高中数学不等式练习题（附答案）

高中数学不等式练习题

一.选择题(共16小题)

1.若a>b>0,且ab=l,则下列不等式成立的是()

A.a+—<-^-<log2(a+b))B.-^-<log2(a+b)<a+—

b2a2ab

C.a+—<log2(a+b)D.Iog2(a+b))<a+—<-^-

b2ab2a

2.设x、v、z为正数，且2X=3*=5Z,则()

A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z

x43

3.若x,y满足<x+y>2,则x+2y的最大值为()

y<x

A.1B.3C.5D.9

2x+3y-340

4.设x,y满足约束条件2x-3y+3>0,则z=2x+y的最小值是()

、y+3)0

A.-15B.-9C.1D.9

x-y+340

5.已知x,y满足约束条件,3x+y+5V0,则z=x+2y的最大值是()

、x+3)0

A.0B.2C.5D.6

x+3y<3

6.设x,y满足约束条件,x-y〉l,则z=x+y的最大值为()

ky>0

A.0B.1C.2D.3

3x+2y-640

7.设x,y满足约束条件x>0则2=乂-y的取值范围是()

y>0

A.[-3,0]B.[-3,2]C.[0,2]D.[0,3]

2x+y43

8.已知变量x,y满足约束条件，x+2y>3,则z=x-y的最小值为（）

,x>0

A.-3B.0C.WD.3

2

\-y>0

9.若变量x,y满足约束条件x+y-3<0，则目标函数z=-2x+y的最大值为（）

A.1B.-1C.--D.-3

2

10.若a,bGR,且ab>0,则k+亘的最小值是（）

ab

A.1B.\/2C.2D.2V2

11.已知0<cVl,a>b>l,下列不等式成立的是（）

abcc

A.c>cB.a<bC.a〉1D.Iogac>logbc

a-cb-c

xv

12.已知x>0,y>0,Ig2+lg8=lg2,则工」-的最小值是（）

xoy

A.2B.2<2C.4D.2\<3

13.设a>0,b>2,且a+b=3,则2—1-的最小值是（）

ab-2

A.6B.2"辰.4V2D.3+2V2

14.已知x,yGR,x2+y2+xy=315,贝Ux?+y2-xy的最小值是（）

A.35B.105C.140D.210

22

15.设正实数x,y满足x>L,y>l,不等式整-+Y_；-2m恒成立，则m的

2y-12x-l

最大值为（）

A.2V2B.4V2C.8D.16

16.已知两正数x,y满足x+y=l,则z=（xJ）（y+工）的最小值为（）

Ky

A.33B.25.c.1D.叵

4444

二.解答题（共10小题）

17.已知不等式|2x-31Vx与不等式X?-mx+n<0的解集相同.

(I)求m-n；

(II)若a、b、cG(0,1),且ab+bc+ac=m-n,求a+b+c的最小值.

18.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集为B.

(1)求ACB；

(2)若不等式x2+ax+b<0的解集为ACB,求不等式ax2+x+bV0的解集.

19.解不等式：———22.

X2-8X+L5

20.已知不等式ax2+x+c>0的解集为{x|l<x<3}.

(1)求a,c的值；

(2)若不等式ax2+2x+4c>0的解集为A,不等式3ax+cm<0的解集为B,且A

UB,求实数m的取值范围.

21.(1)已知实数x,y均为正数，求证：G+y)(&建))25；

xy

(2)解关于X的不等式x2-2ax+a?-1V0(aeR).

22.已知a,b,c是全不相等的正实数，求证：b+SZa.+2+SzL4jtkz£>3.

abc

23.设a、b为正实数，且工+1=26.

ab

(1)求a?+b2的最小值；

(2)若(a-b)224(ab))求ab的值.

24.己知x,y£(0,+8),x2+y2=x+y.

(1)求工J的最小值；

xy

(2)是否存在x,y,满足(x+1)(y+1)=5?并说明理由.

25.某车间计划生产甲、乙两种产品，甲种产品每吨消耗A原料6吨、B原料4

吨、C原料4吨，乙种产品每吨消耗A原料3吨、B原料12吨、C原料6吨.已

知每天原料的使用限额为A原料240吨、B原料400吨、C原料240吨.生产甲

种产品每吨可获利900元，生产乙种产品每吨可获利600元，分别用x,y表示

每天生产甲、乙两种产品的吨数

(I)用x,y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

(II)每天分别生甲、乙两种产品各多少吨，才能使得利润最大？并求出此最大

利润.

26.某家公司每月生产两种布料A和B,所有原料是三种不同颜色的羊毛.下表

给出了生产每匹每种布料所需的羊毛量，以及可供使用的每种颜色的羊毛的总量.

羊毛颜色每匹需要/kg供应量/kg

布料A布料B

红331050

绿421200

黄261800

已知生产每匹布料A、B的利润分别为60元、40元.分别用x、y表示每月生产

布料A、B的匹数.

(1)用x、y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

(II)如何安排生产才能使得利润最大？并求出最大的利润.

高中数学不等式练习题

参考答案与试题解析

一.选择题(共16小题)

1.(2017•山东)若a>b>0,且ab=l,则下列不等式成立的是()

A.a+—<-^-<log2(a+b))B.-^-<log2(a+b)<a+—

b2a2ab

C.a+—<log2(a+b)D.Iog2(a+b))<a+—<-^-

b2ab2a

【分析】a>b>0,且ab=l,可取a=2,b=L.代入计算即可得出大小关系.

2

【解答】解：•.•a>b>0,且ab=l,

可取a=2,b=—.

2

则e%,log2(a+b)=]ogc(2号)=1%/Q2),

/.-^-<log2(a+b)<a+—.

2ab

故选:B.

【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计

算能力，属于中档题.

2.(2017•新课标I)设x、v、z为正数，且2X=3J5Z,则()

A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z

【分析】x、y、z为正数，令2x=3v=5z=k>l.lgk>0.可得*=强，丫=理，z=芈.可

lg2lg3lg5

得3丫=件，2x=晟，5z=-l^-,根据好我〉版=&，止।唬>1强

1SV3皿2lgV5

=装.即可得出大小关系.

另解：x、y、z为正数，令2x=3v=5z=k>l.lgk>0.可得*=罟，丫=悟，z=里.”

lg2lg3lg53y

=2'膂=怨>1,可得2x>3y，同理可得5z>2x.

3lg2lg8

【解答】解：x、v、z为正数，

2x=3v=5z=k>l.lgk>0.

则户箸，z=M-

lg2lg3lg5

1k

A3y=.f,2x=1％5z=-1^-.

lg病运如1g灰

:将我>%=&，&"唬R法加

•••1g加>心版>lg妮>0・

/.3y<2x<5z.

另解：x、V、z为正数，

令2x=3Y=5z=k>l.lgk>0.

地上

则

Ylg3lg5

.•.互=春*罟=罟>1,可得2x>3y,

3y3lg2lg8

5

X1.可得5z>2x.

2x2lg5ig52

综上可得：5z>2x>3y.

故选：D.

【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理

能力与计算能力，属于中档题.

x《3

3.（2017•北京）若x,y满足，x+y>2,则x+2y的最大值为（）

A.1B.3C.5D.9

【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即

可.

'x<3

【解答】解：x,y满足<x+y>2的可行域如图：

,yCx

由可行域可知目标函数z=x+2y经过可行域的A时，取得最大值，由(x=3,可得

{x=y

A(3,3),

目标函数的最大值为：3+2X3=9.

【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解

题的关键.

‘2x+3y-340

4.(2017•新课标H)设x,y满足约束条件，2x-3y+3>0,则z=2x+y的最小值是

,y+3>0

()

A.-15B.-9C.1D.9

【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值

即可.

"2x+3y-340

【解答】解：x、y满足约束条件2x-3y+3>0的可行域如图：

,7+3>0

z=2x+y经过可行域的A时，目标函数取得最小值,

fy=-3

由解得A6,-3),

l2x-3y+3=0

则z=2x+y的最小值是：-15.

故选：A.

【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力.

'x-y+3<0

5.（2017•山东）已知x,y满足约束条件3x+y+5<0,则z=x+2y的最大值是（）

,x+3>0

A.0B.2C.5D.6

【分析】画出约束条件表示的平面区域，根据图形找出最优解是

由，；：葭5=。解得的点人的坐标'

代入目标函数求出最大值.

‘K-y+340

【解答】解：画出约束条件3x+y-5<0表示的平面区域，如图所示;

,x+3)0

/

由蓝'解得A"4),

此时直线y=-lx+lz在y轴上的截距最大,

22

所以目标函数z=x+2y的最大值为

Zmax=-3+2X4=5.

故选：C.

【点评】本题考查了线性规划的应用问题，是中档题.

'x+3y<3

6.（2017•新课标I）设x,y满足约束条件，x~y>l，则z=x+y的最大值为（）

,y>0

A.0B.1C.2D.3

【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最大值

即可.

'K+3y<3

【解答】解：x,y满足约束条件,的可行域如图：

,则2=乂+丫经过可行域的A时，目标函数取得最大值，

由解得A（3,0）,

|x+3y=3

所以z=x+y的最大值为：3.

故选：D.

【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查约束条件的可行域，判断目标函数

的最优解是解题的关键.

'3x+2y-640

7.（2017•新课标III）设x,y满足约束条件（则z=x-y的取值范围是

()

A.[-3,0]B.[-3,2]C.[0,2]D.[0,3]

【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即

可.

3x+2y-640

【解答】解：x,y满足约束条件，的可行域如图：

,y>0

目标函数2=*-丫，经过可行域的A,B时，目标函数取得最值,

由tft…解得A（0,3）,

|3x+2y-6=0

由1y解得B（2,0）,

|3x+2y-6=0

目标函数的最大值为：2,最小值为：-3,

目标函数的取值范围：[-3,2].

故选：B.

【点评】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最优解以及可行域的作法是

解题的关键.

‘2x+y<3

8.（2017•大石桥市校级学业考试）已知变量x,y满足约束条件x+2y>3,则

,x）0

z=x-y的最小值为（）

A.-3B.0C.WD.3

2

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得

到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.

化目标函数2=*-丫为丫=*一，由图可知，当直线y=x-z过点AU寸，直线在y轴

上的截距最大，z有最小值为-3.

故选：A.

【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.

'x-y>0

9.（2017•天津学业考试）若变量x,y满足约束条件x+y-3<0,则目标函数z=

-2x+y的最大值为（）

A.1B.-1C.-WD.-3

2

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得

到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案.

'x-y〉0

【解答】解：由约束条件卜+丫-3<0作出可行域如图，

y

7ftX,x

x->-3=0

联立1y,解得A（1,1）,

x-y=O

化目标函数z=-2x+y为y=2x+z,由图可知，当直线y=2x+z过A时，直线在y轴

上的截距最大，为-1.

故选：B.

【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.

10.（2017•明山区校级学业考试）若a,bWR,且ab>0,则互+且的最小值是（）

ab

A.1B.V2C.2D.2>/2

【分析】根据题意，首先由ab>0可得上>0且且>0,进而由基本不等式可得互

aba

+（22步高计算可得答案.

【解答】解：根据题意，若a,b£R,且ab>0,

则b>0且3>0,

ab

即»+且的最小值是2；

ab

故选：C.

【点评】本题考查基本不等式的性质，注意首先要满足基本不等式的使用条件.

11.（2017•资阳模拟）已知0<cVl,a>b>l,下列不等式成立的是（）

abcc

A.c>cB.a<bC.—斗一〉bD.Iogac>logbc

a-cb-c

【分析】根据题意，依次分析选项：对于A、构造函数丫4*,由指数函数的性质

分析可得A错误，对于B、构造函数丫=必，由基函数的性质分析可得B错误，对

于C、由作差法比较可得C错误，对于D、由作差法利用对数函数的运算性质分

析可得D正确，即可得答案.

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A、构造函数丫4*,由于OVcVl,则函数y=cx是减函数，又由a>b>l,

则有c'>？5,故A错误；

对于B、构造函数丫=父，由于OVc<l,则函数y=x，是增函数，又由a>b>l,

则有ac>t)c,故B错误；

对于53_上§_&m+¥_叱a)又由ovcVl,a>b>l,则(a

a-cb-c(a-c)(b-c)(a-c)(b-c)

-c)>0、(b-c)>0、(b-a)<0,进而有-上<0,故有工,

a-cb-ca-ct-c

故C错误；

对于D、logac-logbc=-^---7^-=lgcIg：),又由0<c<l,a>b>l,则

IgaIgbiga,lgb

有lgc<0,lga>lgb>0,则有logac-logbC=4^--4^=lgc(产1对)>0,即

IgaIgbIga,lgb

有logaC>logbC,故D正确；

故选：D.

【点评】本题考查不等式比较大小，关键是掌握不等式的性质并灵活运用.

xy

12.(2017•全国模拟)已知x>0,y>0,lg2+lg8=lg2,则工』的最小值是()

x3y

A.2B.2V2C.4D.2\/3

【分析】利用对数的运算法则和基本不等式的性质即可得出.

【解答】解:V|g2x+lg8v=lg2,.\lg(2X«8V)=lg2,.\2x+3y=2,/.x+3y=l.

Vx>0,y>0,—+^-=(x+3y))=2+-'^+^2+2-^—当且仅

当x=3y=工时取等号.

2

故选C.

【点评】熟练掌握对数的运算法则和基本不等式的性质是解题的关键.

13.(2017•锦州一模)设a>0,b>2,且a+b=3,则2Tm的最小值是()

A.6B.2-/2C.W2D.3+2V2

【分析】2.+J^=(2、)(a+b-2)=2+1+1^11+3,根据基本不等式即

ab-2a)-2ab-2

可求出

【解答】解：・・・a>0,b>2,且a+b=3,

a+b-2=1,

：.2-^-L.=(a+b-2)=2+1+2(­2)，+_g_23+2a,当且仅当a=V2(b

ab-2ab-2ab-2

-2）时取等号，即b=l+&，a=2-a时取等号，

则2」」的最小值是3+2企，

ab-2

故选：D

【点评】本题考查了基本不等式的应用，掌握一正二定三相等，属于中档题

14.（2017•乌鲁木齐模拟）已知x,yCR,x2+y2+xy=315,则x?+y2-xy的最小值

是（）

A.35B.105C.140D.210

【分析】x,yCR,x2+y2+xy=315,可得x?+y2=315-xy22xy,因此xy近105.即

可得出.

【解答】解:Vx,yWR,x2+y2+xy=315,

.*.x2+y2=315-xy,315-xy22xy,当且仅当x=y=±VT而时取等号.

•\xyW105.

.\x2+y2-xy=315-2xy2315-210=105.

故选：B.

【点评】本题考查了重要不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档

题.

22

15.（2017•和平区校级二模）设正实数x,y满足x>l,y>l,不等式"

2y-12x-l

2m恒成立，则m的最大值为（）

A.2A/2B.4&C.8D.16

2222

【分析】不等式丝-+=2m恒成立，转化为求整-+卢^的最小值，可得m

y-12x-ly-12x-l

的最大值.将分母转化为整数，设丫-1二b,则y=b+1,令2y-1=a，（a+1）,

利用基本不等式的性质即可得出.

【解答】解：设y-1二b,则y=b+L令2y-l=a,y=—（a+1）,a>0,b>0.

(b+1)(a+1)、c(a+l)(b+1)

那么+—T-+-b->2

y-12x-l

^2(小信喷)X(2标五席)=2(2+2)=8(当且仅

当a=b=l即x=2,y=l时取等号.

4.x2+y2

的最小值为8,

y-12x-l

则m的最大值为8.

故选：C.

【点评】本题考查了基本不等式的性质的运用解决恒成立的问题，利用了换元法

转化求解，多次使用基本不等式式解决问题的关键，属于中档题.

16.(2017春•温江区校级月考)已知两正数x,y满足x+y=l,则z=(x+^-)(j^—)

xy

的最小值为()

A.患B.&C.工D.

4444

【分析】展开,并根据x+y=l可以得至卜=xy+/--2,可令t=xy,并求出tE(0,L］，

x/4

而根据f(t)=t+?的单调性即可求出f(t)的最小值，进而求出z的最小值.

【解答】解：Z=(xJ)(下■工)

xy

xyxy

_「1,(x+y)2-2xy

-xyi---H-------------

xyxy

=--2；

xy

令t=xy,则。<t=xy<(^Y^-)2=y；

由f(t)=t+彳在(0,上单调递减，故当t。时代力丑+?有最小值苧，

即：x=尸工时Z有最小值型.

y24

故选B.

【点评】考查基本不等式的应用，注意等号成立的条件，要熟悉函数

fG)=x+2(a>0)的单调性-

X

二.解答题(共10小题)

17.(2017•郑州二模)已知不等式2x-3|<x与不等式x2-mx+n<0的解集相

同.

(I)求m-n；

(II)若a、b、cG(0,1),且ab+bc+ac=m-n,求a+b+c的最小值.

【分析】(I)讨论2X-320或2x-3<0,求出不等式|2x-3|Vx的解集，得

出不等式x2-mx+nV0的解集，利用根与系数的关系求出m、n的值；

(II)根据a、b、c£(0,1),且ab+bc+ac=l,求出(a+b+c)?的最小值,即

可得出a+b+c的最小值.

【解答】解：(I)当2x-320,即时，不等式12x-3|Vx可化为2x-3

2

<x,

解得xV3,，WWxV3；

2

当2x-3V0,即时，不等式|2x-3|Vx可化为3-2xVx,

2

解得x>l,.-.l<x<2；

2

综上，不等式的解集为｛x|lVxV3｝；

，不等式x?-mx+nVO的解集为｛xl<x<3｝,

二方程x2-mx+n=O的两实数根为1和3,

.fm=l+3=4

，'ln=lX3=3，

/.m-n=4-3=1；

(II)a、b、cG(0,1),且ab+bc+ac=m-n=l,

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)

(2ab+2bc+2ac)+2(ab+bc+ac)

2

=3(ab+bc+ca)=3；

...a+b+c的最小值是g.

【点评】本题考查了解不等式以及根与系数的关系应用问题，也考查了基本不等

式的应用问题，是综合题.

18.(2017春•巢湖市校级期中)己知不等式x2-2x-3V0的解集为A,不等式

x2+x-6<0的解集为B.

(1)求ADB；

(2)若不等式x2+ax+bV0的解集为ACB,求不等式ax2+x+bV0的解集.

【分析】(1)由一元二次不等式的解法分别求出集合A,B,再利用集合的交集

即可求出；

(2)由一元二次方程的实数根与不等式的解集的关系及判别式与解集的关系即

可求出.

【解答】解：(1)由不等式x2-2x-3V0,解得-1VXV3,，A=(-1,3)；

由不等式X2+X-6V0,解得-3<x<2,，B=(-3,2).

/.AnB=(-1,2).

(2)由不等式x2+ax+b<0的解集为AAB=(-1,2),

..Jl-a+b=0解得

|4+2a+b=01b=-2

不等式-x2+x-2<0可化为x?-x+2>0,

VA=1-4X2=-7<0,

Ax2-x+2>0的解集为R.

【点评】熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键.

19.(2017春•齐河县校级期中)解不等式：——22.

x-8x+15

【分析】把不等式的右边移项到左边，通分后把分子分母都分解因式，得到的式

子小于等于0,然后根据题意画出图形，在数轴上即可得到原不等式的解集.

【解答】解：不等式移项得：—一-220,

x-8x+15

即2(x-$)(x-6)(x-3)(x-5)W0,且x73,xW5,

2

根据题意画出图形，如图所示：

2

根据图形得：2Wx<3或5<xW6,

2

则原不等式的解集为[§,3）U（5,6].

2

【点评】此题考查了一元二次不等式的解法，考查了转化的思想及数形结合的思

想.此类题先把分子分母分解因式，然后借助数轴达到求解集的目的.

20.（2017春•深水县校级期中）已知不等式ax2+x+c>0的解集为{x|lVx<3}.

（1）求a,c的值；

（2）若不等式ax2+2x+4c>0的解集为A,不等式3ax+cm<0的解集为B,且A

UB,求实数m的取值范围.

【分析】（1）由一元二次不等式和对应方程的关系，利用根与系数的关系即可求

出a、c的值；

（2）由（1）中a、c的值求解不等式ax2+2x+4c>0,再根据真子集的定义求出

m的取值范围.

【解答】解：（1）•••不等式ax2+x+c>0的解集为{x|l〈xV3},

，1、3是方程ax2+x+c=0的两根，且aVO,...（1分）

ra<0

1+3=」

所以a；...（3分）

1X3=—

a

解得a=-L,c=-…（5分）

44

（2）由（1）得@=-L，c=-W,

44

所以不等式ax2+2x+4c>0化为--LX2+2X-3>0,

4

解得2VxV6,

，A={x2<x<6},

又3ax+cm<0,即为x+m>0,

解得x>-m,

B={x[x>-m},（8分）

VACB,

{x2<x<6}U{xx>-m},

-mW2,即m2-2,

，m的取值范围是[2,+8）....（io分）

【点评】本题考查了一元二次不等式和对应方程的应用问题，也考查了真子集的

定义与应用问题，是中档题目.

21.（2017春•雨城区校级期中）（1）已知实数X,y均为正数，求证：

（xly）（&建）〉25；

xy

（2）解关于x的不等式X?-2ax+a?-1VO（aGR）.

【分析】（1）化简不等式的左边，利用基本不等式求得最小值即可；

（2）原不等式可化为[x-（a+1）]・[x-（a-1）]<0,求出不等式对应方程的

根，再写出不等式的解集.

【解答】解：（1）证明：6+丫）（£3）=4+9+&.13+（9但），-（2分）

1yxyxy

又因为x>0,y>0,所以由°〉0,24〉0,

xy

由基本不等式得，也舍•红二12,...（4分）

x/Vxy

当且仅当&迄L时，取等号，

xy

即2y=3x时取等号,

所以（x+y）（2佟）>25；…（5分）

xy

（2）原不等式可化为[x-（a+1）]<x-（a-1）]V0,…（7分）

令[x-（a+1）]•[x-（a-1）]=0,

"fvfXi=a+1,X2=a-1,

又因为a+l>a-1,...（9分）

所以原不等式的解集为（a-1,a+1）.…（10分）

【点评】本题考查了基本不等式与一元二次不等式的解法和应用问题，是中档题.

22.（2017•泉州模拟）已知a,b,c是全不相等的正实数，求证：

b+c-a1a+c-b,a+b-c

abc

【分析】根据a,b,c全不相等，推断出互与卫，£与亘，£与全不相等，然

abacbc

后利用基本不等式求得bf>2,£/>2,*/>2,三式相加整理求得

abacbc

b+c-ata+c-b|a+b-c>3>原式得证.

abc

【解答】解：・.・a,b,c全不相等,

.•.»与亘，£与亘，?与k全不相等

ab0cbe

」监>2,工洛>2,工白>2

abacbc

三式相加得，旦f谷声启小>6

aabbcc

：•占■吟T）+（且心T）>3

aabbcc

gn匕+c-aa+c-ba+b-c>3

abc

【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用.使用基本不等式时一

定要把握好"一定，二正，三相等”的原则.

23.（2017•泉州模拟）设a、b为正实数，且工+工=26.

ab

（1）求？+b2的最小值；

（2）若（a-b）2三4（ab）3,求ab的值.

【分析】（1）根据基本不等式得出ab*心山时等号成立），

利用a?+b222ab=2X1=1（a=b时等号成立）求解即可.

2

（2）根据上+1=2企.

ab

.\a+b=2V2ab,

代入得出（a+b）2-4ab，4（ab）3,即（2\/2ab）2-4ab^4（ab）3

求解即可得出ab=l

【解答】解：（1）；a、b为正实数，且工+1=2戊.

ab

，a、b为正实数，且工+吉=2&》2^^时等号成立).

即ab>，(a=b时等号成立)

Va2+b2^2ab=2Xy=l(3=1)时等号成立).

，a2+b2的最小值为1,

(2)\•且1+里2注.

ab

...a+b=ZV^ab

•・,(a-b)224(ab)3,

/.(a+b)2-4ab，4(ab)3

即(2V2ab)2-4ab24(ab)3

即(ab)?-2ab+l<0,(ab-1)2^0,

Va>b为正实数,

/.ab=l

【点评】本题考查了基本不等式，考查了运用基本不等式求函数的最值，运用基

本不等式求函数最值时，要保证："一正、二定、三相等"，此题是基础题

24.(2017•唐山一模)已知x,ye(0,+°°),x2+y2=x+y.

(1)求■的最小值；

xy

(2)是否存在x,y,满足(x+1)(y+1)=5?并说明理由.

【分析】(1)根据基本不等式的性质求出工△的最小值即可；(2)根据基本不

xy

等式的性质得到(x+l)(y+1)的最大值是4,从而判断出结论即可.

22

【解答】解：(1)LJ=x+y=x+y,至=2,

xyxyxyxy

当且仅当x=y=l时,等号成立.

所以工二的最小值为2.

xy

(2)不存在.

因为x2+y2^2xy,

所以(x+y)2^2(x2+y2)=2(x+y),

(x+y)2-2(x+y)WO,

又x,y£(0,+8),所以x+yW2.

从而有(x+1)(y+1)W［(x+D；(y+l)%［等］2=%

因此不