2025届新高考数学冲刺突破复习抽样方法与总体分布的估计

2025届新高考数学冲刺突破复习抽样方法与总体分布的估计高考

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抽样方法与总体分布的估计题型1用统计图估计样本的数字特征题型2样本的数字特征及其应用考点抽样方法与总体分布的估计1.简单随机抽样和分层随机抽样的比较类别简单随机抽样分层随机抽样特点从总体中逐个抽取将总体分成互不交叉的层,然后

在各层中按同一比例抽样适用范围总体个数较少总体由差异明显的几部分组成共同点(1)抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等;(2)一般是不放回抽样相互联系分层随机抽样中,各层抽样时采用简单随机抽样2.统计图表(1)常见统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等.(2)画频率分布直方图的步骤①求极差;②决定组数与组距;③将数据分组;④列出频率分布表;⑤画出频率分布直方图.3.样本的数字特征(1)百分位数计算一组n个数据的第p百分位数的步骤①按从小到大的顺序排列原始数据;②计算i=n×p%;③若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据;若i是整数,则第p百

分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.注意中位数是第50百分位数.(2)众数、中位数、平均数数字特征样本数据频率分布直方图众数出现次数最多的数据最高的小长方形下底边中点的

横坐标中位数将数据按从小到大(或从大到小)

的顺序依次排列,处在最中间位

置的一个数据(或中间两个数据

的平均数)把频率分布直方图划分为左右

两个面积相等的部分时,分界线

与x轴交点的横坐标平均数样本数据的算术平均数每个小长方形的面积与小长方

形下底边中点的横坐标乘积之

和(3)方差和标准差方差:s2=

[(x1-

)2+(x2-

)2+…+(xn-

)2]=

(xi-

)2或

-

.标准差:s=

=

注意方差和标准差描述了一组数据与平均数的离散程度,反映了一组数据相对于平均数的

波动情况,标准差和方差越大,说明这组数据的波动性越大.即练即清1.判断正误(对的打“√”,错的打“✕”)(1)简单随机抽样的每个个体被抽到的可能性不一样,与先后有关.

(

)(2)分层随机抽样中,每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.

(

)(3)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势.

(

)(4)一组数据的方差越大,说明这组数据越集中.(

)(5)频率分布直方图中,小矩形的面积越大,表示样本数据落在该区间的频率越大.

(

)2.数据12,14,15,17,19,23,27,30的第70百分位数是

.×××√√23题型1用统计图估计样本的数字特征1.频率分布直方图有以下几个特点:(1)纵轴表示频率/组距;(2)频率分布直方图中各个

小矩形高的比就是相应各组的频率之比;(3)频率分布直方图中各小矩形的面积是相应

各组的频率,所有小矩形的面积之和等于1,即频率之和为1.2.用频率分布直方图估计样本的数字特征(1)平均数:

=

xiSi(xi表示第i个小矩形底边中点的横坐标,Si表示第i个小矩形的面积).(2)方差:s2=

(xi-

)2·Si.(3)众数:最高小矩形底边中点的横坐标.(4)中位数:把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分时,分界线与横轴交点

的横坐标.(5)百分位数:类比中位数,百分位数所在直线把频率分布直方图划分为左右两个部分,

左边所有矩形的面积和为p%.中位数是第50百分位数.求解公式:已知频率分布直方图的组距为d.①找出百分位数所在的矩形区间[a,b);②第p百分位数=a+d·

.例1某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在11月11日的网购金额,所得数据如

下表:网购金额合计(单位:千元)人数频率(0,1]160.08(1,2]240.12(2,3]xp(3,4]yq(4,5]160.08(5,6]140.07合计2001.00已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3∶2.(1)试确定x,y,p,q的值,并补全频率分布直方图(如图);(2)估计网购金额的中位数.

解析

(1)根据频率分布表和题意建立方程组

解得

所以p=0.4,q=0.25,补全频率分布直方图如图所示.

(2)由(1)可知,网购金额不高于2千元的频率为0.08+0.12=0.2,不高于3千元的频率为0.08

+0.12+0.4=0.6,所以网购金额的中位数在(2,3]内,故网购金额的中位数约为3-

=2.75千元.即练即清1.(2018课标Ⅰ文,19,12分)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.7)频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)频数151310165(1)作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图;

(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35m3的概率;(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水.(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)解析(1)如图.

(4分)(2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48,因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48.

(8分)(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为

=

×(0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5)=0.48.

(10分)该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为

=

×(0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+0.55×5)=0.35.估计使用节水龙头后,一年可节省水(0.48-0.35)×365=47.45(m3).

(12分)题型2样本的数字特征及其应用1.平均数反映了数据取值的平均水平,而方差、标准差描述了一组数据围绕平均数波

动的大小,标准差、方差越大,数据离散程度越大,越不稳定;标准差、方差越小,数据的

离散程度越小,越稳定.2.用样本估计总体,就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征.例2

(2021全国乙文,17,12分)某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生

产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各

件产品该项指标数据如下:旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为

和

,样本方差分别记为

和

.(1)求

,

,

,

;(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高

如果

-

≥2

,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高

.

解析

(1)根据表格中的数据,利用平均数和方差的计算公式求得:

=

+10.0=10.0,

=

+10.0=10.3,(求一些比较大的数的平均数时,可以采用本题求平均数的方法,既降低错误率,也能提

高做题速度)

=

[(9.8-10.0)2+(10.3-10.0)2+(10.0-10.0)2+(10.2-10.0)2+(9.9-10.0)2+(9.8-10.0)2+(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+(10.2-10.0)2+(9.7-10.0)2]=0.036.

=

[(10.1-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.0-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+(10.6-10.3)2+(10.5-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.5-10.3)2]=0.04.(2)∵

-

=10.3-10=0.3=

=

,2

=2

=2×

=

,且

=

>

,∴

-

≥2

成立,∴认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.即练即清2.(多选)(2023山东淄博一模,9)某学校为普及安全知识,对