,则a、b互为倒数。
3、求倒数的方法:
①求分数的倒数:交换分子、分母的位置。
②求整数的倒数:整数分之1。
③求带分数的倒数:先化成假分数,再求倒数。
④求小数的倒数:先化成分数再求倒数。
4、1的倒数是它本身,因为1x1=1。
0没有倒数,因为任何数乘0积都是0,且0不能作分母。
5、真分数的倒数是假分数,真分数的倒数大于1,也大于它本身。
假分数的倒数小于或等于lo带分数的倒数小于lo
(六)分数乘法应用题——用分数乘法解决问题
1、求一个数的几分之几是多少?(用乘法)
已知单位“1”的量,求单位“1”的量的几分之几是多少,用单位“1”的量与分数
相乘。
2、巧找单位“1”的量:在含有分数(分率)的语句中,分率前面的量就是单
位“1”对应的量,或者“占是比”字后面的量是单位“1”。
3、什么是速度?
速度是单位时间内行驶的路程。
速度=路程+时间
时间=路程+速度
路程=速度X时间
单位时间指的是1小时1分钟1秒等这样的大小为1的时间单位,每分钟、
每小时、每秒钟等。
4、求甲比乙多(少)几分之几?
多:(甲-乙)十乙
少:(乙-甲)+乙
第二单元位置与方向(二)
1、什么是数对?
数对:由两个数组成,中间用逗号隔开,用括号括起来。括号里面的数由左
至右为列数和行数,即“先列后行
数对的作用:确定一个点的位置。经度和纬度就是这个原理。
2、确定物体位置的方法:
(1)先找观测点;(2)再定方向(看方向夹角的度数);(3)最后确定距离
(看比例尺)。
描绘路线图的关键是选好观测点,建立方向标,确定方向和路程。
位置关系的相对性:两地的位置具有相对性在叙述两地的位置关系时,观测
点不同,叙述的方向正好相反,而度数和距离正好相等。
相对位置:东-西;南-北;南偏东-北偏西。
第三单元分数的除法
一、分数除法的意义:分数除法是分数乘法的逆运算,已知两个数的积与其
中一个因数,求另一个因数的运算。
二、分数除法计算法则:除以一个数(0除外),等于乘上这个数的倒数。
1、被除数+除数=被除数x除数的倒数。
2、除法转化成乘法时,被除数一定不能变,“十”变成“x",除数变成它的倒
数。
3、分数除法算式中出现小数、带分数时要先化成分数、假分数再计算。
4、被除数与商的变化规律:
①除以大于1的数,商小于被除数:a+b=c,当b>l时,c<a。
②除以小于1的数,商大于被除数:a+b=c,当b<l时,c>a。(a#),b#0)
③除以等于I的数,商等于被除数:a+b=c,当6=1时-,c=a。
三、分数除法混合运算
1、混合运算用梯等式计算,等号写在第一个数字的左下角。
2、运算顺序:
①连除:同级运算,按照从左往右的顺序进行计算;或者先把所有除法转化
成乘法再计算;或者依据“除以几个数,等于乘上这几个数的积''的简便方法
计算。力口、减法为一级运算,乘、除法为二级运算。
②混合运算:没有括号的先乘、除后加、减,有括号的先算括号里面,再算
括号外面。
(a±b)+c=a+c士b+c
第四单元比
比:两个数相除也叫两个数的比
1、比式中,比号(:)前面的数叫前项,比号后面的项叫做后项,比号相
当于除号,比的前项除以后项的商叫做比值。
连比,如:3:4:5读作:3比4比5。
2、比表示的是两个数的关系,可以用分数表示,写成分数的形式,读作几
比几。
例:12:20=12^-20=0.6
12:20读作:12比20。
区分比和比值:比值是一个数,通常用分数表示,也可以是整数、小数。
比是一个式子,表示两个数的关系,可以写成比,也可以写成分数的形式。
3、比的基本性质:比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(0除外),比
值不变。
4、化简比:化简之后结果还是一个比,不是一个数。
(1)用比的前项和后项同时除以它们的最大公约数。
(2)两个分数的比,用前项后项同时乘分母的最小公倍数,再按化简整数
比的方法来化简。也可以求出比值再写成比的形式。
(3)两个小数的比,向右移动小数点的位置,也是先化成整数比。
5、求比值:把比号写成除号再计算,结果是一个数(或分数),相当于商,
不是比。
6、比和除法、分数的区别:
除法:被除数除号(+)除数(不能为0)商不变性质除法是一种运算。
分数:分子分数线(一)分母(不能为0)分数的基本性质分数是一个数。
比:前项比号(:)后项(不能为0)比的基本性质比表示两个数的关
系。
商不变性质:被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外),商不变。
分数的基本性质:分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外),分数的大小
不变。
分数除法和比的应用
1、已知单位“1”的量用乘法。
2、未知单位“1”的量用除法。
3、分数应用题基本数量关系(把分数看成比)
(1)甲是乙的几分之几?
甲=乙、几分之几
乙=甲+几分之几
几分之几=甲+乙
(2)甲比乙多(少)几分之几?
4、按比例分配:把一个量按一定的比分配的方法叫做按比例分配。
5、画线段图:
(1)找出单位“1”的量,先画出单位“1”,标出已知和未知。
(2)分析数量关系。
(3)找等量关系。
(4)列方程。
两个量的关系画两条线段图,部分和整体的关系画一条线段图。
第五单元圆
一、圆的特征
1、圆是平面内封闭曲线围成的平面图形。
2、圆的特征:外形美观,易滚动。
3、圆心0:圆中心的点叫做圆心.圆心一般用字母0表示。
圆多次对折之后,折痕的相交于圆的中心即圆心。圆心确定圆的位置。
半径r:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。在同一个圆里,有无数
条半径,且所有的半径都相等。半径确定圆的大小。
直径d:通过圆心且两端都在圆上的线段叫做直径。在同一个圆里,有无数条
直径,且所有的直径都相等。直径是圆内最长的线段。
同圆或等圆内直径是半径的2倍:d=2i•或r=d-2
4、等圆:半径相等的圆叫做同心圆,等圆通过平移可以完全重合。同心圆:
圆心重合、半径不等的两个圆叫做同心圆。
5、圆是轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完
全重合,这个图形是轴对称图形。折痕所在的直线叫做对称轴。
有一条对称轴的图形:半圆、扇形、等腰梯形、等腰三角形、角。
有二条对称轴的图形:长方形
有三条对称轴的图形:等边三角形
有四条对称轴的图形:正方形
有无条对称轴的图形:圆,圆环
6、画圆
(1)圆规两脚间的距离是圆的半径。(2)画圆步骤:定半径、定圆心、旋
转一周。
二、圆的周长:
围成圆的曲线的长度叫做圆的周长,周长用字母C表示。
1、圆的周长总是直径的三倍多一些。
2、圆周率:圆的周长与直径的比值是一个固定值,叫做圆周率,用字母兀
表示。
即:圆周率兀=周长+直径*3.14。
所以,圆的周长(c)=直径(d)x圆周率(兀)—周长公式:c=7td,c=2兀r。
圆周率兀是一个无限不循环小数,3.14是近似值。
3、周长的变化的规律:半径扩大多少倍直径也扩大多少倍,周长扩大的倍
数与半径、直径扩大的倍数相同。
4、半圆周长=圆周长一半+直径=7tr+d
三、圆的面积s
1、圆面积公式的推导
如图把一个圆沿直径等分成若干份,剪开拼成长方形,份数越多拼成的图像
越接近长方形。
圆的半径=长方形的宽
圆的周长的一半=长方形的长
长方形面积=长乂宽
所以,圆的面积=圆的周长的一半(nr)x圆的半径(r)0
S圆=7trxr=nr2
2、几种图形,在面积相等的情况下,圆的周长最短,而长方形的周长最长;
反之,在周长相等的情况下,圆的面积则最大,而长方形的面积则最小。
周长相同时,圆面积最大,利用这一特点,篮子、盘子做成圆形。
3、圆面积的变化的规律:半径扩大多少倍,直径、周长也同时扩大多少倍,
圆面积扩大的倍数是半径、直径扩大的倍数的平方倍。
4、环形面积=大圆-小圆=7tR2-7tr2
扇形面积=7tr2xn+360(n表示扇形圆心角的度数)
5、跑道:每条跑道的周长等于两半圆跑道合成的圆的周长加上两条直跑道
的和。因为两条直跑道长度相等,所以,起跑线不同,相邻两条跑道起跑线
也不同,间隔的距离是:跑道宽度。
一个圆的半径增加a厘米,周长就增加27ta厘米。
一个圆的直径增加b厘米,周长就增加兀b厘米。
6、任意一个正方形的内切圆即最大圆的直径是正方形的边长,它们的面积
比是4:兀。
7、常用数据
71=3.1427t=6.2837t=9.424兀=12.565兀=15.7
第六单元百分数(一)
一、百分数的意义:表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。百
分数又叫百分比或百分率,百分数不能带单位。
注意:百分数是专门用来表示一种特殊的倍比关系的,表示两个数的比。
1、百分数和分数的区别和联系:
(1)联系:都可以用来表示两个量的倍比关系。
(2)区别:意义不同:百分数只表示倍比关系,不表示具体数量,所以不
能带单位。分数不仅表示倍比关系,还能带单位表示具体数量。百分数的分
子可以是小数,分数的分子只可以是整数。
注意:百分数在生活中应用广泛,所涉及问题基本和分数问题相同,分母是
100的分数并不是百分数,必须把分母写成“%”才是百分数,所以“分母是100
的分数就是百分数”这句话是错误的。的两个0要小写,不要与百分数前
面的数混淆。一般来讲,出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%,
出米率、出油率达不到100%,完成率、增长了百分之几等可以超过100%。
一般出粉率在70%、80%,出油率在30%、40%o
2、小数、分数、百分数之间的互化
(1)百分数化小数:小数点向左移动两位,去掉“%”。
(2)小数化百分数:小数点向右移动两位,添上“%”。
(3)百分数化分数:先把百分数写成分母是100的分数,然后再化简成最
简分数。
(4)分数化百分数:分子除以分母得到小数,(除不尽的保留三位小数)然
后化成百分数。
(5)小数化分数:把小数成分母是10、100、1000等的分数再化简。
(6)分数化小数:分子除以分母。
二、百分数应用题
1、求常见的百分率,如:达标率、及格率、成活率、发芽率、出勤率等求百
分率就是求一个数是另一个数的百分之几。
2、求一个数比另一个数多(或少)百分之几,实际生活中,人们常用增加
了百分之几、减少了百分之几、节约了百分之几等来表示增加、或减少的幅
度。
求甲比乙多百分之几:(甲一乙)+乙
求乙比甲少百分之几:(甲一乙)小甲
3、求一个数的百分之几是多少。一个数(单位“1”)x百分率
4、已知一个数的百分之几是多少,求这个数。
部分量+百分率=一个数(单位“1”)
5、折扣、打折的意义:几折就是十分之几也就是百分之几十
折扣、成数=几分之几、百分之几、小数
八折=八成=十分之八=百分之八十=0.8
八五折=八成五=十分之八点五=百分之八十五=0.85
五折=五成=十分之五=百分之五十=0.5=半价
6、利率
(1)存入银行的钱叫做本金。
(2)取款时银行多支付的钱叫做利息。
(3)利息与本金的比值叫做利率。
利息=本金x利率x时间
税后利息=利息一利息的应纳税额=利息一利息X5%
注:国债和教育储蓄的利息不纳税
7、百分数应用题型分类
(1)求甲是乙的百分之几——(甲+乙)xl00%=百分之几
(2)求甲比乙多百分之几——(甲-乙)+乙xl0()%
(3)求甲比乙少百分之几——(乙-甲)+乙X100%
第七单元扇形统计图的意义
1、扇形统计图的意义:用整个圆的面积表示总数,用圆内各个扇形面积表
示各部分数量同总数之间关系,也就是各部分数量占总数的百分比,因此也
叫百分比图。
2、常用统计图的优点:
(1)条形统计图直观显示每个数量的多少。
(2)折线统计图不仅直观显示数量的增减变化,还可清晰看出各个数量的
多少。
(3)扇形统计图直观显示部分和总量的关系。
第八单元数学广角--数与形
2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=(110)
规律:从2开始的n个连续偶数的和等于nx(n+l)。
10x(10+1)=10x11=110
知识点复习要点
第一单元分数乘法
一、分数乘法
(一)分数乘法的意义:
1、分数乘整数与整数乘法的意义相同。都是求几个相同加数的和的
简便运算。
例如:65义5表示求5个65的和是多少?1/3X5表示求5个1/3的和
是多少?
2、一个数乘分数的意义是求一个数的几分之几是多少。
例如:1/3X4/7表示求1/3的4/7是多少。
4X3/8表示求4的3/8是多少.
(二人分数乘法的计算法则:
1、分数与整数相乘:分子与整数相乘的积做分子,分母不变。(整数
和分母约分)
2、分数与分数相乘:用分子相乘的积做分子,分母相乘的积做分母。
注意:当带分数进行乘法计算时,要先把带分数化成假分数再进行计
算。
3、为了计算简便,能约分的要先约分,再计算。(尽量约分,不会约
分的就不约,常考的质因数有11X11=121;13X13=169;17X17=289;
19X19=361)
4、小数乘分数,可以先把小数化为分数,也可以把分数化成小数再
计算(建议把小数化分数再计算)。
(三”乘法中比较大小的规律
一个数(0除外)乘大于1的数,积大于这个数。
一个数(0除外)乘小于1的数(0除外),积小于这个数。
一个数(0除外)乘1,积等于这个数。
(四)、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。整数乘
法的交换律、结合律和分配律,对于分数乘法也同样适用。
乘法交换律:aXb=bXa
乘法结合律:(aXb)Xc=aX(bXc)
乘法分配律:(a+b)Xc=ac+bc
二、分数乘法的解决问题(已知单位“1”的量(用乘法),即求单位
“1”的几分之几是多少)
1、画线段图:(1)两个量的关系:画两条线段图,先画单位一的量,
注意两条线段的左边要对齐。(2)部分和整体的关系:画一条线段图。
2、找单位“1”:单位“1”在分率句中分率的前面;
或在“占”、“是”、“比”“相当于”的后面。
3、写数量关系式的技巧:
(1)“的”相当于“X”,“占”、“相当于”“是“、“比”是“="
(2)分率前是“的”字:用单位“1”的量X分率=具体量
例如:甲数是20,甲数的1/3是多少?列式是:20X1/3
4、看分率前有没有多或少的问题;分率前是“多或少”的关系式:
(比少):单位“1”的量X(1-分率尸具体量;
例如:甲数是50,乙数比甲数少1/2,乙数是多少?
列式是:50X(1-1/2)
(比多):单位'T的量义(1+分率尸具体量
例如:小红有30元钱,小明比小红多3/5,小红有多少钱?
列式是:50X(1+3/5)
3、求一个数的几倍是多少:用一个数X几倍;
4、求一个数的几分之几是多少:用一个数义几分之几。
5、求几个几分之几是多少:用几分之几义个数
6、求已知一个部分量是总量的几分之几,求另一个部分量的方法:
(1)、单位“1”的量X(l-分率尸另一个部分量(建议用)
(2)、单位“1”的量-已知占单位“1”的几分之几的部分量=要求的部
分量
例如:教材15页做一做和16页练习第七题(题目中有时候会有这种
题的关键字“其中”)
第二单元位置与方向(二)
一、确定物体位置的方法:1、先找观测点;2、再定方向(看方向夹
角的度数);3、最后确定距离(看比例尺)
二、描绘路线图的关键是选好观测点,建立方向标,确定方向和路程。
三、位置关系的相对性:1、两地的位置具有相对性在叙述两地的位
置关系时一,观测点不同,叙述的方向正好相反,而度数和距离正好相
等。
四、相对位置:东-西;南一北;南偏东-北偏西。
第三单元分数除法
三、倒数
1、倒数的意义:乘积是1的两个数互为倒数。
强调:互为倒数,即倒数是两个数的关系,它们互相依存,倒数不能
单独存在。(要说清谁是谁的倒数)。
2、求倒数的方法:
(1)、求分数的倒数:交换分子分母的位置。
(2)、求整数的倒数:把整数看做分母是1的分数,再交换分子分母
的位置。
(3)、求带分数的倒数:把带分数化为假分数,再求倒数。
(4)、求小数的倒数:把小数化为分数,再求倒数。
3、1的倒数是1;因为1X1=1;0没有倒数,因为0乘任何数
都得0,(分母不能为0)
4、真分数的倒数大于1;假分数的倒数小于或等于1;带分数的倒数
小于lo
5、运用,aX2/3=bXl/4求a和b是多少。把aX2/3=bX1/4看成等
于1,也就是求2/3的倒数和求1/4的倒数。
1、分数除法的意义:
乘法:因数义因数=积
除法:积小一个因数=另一个因数
分数除法与整数除法的意义相同,表示已知两个因数的积和其中一个
因数,求另一个因数的运算。
例如:1/2+3/5意义是:已知两个因数的积是1/2与其中一个因数3/5,
求另一个因数的运算。
2、分数除法的计算法则:
除以一个不为0的数,等于乘这个数的倒数。
3、分数除法比较大小时的规律:
(1)当除数大于1,商小于被除数;
(2)当除数小于1(不等于0),商大于被除数;
(3)当除数等于1,商等于被除数。
“[]”叫做中括号。一个算式里,如果既有小括号,又有中括号,
要先算小括号里面的,再算中括号里面的。
二、分数除法解决问题
1,解法:(1)方程:根据数量关系式设未知量为X,用方程解答。
解:设未知量为X(一定要解设),再列方程用XX分率=具体量
例如:公鸡有20只,是母鸡只数的1/3,母鸡有多少只。(单位一是
母鸡只数,单位一未知.)解:设母鸡有X只。列方程为:XX1/3=20
(2)算术(用除法):单位“1”的量未知用除法:
即已知单位“1”的几分之几是多少,求单位“1”的量。
分率对应量4••对应分率=单位"1"的量
例如:公鸡有20只,是母鸡只数的1/3,母鸡有多少只。(单位一是
母鸡只数,单位一未知,)用除法,列式是:204-1/3
2、看分率前有没有比多或比少的问题;
分率前是“多或少”的关系式:
(比少):具体量+(1-分率尸单位“1”的量;
例如:桃树有50棵,比苹果树少1/6,苹果树有多少棵。
列式是:504-(1-1/6)
(比多):具体量+(1+分率尸单位“1”的量
例如:一种商品现在是80元,比原价增加了1/7,原价多少?
列式是:804-(1+1/7)
3、求一个数是另一个数的几分之几是多少:用一个数除以另一个
数,结果写为分数形式。
例如:男生有20人,女生有15人,女生人数占男生人数的几分之几。
列式是:15+20=15/20=3/4
4、求一个数比另一个数多几分之几的方法:
用两个数的相差量+单位“1”的量=分数
即①求一个数比另一个数多几分之几:用(大数-小数)+另一个
数(比那个数就除以那个数),结果写为分数形式。
例如:5比3多几分之几?(5-3)+3=2/3
②求一个数比另一个数少几分之几:用(大数-小数):另一个数
(比那个数就除以那个数),结果写为分数形式。
例如:3比5少几分之几?(5-3)+5=2/5
说明:多几分之几不等于少几分之几,因为单位一不同。
5、工程问题:把工作总量看作单位“1”,合做多长时间完成一项工
程用1+效率和,即1+(1/时间+1/时间),(工作效率=1/时间)
例如:一项工程甲单独做要5天完成,乙单独做要10天完成,甲单
独做要3天完成,三人合做几天可以完成?列式:1+(1/5+1/10+1/3)
第四单元比
(一)、比的意义
1、比的意义:两个数相除又叫做两个数的比。
2、在两个数的比中,比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫
做比的后项。比的前项除以后项所得的商,叫做比值。
例如15:10=15+10=3/2(比值通常用分数表示,也可以用小数或
整数表示)
15:10=3/2
前项比号后项比值
3、比可以表示两个相同量的关系,即倍数关系。例:长是宽的几倍。
也可以表示两个不同量的比,得到一个新量。例:路程+速度=时间。
4、区分比和比值
比:表示两个数的关系,可以写成比的形式,也可以用分数表示。
比值:相当于商,是一个数,可以是整数,分数,也可以是小数。
5、根据分数与除法的关系,两个数的比也可以写成分数形式。
6、比和除法、分数的联系:
比前项比号“:”后项比值
除法被除数除号除数商
分数分子分数线“一”分母分数值
7、比和除法、分数的区别:除法是一种运算,分数是一个数,比表
示两个数的关系。
8、根据比与除法、分数的关系,可以理解比的后项不能为0。
9、体育比赛中出现两队的分是2:0等,这只是一种记分的形式,不
表示两个数相除的关系。
10、求比值:用前项除以后项,结果最好是写为分数(不会约分的就
不约分)
例如:15:10=154-10=15/10=3/2
(二卜比的基本性质
1、根据比、除法、分数的关系:
商不变的性质:被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外),商不
变。
分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时(0除
外),分数值不变。
比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比
值不变。
2、最简整数比:比的前项和后项都是整数,并且是互质数,这样的
比就是最简整数比。
3、根据比的基本性质,可以把比化成最简单的整数比。
4.化简比:
⑵用求比值的方法。注意:最后结果要写成比的形式。
例如:15:10=15+10=15/10=3/2=3:2
还可以15:10=15+10=3/2最简整数比是3:2
5、比中有单位的,化简和求比值时要把单位化相同再化简和求比值,
结果没有单位。
6.按比例分配:把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常
叫做按比例分配。一般有两种解题法
1,用分率解:按比例分配通常把总量看作单位一,即转化成分率。
要先求出总份数,再求出几份占总份数的几分之几,最后再用总量分
别乘几分之几。
例如:有糖水25克,糖和水的比为1:4,糖和水分别有几克?
1+4=5糖占1/5用25X1/5得到糖的数量,水占4/5用25X4/5
得到水的数量。
2,用份数解:要先求出总份数,再求出每一份是多少,最后分别求
出几份是多少。
例如:有糖水25克,糖和水的比为1:4,糖和水分别有几克?
糖和水的份数一共有1+4=5一份就是25+5=5糖有1份就是5义1
水有4分就是5X4
第五单元圆的认识
一、认识圆形
1、圆的定义:圆是由曲线围成的一种平面图形。
2、圆心:将一张圆形纸片对折两次,折痕相交于圆中心的一点,这
一点叫做圆心。一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相
等.
3、半径:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r
表示。把圆规两脚分开,两脚之间的距离就是圆的半径。
4、直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母
d表示。直径是一个圆内最长的线段。
5、圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小。
6、在同一个圆内或等圆内,有无数条半径,有无数条直径。所有的
半径都相等,所有的接近长方形。长方形的长相当于圆的周长的一
半,长方形的宽相当于圆的半径。
(2)拼出的图形与圆的周长和半径的关系。
圆的半径=长方形的宽
圆的周长的一半=长方形的长
3、圆面积的计算方法:因为:长方形面积=长义宽
所以:圆的面积=圆周长的一半X圆的半径
即S圆=C4-2Xr=弘rXr=r2
圆的面积公式:S圆fr2=S圆+n
4、环形的面积:一个环形,外圆的半径用字母R表示,内圆的半径
用字母r表示。(R=r+环的宽度.)
5环=RR,-冗产或环形的面积公式:$环=耳(R2-d)(建议用这个
公式)。
5、一个圆,半径扩大或缩小多少倍,直径和周长也扩大或缩小相同
的倍数。而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。
例如:在同一个圆里,半径扩大3倍,那么直径和周长就都扩大3倍,
而面积扩大3的平方倍得到9倍。
6、两个圆:半径比=直径比=周长比;而面积比等于这比的平方。
例如:两个圆的半径比是2:3,那么这两个圆的直径比和周长比都
是2:3,而面积比是4:9
7、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值,即:4:
JI
8、当长方形,正方形,圆的周长相等时,圆面积最大,正方形居中,
长方形面积最小。反之,面积相同时,长方形的周长最长,正方形居
中,圆的周长最短。
9、常用各n值结果:弘=3.14;2n=6.28;5n=15.7
10、外方内圆(内切圆)公式S=0.86d推导过程:S=S正-S圆=(T-
222222
nr=2rX2r-Jrr=4r-nr=rX(4-Ji>0.86r
11、外圆内方(外切圆)公式S=1.14r2推导过程:S=S圆-S正=nr2-dr/2
222
X2=2rXr/2Xr=nr-2r=rX(n-2)=1.141(把正方形看成两个面积
相等的三角形,三角形的底就是直径,高是半径)
12、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶
点在圆心的角叫做圆心角。扇形的面积与圆心角大小和半径长短有关。
13、S扇=S/Xn/360;S扇环=S环Xn/360
14、扇形也是轴对称图形,有一条对称轴。
半径半径的平方直径周长面积
15、常
见半径
与直径
的周长
和面积的结果。
1126.283.14
24412.5612.56
39618.8428.26
416825.1250.24
5251031.478.5
6361237.68113.04
7491443.96153.86
8641650.24200.96
9811856.52254.34
101002062.8314
1.52.2539.427.065
2.56.25515.719.625
3.512.25721.9838.465
4.520.35928.2663.585
5.530.251134.5494.985
7.556.251547.1176.625
第六单元百分数
一、百分数的意义和写法
(一)、百分数的意义:表示一个数是另一个数的百分之几。百分数
是指的两个数的比,因此也叫百分率或百分比。
(二)、百分数和分数的主要联系与区别:
联系:都可以表示两个量的倍比关系。
区别:①、意义不同:百分数只表示两个数的倍比关系,不能表示具
体的数量,所以不能带单位;
分数既可以表示具体的数,又可以表示两个数的关系,表示具体数时
可以带单位。
②、百分数的分子可以是整数,也可以是小数;
分数的分子不能是小数,只能是除0以外的自然数。
3、百分数的写法:通常不写成分数形式,而在原来分子后面加上“%”
来表示,读作百分之。
二、百分数和分数、小数的互化
(一)百分数与小数的互化:
1、小数化成百分数:把小数点向右移动两位(数位不够用0补足),
同时在后面添上百分号。
2.百分数化成小数:把小数点向左移动两位(数位不够用0补足),
同时去掉百分号。
(二)百分数的和分数的互化
1、百分数化成分数:先把百分数改写成分母是100的分数,能约分
要约成最简分数。
2、分数化成百分数:
①用分数的基本性质,把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数,
再写成百分数形式。
②先把分数化成小数(除不尽时,通常保留三位小数),再把小数化成
百分数。(建议用这种方法)
(三)常见分数小数百分数之间的互化;
三、用百分数解决问题
(一)一般应用题
1、常见的百分率的计算方法:
一般来讲,出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%,出米率、
出油率达不到100%,完成率、增长了百分之几等可以超过100%。
2、求一个数是另一个数的百分之几用一个数除以另一个数,结果写
为百分数形式。
例如:例如:男生有20人,女生有15人,女生人数占男生人数的百
分之几。
列式是:154-20=15/20=75%
3、已知单位“1”的量(用乘法),求单位“1”的百分之几是多少的
问题,数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同:
⑴百分率前是“的”:单位“1”的量义百分率=百分率对应量
(2百分率前是“多或少”的数量关系:
单位"1”的量义(1±百分率)=百分率对应量
4、未知单位“1”的量(用除法),已知单位“1”的百分之几是多少,
求单位“1”。方法与分数的方法相同。
解法:(1)方程:根据数量关系式设未知量为X,用方程解答。
(2)算术(用除法):百分率对应量+对应百分率=单位“1”的量
5、求一个数比另一个数多(少)百分之几的方法与分数的方法相同。
只是结果要写为百分数形式。看百分率前有没有比多或比少的问题;
百分率前是“多或少”的关系式:
(比少):具体量+((百分率尸单位“1”的量;
例如:大米有50千克,比面粉树少50%,面粉有多少千克。
列式是:504-(1-50%)
(比多):具体量+(1+百分率尸单位“1”的量
例如:工人做110个零件,比原计划多做了10%,原计划做多少个?
列式是:1104-(1+10%)
6、求一个数比另一个数多百分之几的方法:方法与分数的方法相同。
用两个数的相差量+单位“1”的量=百分之几
即①求一个数比另一个数多百分之几:用(大数-小数)+另一个
数(比那个数就除以那个数),结果写为百分数形式。
甲比乙多几分之几的问题,方法A,(甲-乙)+乙(建议用)
方法B,甲+乙-100%
例如:老师计划改40本作业,实际改了50本,实际比计划多改了百
分之几?
列式是:(50-40)+40=0.25=25%
②求一个数比另一个数少几分之几:用(大数-小数)+另一个数
(比那个数就除以那个数),结果写
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