2023年新教材高考数学仿真模拟冲刺卷一含解析

仿真模拟冲刺卷（一）

本试卷满分150分，考试用时120分钟.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合4={/|1〈水5},8={xWN-1<XW3},则4C8=（）

A.（1,3]B.（-1,-5）C.{2,3}D.{1,2,3}

2.已知复数z=，|（i为虚数单位），其共辄复数为则胃的虚部为（）

33

A.

3.已知a>0且aW。则“a>2”是“log“2<l”的（）

A.充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

4.已知@=1队同，b=e°',c=logs、后，d=ln0.2（其中e为自然对数的底数），则下列

不等式正确的是（）

A.o<c<a<Z>B.cKa<b<c

C.c<d<.a<m.­b

5.2021年7月20日，极端强降雨席卷河南，部分地区发生严重洪涝灾害，河北在第

一时间调集4支抗洪抢险专业队、96辆执勤车、31艘舟艇及4000余件救灾器材，于7月

21日4时23分出发支援河南抗洪抢险.若这4支抗洪抢险专业队分别记为4B,C,D,从

这4支专业队中随机选取2支专业队分别到离出发地比较近的甲、乙2个发生洪涝的灾区，

则/去甲灾区8不去乙灾区的概率为（）

2

3

6.己知sin2a=—则sin（。+7）=（）

13J55

A,讲・萨8D,8

7.已知抛物线/=2px（p>0）的焦点为£点〃（检2班）为抛物线上一点，以材为圆心的

圆经过原点。，且与抛物线的准线相切，切点为H,线段防交抛物线于点B,则一L=（）

BF\

8.“迪拜世博会”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜举行，中国馆建筑

名为“华夏之光”，外观取型中国传统灯笼，寓意希望和光明.它的形状可视为内外两个同

轴圆柱，某爱好者制作了一个中国馆的实心模型，已知模型内层底面直径为12cm,外层底

面直径为16cm,且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为20cm的球面上.此模型的体积为

()

A.304Jicm'B.840ncm'C.912ncm'D.984Jtcm'

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.下列说法中，正确的命题是()

A.已知随机变量才服从正态分布M2,d),久/4)=0.8,则尸(2<*4)=0.2

B.线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱

C.已知两个变量具有线性相关关系，其回归方程为丫=&+1?］，若b=2,x=1,y=3,

则a=l

D.若样本数据2%+1,2及+1,…，2为()+1的方差为8,则数据为，X2,―,小。的方差

为2

x2/

10.已知双曲线强———==1()

2+niffl+1

A.niG(-2,—1)

B.若伊的顶点坐标为(0,土隹)，则加=-3

C.”的焦点坐标为(土1,0)

D.若加=0,则”的渐近线方程为x±*y=0

11.已知函数F(x)=sinxcosx+#sin2x-平，则下列结论中错误的是()

A.点(等，0)是/Xx)的一个对称中心点

B.f(x)的图象是由尸sin2x的图象向右平移2个单位长度得到

~JI2冗-

C.f(x)在于，—上单调递增

A

D.X\,尼是方程F(X)—于=0的两个解，贝lj|汨一X2|min="n^~

乙ij

qinJ[v

12.已知函数己")='、，1,则下列结论正确的有()

A.函数f(x)是周期函数

B.函数f(x)的图象关于直线对称

C.函数>力在(1,2)上先减后增

D.函数f(x)既有最大值又有最小值

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.

13.已知等差数列｛&｝的前刀项和为S”若/+4+a+全=20,则S=______..

14.(1-2x)"l+2x)”的展开式中含f的项的系数为.

15.若函数F(x)=1，则*2022)=

[~fx-2,x>l—

16.已知正四面体4腼内接于半径为平的球。中，在平面腼内有一动点只且满

足力々4啦，则|明的最小值是一；直线"与直线比'所成角的取值范围为一.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分10分)

在△椒7中，角A,B,。所对的边分别为a,b,c,已知/J=C,sinC=^sinB,.

@sin(7—cosJsinj?='^sin/l②加;s'=sinb®a'+c—b~=y13ac

从以上三个条件中选择一个条件补充在题干中，完成下列问题.

⑴求8；

(2)求△4％'的面积.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.(本小题满分12分)

已知数列｛&｝的前〃项和为且S+i—2S,=S—2s-i(〃22),&=2,选=4.

(1)求数列｛a,,｝的通项公式；

⑵求数列((2/7-1)•aj的前n项和T,,.

19.(本小题满分12分)

如图，在多面体力的43G中，44ByB,GC垂直于底面且满足44B由GC=

421,AB=BxB=BC=\,4c=4小.

(1)求证：阳，4G；

(2)求二面角B-ABrG的余弦值.

20.(本小题满分12分)

2021年7月18日第30届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆重举行.为做好

本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经

统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照学0,50),[50,60),[60,70),

[70,80),[80,90),[90,100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中位的值，并估计这50名学生成绩的中位数；

(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70,80),[80,90),[90,100]的三组中

抽取了11人，再从这H人中随机抽取3人，记f为3人中成绩在[80,90)的人数，求f

的分布列和数学期望；

(3)转化为百分制后，规定成绩在[90,100]的为4等级，成绩在[70,90)的为8等级，其

它为C等级.以样本估计总体，用频率代替概率，从所有参加生物竞赛的同学中随机抽取

100人，其中获得6等级的人数设为Q,记6等级的人数为k的概率为户(〃=4)，写出以“

=公的表达式，并求出当力为何值时，最大？

21.（本小题满分12分）

22

已知椭圆G当+£=1（a＞力0）上的点到焦点的最大距离为3,最小距离为1,

ab

（1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆C右焦点内，作直线/与椭圆交于4,6两点（46不为长轴顶点），过点4

6分别作直线x=4的垂线，垂足依次为笈F,且直线力汽，跳■相交于点G

①证明：G为定点；

②求△48C面积的最大值.

22.(本小题满分12分)

己知函数f(x)=上》+a

X

(1)若f(x)有两个零点，求a的取值范围；

(2)设g(x)=f(x)+:若对任意的xW(O,+8),都有g(x)We'恒成立，求a的取值

范围.

1.答案：C

解析：因为8={xGN|-l<xW3}={0,1,2,3},且4={x|l〈水5},所以4r18={2,3}.

2.答案：B

9--；9—i1—1I—Qi1R

解析：由复数的运算法则，可得——Ji,则复数

1,十11十11—1222

_1Q_Q

z的共辗复数为7与+勺，所以7的虚部为宗

3.答案：B

解析：由log.2〈l,可得0<a<l或a>2,当a>2时，可得0<a<l或a>2成立，即充分性

成立；

rt

反之:当0〈水1或a>2时，则a>2不一定成立，即必要性不成立，所以“a>2”是loga2<l

的充分不必要条件.

4.答案：D

解析：因为Qe"%=1,O=lgl〈a=lg^<lg^/T5=；,l=log33>c=log：!"^5>log3-\/3=

d=lnO.2<lnl=0,所以=水c<b.

5.答案：A

解析：从这4支专业队中随机选取2支专业队，分别去甲乙灾区结果有12种，力去甲

2I

灾区4不去乙灾区的结果有2种，所以所求概率—a=日

6.答案：B

1

1—COS1—z

l+sin2a

解析：由二倍角的降幕公式可得sin：

a+TF22~17

3

8-

7.答案：B

解析：根据题意，—+.=寸/+8,又8=2pxo,解得%=1,p=4,则抛物线方程为了

=8x,所以"(1,2m),〃(一2,2娟)，网2,0),

设夙x,y),过点8向抛物线的准线作垂线，垂足为8',根据抛物线的定义可知，BB'\

=|加1，因为/用后=4HF0,

।万i_而_1_1j阴_2m_m

力:游―前~cosZHBB'~cosAHF(T4~4~2'

8.答案：C

解析：如图，该模型内层圆柱底面直径为12cm,且其底面圆周在一个直径为20cm的球

面上，

可知内层圆柱的高加=2、^（^）一（券）=16,

同理，该模型外层圆柱底面直径为16cm,且其底面圆周在一个直径为20cm的球面上，

可知外层圆柱的高=此模型的体积为，=页（?）xi2+n（芋）

2X（16—12）=912n.

9.答案：CD

解析：已知随机变量才服从正态分布M2,/）,尸（*4）=0.8,则?（44）=1-0.8=

0.2,所以尸（右0）=0.2,所以P（0〈*4）=l-2X0.2=0.6,

.♦.P（2〈*4）=等=0.3,故A错误；线性相关系数r的范围在一1到1之间，有正有负，

相关有正相关和负相关，相关系数的绝对值的大小越接近于1,两个变量的线性相关性越强；

反之，线性相关性越弱，故B错误；已知两个变量具有线性相关关系，其经验回归方程为y=

a+bx,若b=2,x=1,y=3,则@=丫-bx=l,故C正确；设数据加，x2,•­•,刘。的方

差为s2,样本数据2万+1,2及+1,…，2为。+1的方差为22s2=88,则s=2,即数据荀，如…，

"io的方差为2,故D正确.

10.答案：BD

X2y2

解析：因为方程H—F=1表示双曲线，所以（2+/〃）（1+血>0,解得0>—1或水

2十0勿十1

-2,A错误；

因为十的顶点坐标为（0,土镜），所以一R—1=（啦）2,解得勿=—3,B正确；

当R>—1时，/=（2+加）+（加+1）=2/zH~3,当成一2时，c=—（2+勿）一（/+1）=—2m

-3,C错误;

当加=0时，双曲线(的标准方程为4=1,则渐近线方程为x±*y=0,D正确.

11.答案：BCD

*=£sin2x+#|1—cos2?近1一亚

解析:f(x)=sirurcosx+^3sin'x2-2Sin2x-2

乙乙2~，

cos2x=sin

JTA-JIji2JI

对于A,令2x-7T=%n(AdZ),解得*=丁+/(衣62),当A=1时，x=—,所以

JZ0J

点(弓~，o)是/Xx)的一个对称中心点,

故A正确;

对于B,y=sin2x的图象向右平移3•个单位长度得到的图象的函数解析式为y=

sin[2^-yj]=sin^-^,所以平移得到的图象不是f(x)的图象，故B错误；

「兀2兀]冗「2兀"I「2兀]

对于C,当可，不一时，2x—―e,而函数尸sinx在一丁，n上单调

L乙J,5oo

-JT2兀-

递减，所以f(x)在一1上单调递减，故C错误；

乙O

,(冗、A/3入，3TJI.、JI23T

对于D,令sin2x--解得2x—­—=—+2An或2x—―=—+2An(AGZ),

即X=T~+An或(4EZ),所以lx—X2|min=《，故D错误.

J乙o

12.答案：BCD

解析：A显然错误；对于B,可验证/g—1=/t+]，故B正确；

对于C,研究f(x)的导函数，对导函数的分子g(x)再次求导可知，g(x)在(1,2)上单调

递增,又以1)<0,g(2)>0,所以/1(又在(1,2)上先减后增,故C正确；

对于D,易知捎为函数的最大值，又函数f(x)关于对称，所以只研究舄的情

况即可,又在(1,2),(3,4),…上f(x)<0,且在(1,2)上|f(x)|最大,所以f(x)在(1,2)上

的极小值即为f(x)的最小值，故D正确.

13.答案：45

解析：由等差数列的性质且a?+a+a6+麴=4备=20,可得a$=5,因此$=9

=9a=45.

14.答案：32

解析：由题意，含f项为按X的升塞排列的第4项，可得禽=点・(-2x)'+c”(-

2x)2•C；•(2x)+Cs•(-2A)•d•(2x)2+d•(2A)\即北=一80、+3201-240。+32£=

32/,所以该项的系数为32,即展开式中含系的项的系数为32.

15.答案：一g

解析：因为x>l时，所以f(x+2)=~f(x),即A%+2)=f(x-2),

故Hx+4)=f(x).

f(2022)=f(505X4+2)=/(2)=一f(0)=-2-'=-1.

16.答案：2乖-2mly,y

解析：设/在面版内的投影为£,故£为三角形时的中心，设正四面体4以力的棱

长为x,球〃的半径为/?.

则跖=|xxX^=^,施=7四-掂=号,依题可得，球心。在/£上，下=加

+(然一心2,代入数据可得入=6,则应'=24，AE=2乖,又仍=六「，PE=^4户―4昼=

2^2,

故户的轨迹为平面腼内以£为圆心，2啦为半径的圆，BE=2小,B,P,£三点共线

时，且一在原之间时，以|的最小值是24一2，1

以£为圆心，缈所在直线为x轴建立如图所示直角坐标系,力(0,0,2对,次2小,0,0),

观一事,3,0),〃(一/，-3,0),设。(2啦(：05%2*sin，，0),，£[0,2”),故谆

(2*cos«,2msinJ,一2乖),的=(一3小,3,0),设直线与直线回所成角为a,

.2二而AP-而BC=.X。+66/sin。=12S1<(〃一彳吟卜「卜51'511」,

11JIJIJT

AcosaG—",5,又aeO,y,故。£可，了.

17.解析：(1)Vsin^=-\/3sin5,由正弦定理得:c=y[3b,又B=c,联立解之得b=木,

c=3.

选条件③，+/—由余弦定理得cosE="士;~半，所以/

v2be26

选条件②A°s"=sin=可得tanQ丝算，所以B=j

cc66

选条件①sin。-cos/lsin为=^^sin4sin｛A+S)—cosAsinB=~^sinAf

乙乙

sinJcos//=^sinJ,所以cos8=平，所以8=看.

JihcA/Q

(2)由(1)夕=区,由正弦定理一^=—>所以sinC=g,

6sinz>sine2

①当0=*；时，力二幸此时△力仇7的面积S=gbc=#^,

②当占空■时，[=[~，此时△力力的面积S=\6csin4=，^,

6bz4

综上，的面积为或斗^.

18.解析：⑴・・F+L2S=SL2s一(422),・・・S+LS=2SL2sl=2(S-Si)SN2),

.♦&+I=2a〃(/?22),又a2=4=2a”

所以数列｛a｝是以2为首项，2为公比的等比数列，故数列｛a｝的通项公式为a=2".

(2)据⑴可得(2〃-1)•&=(2〃-1)•2",所以7；=lX2l+3X22+5X23+-+(2/?-

1)-2",

27；=1X22+3X23+-+(2Z2-3)•2"+(2JJ-1)•2"+1,

22义1—2'1

两式相减得一7；,=2+2X(22+23+-+2")-(2n-l)•2"+'=2+2X------;----------

1—2

(2/3-1)•2"+1,化简得7^=6+(2/2-3)•2"+'.

19.解析：(1)证明：由题意得48=8(7=第=4,4/=8,CG—2,

VA.A,B\B,GC垂直于底面力6C,

J.AxAVAB,BRIM,BB\LBC,CGIAC,

可得加=48=4*,所以点=4原故尻

由a-4,BB、=4,CG=2,BBxVBC,CCdBC,得84=24.

又4c=4而,由OdC,得力G=2",所以｛所

故阳J_64.

又46CAG=8”因此/氏_L平面48G,

因为因Gu平面平笈G,故4兄_1_4G.

(2)如图，以〃1的中点。为坐标原点，分别以射线驱OC为x,y轴的正半轴，

4

过点。作平行于85且向上的射线为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.

由题意知各点坐标如下：

4(0,—2乖，0),8(2,0,0),4(0,—24,8),

8(2,0,4),G(0,24，2),

因此布=(2,2/,0),茄=(0,0,4),

懑=(2,24，4),花=(0,44，2).

In*AB=01x+"\/5y=0

设平面的法向量n=(x,y,z),所以彳，即＜N,则〃

L•丽=014z=0

=(一m，1,0);

a,n

同理可得，平面45K的一个法向量卬=(34，1,一2®COS(227,ri)—

m,n

需生=一坐‘故二面角"心一G的余弦值唔.

20.解析：(1)由题意得：(0.004+0.022+0.030+0.028+®+0.004)X10=1,解得)

=0.012,因为(0.004+0.022)X10=0.26<0.5,(0.004+0.022+0.030)X10=0.56>0.5,

所以中位数在[60,70)内，设中位数为x,则(0.004+0.022)X10+(x-60)X0.03=0.5,

解得x=68,所以这50名学生成绩的中位数为68.

(2)[70,80),[80,90),[90,100]三组数据频率比为0.280.120.04=731,

所以从[70,80),[80,90),[90,100]三组中分别抽取7人,3人，1人，则f可取0,1,2,3,

,(,=0)=处=需…=1)=C«C|28，仆=2)=等$「(『)=*+，

C?i-55Lu55Lu165

则f的分布列如下:

0123

562881

p

T655555165

期望£(门=0乂的+1义,+2'白+3*士=白.

165555516511

(3)6等级的概率为(0.028+0.012)X10=0.4,所以P(Q=公=CwoO.4*0.6吁,,

4=0,1,2,…，100,

fCtooO.4*0.儒’0.4i+10.699T

所以jcfwO.4x0.6'0°T》C球0.4*-l0.6KH-'

rwo!100!

!X0.62X0.4

即，\k\100-Ak+\!99一女!

100!100!

IIX。.43人0.b

u：100-Ak-1!101-Af

解得39.4W4W40.5,所以当4=40时，P(〃=%)有最大值.

a+c=3,

21.解析：(1)设椭圆的半焦距为c,由题意得解得a=2,c=l,所以椭

a—c=lf

圆的方程为。：

(2)①由(1)知内(1,0),当直线/斜率不存在时，直线，方程为x=l,

可得(1，习，(1，—3，(4,力，(4,一3，即有4s应1相交于点60,0)；

当直线/斜率存在且不为零时，设4(%,%),庾及，㈤，则£(4,%)，H4,㈤,

JF=kX—1,

直线,方程为尸在(1),联立1*产可得3/+4火X-1)2=12.

久伏4〃一12

化简得(3+41)/一8/¥+4〃2—12=0,由韦达定理矛1+尼=§+41’小版=,3+4/

而直线/尸：y—必=午二E(X-4),BE：y一必=匕二4(x—4)相交时，联立作差可得

4—汨生—4

1