椭圆及其标准方程高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修1

椭圆及其标准方程1．通过动手画图的实践操作，感知、观察动点形成轨迹的过程，抽象出椭圆的定义，发展学生的直观想象、数学抽象和逻辑推理等素养．2．由椭圆定义，学会推导椭圆的标准方程．重点：椭圆的定义及其标准方程．难点：在操作中抽象椭圆的定义，椭圆的标准方程的推导目

录contents01.课堂导入02.新知讲授03.新知运用04.课堂总结01课堂导入课堂导入椭圆形课堂导入怎么标准画出椭圆呢？动手实践让学生拿出课前准备的纸板，两人一组．给每组发一根细绳、两个图钉．小组合作按以下步骤操作：

课堂导入如何画出一个椭圆？取一条一定长的细绳，把它的两端分别固定在画板上的F1和F2两点,当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在画板上慢慢移动，其轨迹就是一个椭圆。

02新知讲解新知讲解椭圆定义：平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的集合（或轨迹）叫椭圆。注意：其中这两个定点叫做椭圆的焦点两焦点间的距离叫做椭圆的焦距

P

新知讲解F1F2PF1F2P|PF1|+|PF2|=2a(a为大于0的常数),当2a＞|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆形。当2a=|F1F2|时，P点的轨迹是线段F1F2。当2a＜|F1F2|时，不表示任何图形

P

设点P为椭圆上任意一点，根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a(a为大于0的常数),设点P1为点P关于直线F1F2的对称点，则|P1F1|+|P1F2|=2a.这说明点P1也在椭圆上，所以直线F1F2是椭圆的对称轴。

P1新知讲解同理可以得出：椭圆是轴对称图形，直线F1F2及线段F1F2的垂直平分线都是它的对称。椭圆也是中心对称图形，线段F1F2的中点是它的对称中心。

P

P1新知讲解探究椭圆的标准方程：建立合适的直角坐标系建系标题文字设立点坐标列出等式带入坐标设点标题文字列式标题文字代坐标标题文字化简化简等式分类讨论，推导方程方案一

方案二

其它方案新知讲解建系

P(x,y)

Oxy设点列式代坐标化简线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则焦点F1,F2的坐标分别为(-c,0),(c,0).

设P(x,y)是椭圆上任意一点，根据椭圆的定义可知点P满足|PF1|+|PF2|=2a.

新知讲解

P(x,y)

yx按照上面的步骤以直线F1F2为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立坐标系。

03新知运用例题讲解例1已知△ABC的周长为10,且|BC|=4,则△ABC的顶点A的轨迹是什么?并说明理由.解：因为△ABC的周长为10,且|BC|=4,所以|AB|+|AC|=6,且|AB|+|AC|>|BC|.根据椭圆的定义可知，△ABC的顶点A的轨迹是以B,C为焦点，焦距长为4的椭圆(不含椭圆与直线BC的交点)BCA课堂练习1.已知两个定点F1,F2的距离是6,动点P到这两个定点的距离之和是6,那么动点P的轨迹是什么?解：∵|F1F2|=6,|PF1|+|PF2|=6|F1F2|=|PF1|+|PF2|∴点P在线段F1F2上。F1F2P课堂练习2.如图，两个定圆⊙C1和⊙C2内切，且半径分别为r1=1,r2=3,动圆M与⊙C外切且与⊙C2内切，那么动圆圆心M的轨迹是什么?并说明理由。C1C2M解：由题意，设动圆m的半径为r∵|MC1|=r1+r=1+r,|MC2|=r2-r=3-r，∴|MC1|+|MC2|=1+r+3-r=4.∵圆C1与圆c相内切∴|C1C2|=r2-r1=3-1=2,∵4>|C1C2|=2∴动圆圆心m的轨迹是以C,C为焦点，长轴长为4，焦距为2的圆(除去靠近C1的长轴的端点)04课堂总结课堂总结椭圆

焦点在y轴上

P(x,y)

OxyF1(-c,0)、F2(c,0)F1(0,-c)、F2(0,c)

P(x,y)