四川省泸州市龙马潭区2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题【含答案】

2024年春期高2022级高二期末考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.第I卷（选择题58分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若直线过点，，则此直线的倾斜角为A． B． C． D．2．已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（

）A． B． C． D．3．记为等差数列的前项和，若，则（

）A．20 B．16 C．14 D．124．已知双曲线C经过点，离心率为，则C的标准方程为（

）A． B． C． D．5．将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为（

）A．3 B．6 C．10 D．156．衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（

）A． B． C． D．7．已知点M，N是抛物线：和动圆C：的两个公共点，点F是的焦点，当MN是圆C的直径时，直线MN的斜率为2，则当变化时，的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．68．已知，且，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．二、多项选择题（每小题6分，共3小题，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9．已知的展开式中，各项的二项式系数之和为128，则（

）A． B．只有第4项的二项式系数最大C．各项系数之和为1 D．的系数为56010．下列说法中正确的是（

）附：独立性检验中几个常用的概率值与相应的临界值0.10.050.012.7063.8416.635A．已知离散型随机变量，则B．一组数据148，149，154，155，155，156，157，158，159，161的第75百分位数为158C．若，则事件与相互独立D．根据分类变量与的观测数据，计算得到，依据的独立性检验可得：变量与独立，这个结论错误的概率不超过0.0511．将两个各棱长均为1的正三棱锥和的底面重合，得到如图所示的六面体，则（

）A．该几何体的表面积为B．该几何体的体积为C．过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直D．直线平面第二卷非选择题（92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案直接填在答题卡中的横线上.）12．数列满足且，则数列的通项公式是．13．过点与曲线相切的直线方程为．14．已知、为椭圆的左、右焦点，点为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．近几年，随着生活水平的提高，人们对水果的需求量也随之增加，我市精品水果店大街小巷遍地开花，其中中华猕猴桃的口感甜酸、可口，风味较好，广受消费者的喜爱.在某水果店，某种猕猴桃整盒出售，每盒20个.已知各盒含0，1个烂果的概率分别为0.8，0.2.(1)顾客甲任取一盒，随机检查其中4个猕猴桃，若当中没有烂果，则买下这盒猕猴桃，否则不会购买此种猕猴桃.求甲购买一盒猕猴桃的概率；(2)顾客乙第1周网购了一盒这种猕猴桃，若当中没有烂果，则下一周继续网购一盒；若当中有烂果，则隔一周再网购一盒；以此类推，求乙第5周网购一盒猕猴桃的概率16．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．（1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?17．已知数列的通项公式为，在与中插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为，(1)求的通项公式及；(2)设，为数列的前项和，求.18．已知函数.(1)当时，求曲线的单调减区间；(2)若有两个极值点，且，，若不等式恒成立，求实数的取值范围.19．已知椭圆的离心率为，左、右两个顶点分别为A，B，直线与直线的交点为D，且△ABD的面积为.(1)求C的方程；(2)设过C的右焦点F的直线，的斜率分别为，，且，直线交C于M，N两点，交C于G，H两点，线段MN，GH的中点分别为R，S，直线RS与C交于P，Q两点，记△PQA与△PQB的面积分别为，，证明：为定值.

1．C【解析】利用斜率的计算公式即可得出倾斜角．【详解】解：已知直线过点，，设直线的倾斜角为，则，又，，．故选：C．【点睛】本题考查直线的倾斜角，掌握斜率的计算公式是解题的关键．2．A【分析】配方后化为标准方程即可得.【详解】由已知圆的标准方程为，圆心是，半径是．故选：A．3．D【分析】由等差数列的性质求得，然后依次求得，公差，最后求得．【详解】∵是等差数列，∴，，所以，∴公差，∴，∴，故选：D．4．C【分析】先根据题意得出双曲线的焦点在轴上，设出双曲线的标准方程；再根据双曲线C经过点及离心率公式即可求解.【详解】因为双曲线C经过点，所以双曲线的焦点在轴上，设双曲线的方程为.因为双曲线经过点，所以，解得．又因为，所以，则，所以双曲线的标准方程为．故选：C.5．B【分析】对每个盒子放入2个球，再看余下2个球的去向即可得解.【详解】依题意，每个盒子放入2个球，余下2个球可以放入一个盒子有种方法，放入两个盒子有种方法，所以不同放法的种数为.故选：B6．D【分析】记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B，求出，，根据条件概率公式求解即可．【详解】从四双不同颜色的袜子中随机选4只，记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B，事件A包含两种情况：“取出的袜子恰好有两只是同一双”，“取出的袜子恰好四只是两双”，则，又，则，即随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为．故选：D．7．B【分析】直线的方程为，联立直线与抛物线的方程得到，结合是MN的中点，可得，由抛物线的定义可将转化为，当三点在一条直线时，可求得的最小值.【详解】圆C：的圆心，当MN是圆C的直径时，直线MN的斜率为2，设直线的方程为，化简为：，，消去可得：，设，，所以，因为是MN的中点，所以，解得：，故，，由抛物线的定义可知，过点作交于点，过点作交于点，所以，所以，当三点在一条直线时取等.故选：B.

8．D【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再比较自变量的大小关系，最后利用函数单调性得到函数值的大小关系.【详解】因函数的定义域为R，且，所以函数为偶函数；当时，因单调递增，而在定义域内也为增，故由同增异减原则，也为增，也为增，又因在上为增函数，故在上为增函数.又因，由，因，故，由在上为增函数可得:，即.故选：D.9．AD【分析】根据二项式系数之和为运算求解，进而判断A；根据二项式系数的性质分析判断B；令，求各项系数之和，进而判断C；对于D：结合二项式系数的通项分析判断.【详解】对于A：由题意可知：各项的二项式系数之和为，解得，故A正确；可得，对于B：因为，则第4项和第5项的二项式系数最大，故B错误；对于C：令，可得各项系数之和为，故C错误；对于D：因为二项展开式的通项为，令，解得，所以的系数为，故D正确；故选：AD.10．BC【分析】A选项，根据二项分布的方差公式和方差的性质进行计算；B选项，根据百分位数的定义进行计算；C选项，根据对立事件的概率和事件独立的条件进行判断；D选项，根据独立性检验的标准进行判断.【详解】对于A：根据二项分布的方差公式，可得，∴，∴A错误；对于B：，根据百分位数的定义，这组数据的第75百分位数为第8个数158，∴B正确；对于C：∵，∴，∴，根据事件独立性的定义可知，事件与相互独立，∴C正确；对于D：根据的值以及常用的概率值与相应临界值可知，依据的独立性检验，可得变量与相互独立，即认为变量与不相互独立，犯错误的概率大于0.05小于0.1，∴D错误．故选：BC11．AC【分析】对于A，首先求得其中一个正三角形的面积，进一步即可验算；对于B，首先求得，进一步即可验算；对于C，证明面面即可判断；对于D，建立适当的空间直角坐标系，验算平面法向量与直线方向向量是否垂直即可.【详解】对于A，，所以表面积为，故A对；对于B，如图所示：设点在平面内的投影为，为的中点，则由对称性可知为三角形的重心，所以，又因为，所以正三棱锥的高为，所以题图所示几何体的体积为，故B错；对于C，由B选项可知面，由对称性可知三点共线，所以面，而面，所以面面，故C正确；对于D，建立如图所示的空间直角坐标系：其中轴平行，因为，所以，设平面的法向量为，所以，不妨取，解得，所以取，又，而，所以直线与平面不平行，故D错.故选：AC.12．【分析】根据题意构造等比数列，进而求出通项公式即可.【详解】设，则，又因为，所以，则，所以，因为，所以，所以为常数，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以.故答案为：13．【分析】由导数的几何意义得出切线方程，进而由切点的位置得出，从而得出切线方程.【详解】设切点坐标为，，.则切线方程为，因为在切线上，所以，即又，所以，令，，当时，，所以在上单调递增，所以方程只有唯一解为.即切点坐标为，故所求切线方程为，即.故答案为：14．##【分析】根据椭圆定义并利用余弦定理可得，再根据正弦定理可知外接圆半径，由等面积法可知内切圆半径，再根据面积比即可计算出离心率.【详解】根据题意画出图象如下图所示：

利用椭圆定义可知，且；又，利用余弦定理可知：，化简可得；所以的面积为；设的外接圆半径为，内切圆半径为；由正弦定理可得，可得；易知的周长为，利用等面积法可知，解得；又的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，即，所以，即可得，所以；离心率.故答案为：.【点睛】方法点睛：求解椭圆焦点三角形外接圆与内切圆半径问题，通常利用正弦定理计算外接圆半径，由等面积法公式可计算出内切圆半径，即可实现问题求解.15．(1)(2)【分析】（1）根据题意利用独立事件的概率乘法公式结合对立事件运算求解；（2）根据题意列举所以可能性情况，利用独立事件的概率乘法公式运算求解.【详解】（1）由题意可得：甲不购买一盒猕猴桃情况为该盒有1个烂果且随机检查其中4个时抽到这个烂果，甲购买一盒猕猴桃的概率.（2）用“√”表示购买，“╳”表示不购买，乙第5周购买有如下可能：第1周第2周第3周第4周第5周√√√√√√╳√√√√√╳√√√╳√╳√√√√╳√故乙第5周网购一盒猕猴桃的概率.16．（1）证明见解析；（2）【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直；（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案；【详解】（1）[方法一]：几何法因为，所以．又因为，，所以平面．又因为，构造正方体，如图所示，过E作的平行线分别与交于其中点，连接，因为E，F分别为和的中点，所以是BC的中点，易证，则．又因为，所以．又因为，所以平面．又因为平面，所以．[方法二]【最优解】：向量法因为三棱柱是直三棱柱，底面，，，，又，平面．所以两两垂直．以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．，．由题设（）．因为，所以，所以．[方法三]：因为，，所以，故，，所以，所以．（2）[方法一]【最优解】：向量法设平面的法向量为，因为，所以，即．令，则因为平面的法向量为，设平面与平面的二面角的平面角为，则．当时，取最小值为，此时取最大值为．所以，此时．[方法二]：几何法如图所示，延长交的延长线于点S，联结交于点T，则平面平面．作，垂足为H，因为平面，联结，则为平面与平面所成二面角的平面角．设，过作交于点G．由得．又，即，所以．又，即，所以．所以．则，所以，当时，．[方法三]：投影法如图，联结，在平面的投影为，记面与面所成的二面角的平面角为，则．设，在中，．在中，，过D作的平行线交于点Q．在中，．在中，由余弦定理得，，，，，当，即，面与面所成的二面角的正弦值最小，最小值为．【整体点评】第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量积的定义运算进行证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学生的思维.第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方法，也是最优方法；方法二：利用空间线面关系找到，面与面所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面在面上的投影三角形的面积与面积之比即为面与面所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，开阔学生的思维．17．(1)，(2)【分析】（1）根据等差数列的定义求等差数列的公差，再用裂项求和法求.（2）利用错位相减法求数列的前项和.【详解】（1）因为在，之间插入项，使这个数成公差为的等差数列，所以，所以.（2）易