八年级数学第四章 二次根式复习与小结湘教版知识精讲

初二数学第四章二次根式复习与小结湘教版

【本讲教育信息】

教学内容：

第四章二次根式复习与小结

二.教学目标：

1.了解二次根式有意义的条件，发展学生的符号感。

2.经历探索掌握积的算术平方根性质及商的算术平方根的性质，并会用性质来化简。

3.掌握二次根式的乘法、除法法则，并会进行二次根式的乘除运算。

4.会进行二次根式的加、减运算。

5.会把实数运算律及乘法公式应用于二次根式的混合运算中。

三.教学重点和难点：

重点：二次根式意义及二次根式的运算。

难点：二次根式的化简及运用乘法公式和实数运算律进行二次根式运算。

四.本章知识要点归纳：

1,二次根式的定义：

形如右伍20)的式子叫二次根式，其中a叫作被开方数，是一个非负数时，

正才有意义

2.二次根式的性质：

①(而2=批在。)

a{a>0)

②=|a|=<0(a=0)

-a(a<0)

@4ab=4a-4b{a>0,/?>0)

④讲亲”2

3.二次根式的运算

①二次根式的乘法：4a,y/h=y[ah(a>0,>0)

y/a

②二次根式的除法：j-(a>0,b>0)

4b

③二次根式的加减：

需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相

加减，被开方数不变。

④二次根式的混合运算：

先乘方（或开方），再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；

能利用运算律或乘法公式进行的，可适当改变运算顺序进行简便运算。

⑤有理化因式：

一般常见的互为有理化因式有如下几类：

1）八与8

2）Va+VF与〃'-4b

3）a+&与a-4b

+n4b^m4a-n-Jb

利用有理化因式的特点可以将分母有理化。

五.方法规律指点：

①如果后是二次根式，则一定有a20

当a20时，必有后20

②当aN0时，右表示a的算术平方根，因此有（右）2=a,反过来，也可将

一个非负数。写成（布产的形式

③行表示az的算术平方根，因此有行=同，。可以是任意实数

④区别（A）?=a和〃=|a|的不同：

叱中的。可以取任意实数，（右y中的a只能是一个非负数，否则后无意

义。

⑤简化二次根式的被开方数，主要有两个途径：

1）因式的内移

因式内移时，若m<0,则将负号留在根号外。

ERmVx=­4trFx

2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论。即：

⑥二次根式的比较：

1）若a>b>0,则有而>扬

2）若>&,则有a>/?

一般情况下，将根号外的因式都移到根号里面去后再进行比较。

【典型例题】

［第一部分：基础知识题］

例1.在实数范围内分解因式：5X3-15X

解：5x'—15x

=5x(x2-3)

=5M%2-(百产］

=5x(x+V3)(x-V3)

例2.已知-y|+Jy_z+(z_2/=0,求/+yz

分析：:Ix—yl、J7E、(Z-2)2均为非负数

即|x-y|NO,y]y-z>0,(z-2)2>0

根据非负数的和为零，则每一个非负数必为0。

解：'：\x-y\>0,(Z-2-NO

又V|x-y\+y]y-z+(z-2)2=0

y|=O且Jy-z=0且(z—2)2=0

x-y=0x=2

即<y-z=0/.<y=2

z—2=0z=2

Ax2+yz=22+2X2=8

例3.X为何值时，式子丹2在实数范围内有意义?

J3—x

解：由二次根式的被开方数为非负数及分式分母不能为零的性质得:

x+5>0

3-x>0

解之得：-5Wx<3

当-5Wx<3时，*±2有意义

V3-x

4334

J(

+『0<*<.

x-2xy+y

分析：化简被开方数比较复杂的二次根式时，先对分子、分母因式分解，能约分的就约

分，能开方的就开方，或先对被开方数进行通分，然后再通过分母有理化进行化简。

解：*.*0<x<y,.".X—y<0

.龙一y1/y3+/产

y\x2-2xy+y2

_X-y13y3Q+y)

yV(x-y)2

二£^2.J^L^/xy^+y)

y\x-y\

x-y

y

--Xyjx2y+xy2

例5.计算：(-一(J^一

分析：此题符合平方差公式的特点，因此利用平方差公式分解因式可简化运算。

解：原式=[(后+6-灰)+(而6+倔]

X[(V2+V3-A/6)-(V2-73+V6)]

=2A/2X2(V3-V6)

=4V6-4A/2XV6

=4A/6-8V3

[第二部分：技能技巧题]

方法技巧一：巧拆项法

化筒1++V5+y[3+4+Vs

例6.

0(1+V2)(V2+V3)(V3+2)(2+V5)

分析：此题如果按常规的方法来解显然很麻烦，观察题目特点，将分子适当组合，然后

约分，再将分母有理化，即可迅速化简。

(1+后)+(五+V5)।(6+2)+(2+逐)

解:原式=

(1+V2)(V2+V3)(73+2)(2+75)

111

-V2+V3+l+V2+2+V5+V3+2

=(V3-V2)+(V2-l)+(V5-2)+(2-V3)

=V5-1

方法技巧二：逆用运算法则法：

例7.化简J3+石-)3-右

分析：•.,"3+石-，3-6>0

可利用a=ga>0)进行化简

解：原式=J(历石-J3Ml

=:+―-2/(3+行)(3-6)+3-6

=J6—4=V2

方法技巧三：取倒数法

(6+扬(6+1)

例8.化简:

V5+2V3+1

分析：此题如果按常规的方法分母有理化，则会使解题陷入麻烦，考虑取其倒数，再利

用例6的巧拆项法可使运算简便。

(6+几)(6+1)

解：设A=

石+26+1

则_L=石+26+1

4(75+73)(73+1)

(6+6)+(6+1)

(V5+V3)(V3+1)

1]

V3+1V5+V3

V3-1V5-V3

-----+-------

22

V5-1

2

2V5+1

V5-1-2

A/5+1

，原式

2

［第三部分：规律探索题］

例9.⑴比较大小：与亚-1;4-追与6-五；石-V?与V?-当

(2)由(1)中比较的结果猜想。

(3)对(2)中的猜想给出证明。

分析：二次根式比较大小的方法较多，习惯上我们为比较两个二次根式的大小，一般将

分母变为有理数，把分母化成一样，然后通过比较它们分子的大小来判定二次根式的大小。

而本题反其道而行之，将分子变成一样；通过比较分母的大小来判定其大小，另外，本

题设置的层层递进的3问，正好反映了人们认识事物的规律。

11

解：(1)V(V3-V2)-(V2-1)

V3+72V2+1

又〒——尸<—j=—

V3+V2V2+1

"V3+V2V2+1

即巧-也<也-1

同理A/4—V3<V3-"•H

75-74<V4-V3

(2)猜想+1-G<G7n-1

(3)证明:

(J〃+1-痴)(J〃+1+Vn)

1-Vn=

1+y/n

1

+1+-Jn

同理：y[n--Jn-l=—j=~---

V〃+J〃-1

又1+Vn>4n+Vn-1

1<1

+1+VnVn+Nn-1

・，・dn+T-4n<Vn-J〃一1

【模拟试题】

(一)填空题：

(1)若移v0,化简Jx2y=

191

(2)已知XH——3,则XH—w=

XX

(3)若34x45,贝ij|x—7|+)9—6工+工2=

(4)已知实数a、b在数轴上对应点的位置如下图所示，化简已一)3-〃)2=

a0b

(5)若/匚£+乌一在实数范围内有意义，则a的取值范围是()

3a+1

(6)把而(加>1)根号外面的因式移入根号内得

(7)在实数范围内分解因式——2/+1=

(8)比较大小：-372-26

V14-V13V13-V12

(9)已知aABC的三边分别是a、b、c,则

■yj—h—c)~—\h-ci+d=

(10)如果a>Z?>0,则｛x[xj|xj|=

(-)选择题：

(1)口7化简的结果为

A.—ci>IciB.aj-aC.-ad-aD.ci^~u

(2)若。=——，b—V3—2,即么a、b的关系是()

V3+2

A.a=hB.a+b=0C.cih=\D.ah=-\

(3)已知个<0,化简二次根式的正确结果为()

A.4y

（4）代数式J/-1+Jl-d的值等于（)

A.非正数B.负数C.0D.正数

111

(5)若x----------------------------1--------------则x的取值范围是（）

3-VsVs-A/7V7—y/bA/6—A/5

A.x=1B.0<x<1C.I<x<2D.x>2

(6)如果Jx(x-6)=Vx•y/x-6成立,贝U()

A.x>6B.0<x<6C.x>0D.x为任意实数

y为实数，且y=；+J12x—1+J1—12x,则土=

（7）已知X、()

y

1

AB.-C.4D.12

z3

。为实数，且（a+2）2+/一；=0,那么夕的值是（

(8)若〃、)

a

11

A.4B.-C.——D.-4

44

2

(9)已知7（2X-1）=1一2x,那么x的取值范围是（)

1I11

A.x>一B.x>-C.x<—D.x<-

2222

（10）已知x=则Y-10%+1的值等于（)

A.10V6B.0C.-30V6D.-18V6

（三）已知x=逐+1,求x+x+1

的值。

2X3

(四)已知：a2+b2-4a-2b+5=0

—y/b)2+4y[ab

求的值。

a+4ab

(五)求V6—y/35+6+yf35的值。

353

（六）在AABC中，三边分别为a、b、c且满足a+〃+c="2+,2=5,试

2

探求4ABC的形状。

(七)解方程：4+Jy-1+Jz-2=g(x+y+z)

【试题答案】

(一)(1)-Xy[y(2)7(3)4

(4)a(5)a<1且QW—

3

(6)1)2(7)(X+1)2(X-I)?

(8)<,<(9)0(10)1

(-)

(1)C(2)B(3)B(4)C(5)B

(6)A(7)A(8)C(9)D(10)B

（三）

解：尤,A2x=V5+1

2

：.2x-l=亚,：.(2x-1)2=(75)2

••x~=x+1

1sfX，+犷x~(x+1)x"A/5+1

••原式=----;--=-----;---=—r=X=------