中职高考数学一轮复习讲练测(全国适用)专题三十八抛物线(原卷版+解析)

专题三十八抛物线思维导图知识要点知识要点1．抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．(2)其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程

=2px

(p>0)

=-2px

(p>0)

=2py

(p

>0)=-2py

(p

>0)p的几何意义:

焦点F

到准线l的距离图形顶点O(0，0)

对称轴y＝0

x＝0焦点F(,0)F(,0)F(0,)F(,0)离心率e＝1

准线方程x＝

x＝y＝

y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径|PF|＝x0＋|PF|＝－x0|PF|＝y0＋|PF|＝－y0＋

典例解析典例解析【例1】若抛物线＝2px(p>0)上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为()A．＝4x B．＝6x C．＝8x D．＝10x【变式训练1】抛物线＝4y的焦点到准线的距离为()A.B．1C．2D．4【例2】点M(5，3)到抛物线y＝a的准线的距离为6，那么抛物线的方程是()A．y＝12B．y＝12或y＝－36C．y＝－36D．y＝或y＝－【变式训练2】准线方程为x＝2的抛物线的标准方程为________．【例3】抛物线＝y的准线方程是()A．x＝－1B．y＝－1C．x＝D．y＝【变式训练3】抛物线＝6x的焦点到准线的距离为()A．1B．2C．3D．4【例4】已知抛物线的顶点是双曲线16－9＝144的中心，而焦点是双曲线的顶点，求抛物线的方程．【变式训练4】抛物线的顶点在原点，它的焦点与椭圆(a>b>0)的一个焦点重合，若抛物线与椭圆的一个交点是M，求抛物线与椭圆的标准方程．【例5】抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，并且它的准线过等轴双曲线的一个焦点，已知抛物线过点，求抛物线和双曲线的标准方程．【变式训练5】已知双曲线的左焦点在抛物线＝2px的准线上，求p的值．【例6】已知过定点M(4，0)作直线l，交抛物线＝4x于A，B两点，F是抛物线的焦点，求△AFB面积的最小值．【变式训练6】O为坐标原点，F为抛物线C：＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为()A．2B．2C．2D．4高考链接高考链接1．(四川省2015年)抛物线＝4x的准线为()A．x＝2B．x＝－2C．x＝1D．x＝－12．(四川省2017年)抛物线＝4x的焦点坐标()A．(1，0)B．(2，0)C．(0，1)D．(0，2)3．(四川省2018年)抛物线＝－4x的准线方程为________．同步精练同步精练选择题1．以点(1，－1)为中点的抛物线＝8x的弦所在的直线方程为()A．x－4y－3＝0B．x＋4y＋3＝0C．4x＋y－3＝0D．4x＋y＋3＝02．一抛物线型拱桥，当水面宽2m时，水面离拱顶3m，当水面宽4m时，水面()A．上升1mB．下降1mC．上升2mD．上升3m3．过抛物线＝4x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于()A．10B．8C．6D．44．已知点A(6，y)在抛物线＝mx上，点A到焦点的距离为8，则焦点F到准线的距离为()A．2B．4C．6D．8填空题5．以抛物线＝4x的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线方程是_______．6．以双曲线的右焦点为焦点的抛物线标准方程为________．7．已知抛物线＝4x上的点M到其焦点F的距离为4，则点M的横坐标是_______解答题8．已知抛物线的标准方程是＝6x.(1)求它的焦点坐标和准线方程；(2)直线l过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°，且与抛物线的交点为A，B，求AB的长度．9.设斜率为2的直线l过抛物线＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OFA(O为坐标原点)的面积为4，求抛物线的标准方程．10．根据下列条件，求抛物线的标准方程．(1)顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离为6；(2)顶点在原点，对称轴是y轴，并经过P(－6，－3)．11.已知抛物线的顶点在原点，焦点为椭圆的左焦点，过M(－1，1)引抛物线的弦，使M为弦的中点．求：(1)弦所在的直线方程；(2)弦长．12．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离为5，求抛物线的方程和m的值．专题三十八抛物线思维导图知识要点知识要点1．抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．(2)其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程

=2px

(p>0)

=-2px

(p>0)

=2py

(p

>0)=-2py

(p

>0)p的几何意义:

焦点F

到准线l的距离图形顶点O(0，0)

对称轴y＝0

x＝0焦点F(,0)F(,0)F(0,)F(,0)离心率e＝1

准线方程x＝

x＝y＝

y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径|PF|＝x0＋|PF|＝－x0|PF|＝y0＋|PF|＝－y0＋

典例解析典例解析【例1】若抛物线＝2px(p>0)上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为(C)A．＝4x B．＝6x C．＝8x D．＝10x【思路点拨】∵抛物线＝2px(p>0)上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，∴＋2＝4，解得p＝4，∴抛物线的标准方程为＝8x.【变式训练1】抛物线＝4y的焦点到准线的距离为(C)A.B．1C．2D．4【提示】抛物线＝4y中2p＝4，∴＝1，焦点为(0，1)，准线为y＝－1，焦点到准线的距离为2.【例2】点M(5，3)到抛物线y＝a的准线的距离为6，那么抛物线的方程是(D)y＝12B．y＝12或y＝－36x2C．y＝－36D．y＝或y＝－【思路点拨】将抛物线方程化为＝y，∴准线方程为y＝－，点M到准线的距离即为＝6，解得a＝或－，可得y＝或y＝－.【变式训练2】准线方程为x＝2的抛物线的标准方程为__y2＝－8x______．【提示】由条件可设抛物线的方程为＝－2px，∵准线方程为x＝2，∴＝2，∴p＝4，∴＝－8x.【例3】抛物线＝y的准线方程是(D)A．x＝－1B．y＝－1C．x＝D．y＝【思路点拨】抛物线＝y的焦点坐标为F∴其准线方程是y＝－【变式训练3】抛物线＝6x的焦点到准线的距离为(C)A．1B．2C．3D．4【提示】由题意得，根据抛物线的方程可知p＝3，∴抛物线的焦点到准线的距离为p＝3.【例4】已知抛物线的顶点是双曲线16－9＝144的中心，而焦点是双曲线的顶点，求抛物线的方程．答案：解：双曲线16－9＝144，化为标准方程∴双曲线的顶点为(±3，0)．∵抛物线的顶点是双曲线16－9＝144的中心，焦点是双曲线的顶点，∴抛物线的顶点为(0，0)，焦点为(±3，0)．当抛物线的焦点为(－3，0)时，则p＝6，∴抛物线的方程为＝－12x；当抛物线的焦点为(3，0)时，则p＝6，∴抛物线的方程为＝12x.【变式训练4】抛物线的顶点在原点，它的焦点与椭圆(a>b>0)的一个焦点重合，若抛物线与椭圆的一个交点是M，求抛物线与椭圆的标准方程．解：由题意可设抛物线方程为＝2px(p>0)，∵点M在抛物线上，∴＝2p×，∴p＝2，∴抛物线的标准方程为y2∴抛物线的焦点为F(1，0)，从而椭圆的一个焦点为F(1，0)，∴c＝1，∴椭圆方程为∵点M在椭圆上，∴解得a2＝4或a2＝∴椭圆的标准方程为【例5】抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，并且它的准线过等轴双曲线的一个焦点，已知抛物线过点，求抛物线和双曲线的标准方程．答案：解：由题可知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p＝2c.设抛物线方程为＝4c·x，∵抛物线过点，∴6＝4c·，∴c＝1，故抛物线方程为＝4x.又双曲线－＝λ的一个焦点为(1，0)，∴双曲线的标准方程为【思路点拨】由题意知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，可得p＝2c.设抛物线方程为＝4c·x，利用抛物线过点，求出c，即可求出抛物线和双曲线的标准方程．【变式训练5】已知双曲线的左焦点在抛物线＝2px的准线上，求p的值．解：双曲线的左焦点坐标为，抛物线的准线方程为x＝，∴，∴p2＝16，又p＞0，∴p＝4.【例6】已知过定点M(4，0)作直线l，交抛物线＝4x于A，B两点，F是抛物线的焦点，求△AFB面积的最小值．答案：解：设直线l的方程为x－4＝my，代入＝4x，得＝4my＋16，即－4my－16＝0，∴y1+y∴△AFB的面积S＝×(4－1)·|y1－y2|＝即当m＝0时，面积最小，最小值为12.【思路点拨】设直线l的方程为x－4＝my，代入＝4x，得－4my－16＝0，则△AFB的面积S＝×(4－1)·|y1－y2|，结合根与系数的关系可得答案．【变式训练6】O为坐标原点，F为抛物线C：＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为(C)A．2B．2C．2D．4【提示】先利用抛物线的焦半径公式求出点的坐标，再结合三角形面积公式求解．设P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋＝4，∴x0＝3，∴＝4x0＝4×3＝24，∴|y0|＝2.∵F(，0)，∴S△POF＝|OF|·|y0|＝××2＝2.高考链接高考链接1．(四川省2015年)抛物线＝4x的准线为(D)A．x＝2B．x＝－2C．x＝1D．x＝－1【提示】由抛物线＝2px的准线方程是x＝可得．2．(四川省2017年)抛物线＝4x的焦点坐标(A)A．(1，0)B．(2，0)C．(0，1)D．(0，2)【提示】由抛物线＝2px的焦点为可得．3．(四川省2018年)抛物线＝－4x的准线方程为_x=1_______．【提示】抛物线＝－4x的焦点是(－1，0)，准线方程是x＝1.同步精练同步精练选择题1．以点(1，－1)为中点的抛物线＝8x的弦所在的直线方程为(C)A．x－4y－3＝0B．x＋4y＋3＝0C．4x＋y－3＝0D．4x＋y＋3＝0【提示】此弦不垂直于x轴，故设以点(1，－1)为中点的抛物线y2＝8x的弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，得到＝8x1，＝8x2，两式相减得到(y1+y2)(2．一抛物线型拱桥，当水面宽2m时，水面离拱顶3m，当水面宽4m时，水面(A)A．上升1mB．下降1mC．上升2mD．上升3m【提示】建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线方程可设为＝－2py(p＞0)，∵当拱顶离水面3m，水面宽2m，∴(，－3)代入抛物线方程可得6＝6p，∴2p＝2，∴抛物线方程为＝－2y.如果水面宽4m，则令x＝2，∴y＝－2，∴水面上升1m.3．过抛物线＝4x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于(B)A．10B．8C．6D．4【提示】由题意知，线段AB的中点到准线的距离为4，设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知，|AB|＝|AF|＋|BF|＝d14．已知点A(6，y)在抛物线＝mx上，点A到焦点的距离为8，则焦点F到准线的距离为(B)A．2B．4C．6D．8【提示】抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以准线为y＝－2，焦点到准线的距离为4.填空题5．以抛物线＝4x的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线方程是_______．【提示】由题可设双曲线的方程为∵抛物线＝4x中2p＝4，∴其焦点为F(1，0)．又双曲线的一个顶点与抛物线＝4x的焦点重合，∴a＝1.又e＝＝2，∴c＝2，b2＝4－1＝3，∴双曲线的方程为6．以双曲线的右焦点为焦点的抛物线标准方程为_＝12x_______．【提示】∵双曲线的右焦点为(3，0)，∴抛物线的焦点为(3，0)，∴抛物线的标准方程为＝12x.7．已知抛物线＝4x上的点M到其焦点F的距离为4，则点M的横坐标是___3____【提示】根据抛物线方程可知其准线方程为x＝－1，则根据抛物线定义可知M到其焦点F的距离为M到x＝－1的距离，即xM＋1＝4，∴x解答题8．已知抛物线的标准方程是＝6x.(1)求它的焦点坐标和准线方程；(2)直线l过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°，且与抛物线的交点为A，B，求AB的长度．解：(1)抛物线的标准方程是＝6x，焦点在x轴上，开口向右，2p＝6，∴∴焦点为F，准线方程为x＝(2)∵直线l过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°，∴直线l的方程为y＝x代入抛物线＝6x化简得－9x＋＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝9，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝9＋3＝12.9.设斜率为2的直线l过抛物线＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OFA(O为坐标原点)的面积为4，求抛物线