高中数学试题：数列与不等式解答题百题大战

数列与不等式解答题百题大战

已知数列｛中，2且对任意均成立，求实数的

1.ajan=n+An(neN,),an+1>anneN,A

取值范围.

已知是等比数列｛的前项和，成等差数列，且

2.SnajnS4,S2,S3a2+a3+a4=-18.

(1)求数列｛an｝的通项公式.

⑵是否存在正整数使得?若存在，求出符合条件的所有的集合；若不存在，

n,Sn>2013n

说明理由.

已知等比数列｛的公比且】

3.a"q>0,a=l,4a3=a2a4.

(1)求公比q和a3的值；

(2)若｛a｝的前n项和为S,求证：区<2.

nnan

已知｛｝是正数组成的数列，且点(扃,在函数2的图象上.

4.ana1=1,a.1)(nGN,)y=x+1

(1)求数列｛a"的通项公式；

若数列｛、｝满足瓦=a求证：

(2)1,bn+1=bn+2n,bn-bn+2<b^+1.

5.某公司按现有能力，每月收入为70万元，公司分析部门测算，若不进行改革，入世后因竞争加

剧收入将逐月减少.分析测算得入世第一个月收入将减少3万元，以后逐月多减少2万元，如

果进行改革，即投入技术改造300万元，且入世后每月再投入1万元进行员工培训，则测算得

自入世后第一个月起累计收入与时间(以月为单位)的关系为且入世第一个

TnnTn=an+b,

月时收入将为90万元，第二个月时累计收入为170万元，问入世后经过几个月，该公司改革后

的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入.

6.求证：

(1)当a>1时，Va+1+Va-1<2\/a；

(2)1,或，3不可能是一个等差数列中的三项.

在等比数列｛中，公比设且

7.ajax>1,q>0.bn=log2an,bx+b3+b5=6,b]b3b5=0.

(1)求证：数列｛味｝是等差数列；

求｛｝的前项和及｛｝的通项

(2)bnnSnanan；

试比较与的大小.

(3)anSn

8.某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元,

把写字楼出租，每年收入租金30万元.

⑴若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？

(2)若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：

①年平均利润最大时，以46万元出售该楼；

②纯利润总和最大时，以10万元出售该楼.

问哪种方案盈利更多？

9.设数列｛aQ的前n项和为Sn，己知aj=l,a2=6,a3=11,且(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=

An+B,n=1,2,3,…，

其中A,B为常数.

(1)求A与B的值；

(2)证明：数列｛aj为等差数列；

⑶证明：不等式一介高>1对任何正整数m,n都成立.

10.设各项均为正数的数列｛an｝的前n项和为Sn,已知2a2=a1+a3,数列｛疝｝

是公差为d的等差数列.

(1)求数列｛an)的通项公式(用n,d表示)；

(2)设c为实数，对满足m+n=3k且mRn的任意正整数m,n,k，不等式Sm+

Sn>cSk都成立.求证：c的最大值为|.

11.已知数列小门是等差数列，其前项和为Sn，a3=7,S4=24.

(1)求数列｛aj的通项公式；

(2)设p,q是正整数，且p#q,证明Sp+q<i(S2p+S2q).

12.己知数列｛aj,Sn是其前n项的和，且an=7Sn_1+2(n>2),a1=2.

(1)求数列小门的通项公式；

(2)设bn=—^—，Tn=bn+1+bn+24------Fb2n>是否存在最小的正整数k,使得对于任意的正

,0§2an

整数n,有Tn<^|恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.

13.已知数列｛aQ为等比数列，a2=6,a5=162.

(1)求数列小门的通项公式；

(2)设Sn是数列｛aj的前n项和，证明警这41.

n1

14.已知等差数列｛a"满足：a1=8,a5=0.数列｛1｝的前n项和为Sn=2--i(neN*)

(1)求数列｛aj和｛%｝的通项公式；

a

(2)令cn=2n,试问：是否存在正整数n,使不等式bncn+1>bn+cn成立？若存在，求出

相应n的值；若不存在，请说明理由.

15.设Sn为等差数列｛aQ的前n项和，己知a4=9,a3+a7=22.

(1)求数列｛aQ的通项公式an；

(2)求证：.+,+苴+…

SiS2S3Sn4

16.已知数列面｝满足ai=|,an+1=-an+1

(1)求证：—=-^―----^―

anan_1an+i—1

=

(2)设Sn-I-------FH—(n>2),求证：1<SnV2.

ala2an

17.已知a为锐角，且tana=V^-l,函数f(x)=x2tan2a+x-sin^2a+数列｛aj的首项

ai=pan+i=f(an)-

(1)求函数f(x)的表达式；

(2)求证：an+1>an；

(3)求证：1<乙+乙+…+4<2(n22,n€N*)

1+a11+a21+an

18.从社会效益和经济利益出发,某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，

本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少本年度当地旅游收入估计为400万元,

预计今后的旅游业收入每年比上一年增加

4

(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的

表达式；

(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过投入？

19.若函数f(x)对任意x6R,都有f(x)+f(l-x)=2.

⑴an=f(0)+，&)+啕+…+，(吃)+《1)，数列｛aj是等差数列吗？试证明你的结论；

(2)若f—)的前n项和为匕，Tn<Aan+1对一切neN*都成立，求入的取值范围.

^anan+i>

20.设数列｛aj，其前n项和Sn=-3n2,｛bn)为单调递增的等比数列，b1b2b3=512,a1+b[=

a3+b3.

(1)求数列心口，｛bj的通项;

(2)若cn=,数列｛0｝的前n项和及，求证：|<Tn<1.

21.若数列｛aj的前n项和为Sn，a1=2且Sn+1=4an-2(n=1,2,3-).

(1)求a2,a?；

(2)求证:数列｛an-2an_J是常数列;

(3)求证：++

a2-1a3-1an+i-12

22.设数列｛aj的各项都是正数，且对任意n6N*都有a：+a。+a。+…+a,=SQ其中Sn为

数列｛an｝的前n项和.

(1)求证：=2Sn-an；

(2)求数列｛aj的通项公式；

na

(3)设bn=3+-2"(A为非零整数，n6N*)试确定A的值，使得对任意n6N*,

都有bn+1>bn成立.

23.数列｛a"的前n项和为Sn,满足ax=1,Sn-2Sn_1=l(nGN\n>2),数列｛1｝的前n

2

项和为Tn，满足bl=1,Tn=nbn,nGN*.

(1)求数列｛aj,｛bj的通项公式；

(2)若对nGN*,恒有Sn+1>上成立，求实数A的取值范围.

24.数列｛aj满足=3,a=

n+1an+1

(1)求证：｛黑｝成等比数列；

2

(2)若an-1-mt>0对一切neFT及me[-1,1]恒成立，求实数t的取值范围.

25.某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年都增加4

万元，每年捕鱼收益为50万元.

(1)问第几年开始获利？

(2)若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；②总收入获利

最大时，以8万元出售该渔船.哪种方案更合算？

26.定义在(一1,1)上的函数f(x)满足①对任意x,ye(-l,l),都有f(x)+f(y)=f6^)；②当

xG(-1,0)时，有f(x)>0.

(1)求f(0)的值；

(2)判断函数的奇偶性并给予证明：

(3)证明f(x)在(一1,0)上是单调递减函数；

⑷求证：fG)+f(+)+…+f(舄/)>呜)•

27.如果正数数列｛a"满足：对任意的正数M,都存在正整数n0,使得an()>M,则称数列｛aQ

是一个无界正数列.

升停,n=1,3,5,…

(1)若an=3+2sinn(n=1,2,3,—),b=<

n(等+1,n=2,4,6,…

分别判断数列｛a"、｛bQ是否为无界正数列，并说明理由；

(2)若an=n+2,是否存在正整数k,使得对于一切n>k,有生+也+…—；成

aza3an+i2

立.

28.己知数列｛aj的前n项和为Sn,an+1=2an(neN*)，且a2是S2与1的等差中项.

(1)求｛an｝的通项公式；

(2)若数列｛^｝的前n项和为国，且对VneN*,Tn<X恒成立，求实数A的最小值.

29.在递减的等比数列｛a"中，设S为其前n项和，已知a=pS=

n2438

(1)求an,Sn；

(2)设bn=log2Sn,试比较”性与bn+1的大小关系，并说明理由.

30.已知等差数列｛a"中，ax=-1,前12项和S12=186.

(1)求数列｛aj的通项公式；

an

(2)若数列｛%｝满足bn=(|),记数列｛、｝的前n项和为Tn，若不等式Tn<m对所有

neN*恒成立，求实数m的取值范围.

31.已知数列｛aj中，ai>0,且an+1=J手.

(1)试求a1的值，使得数列｛aQ是一个常数数列；

(2)试求ax的取值范围，使得an+1>an对任何自然数n都成立；

(3)若a1=4,设bn=|an+1-an|(n=1,2,3/-)»并以Sn表示数列｛、｝的前n项的和，

试证明:sn<|.

32.已知数列｛aQ满足|an<an+1<3an,neN*,ax=1.

(1)若a?=2,a3=x,a4=9,求x的取值范围；

(2)设｛an｝是公比为q的等比数列，Sn=a1+a2+-+an.若;SnWSn+iV3S『n6N*,

求q的取值范围；

(3)若a］，a?,…，ak成等差数列，且ax+a2+-+ak=1000,求正整数k的最大值，以及

k取最大值时相应数列a「a2,ak的公差.

33.已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M=｛0,1,2,…,q-1｝,集合A=

n_1

｛x|x=Xi+x2q4-1-xnq,XjCM,i=1,2,…，n｝.

(1)当q=2,n=3时，用列举法表示集合A；

n-1n-1

(2)设s,tGA,s=a1+a2q+—Fanq,t=bx+b2q++bnq,其中a^bjGM,i=

1,2,…，n.证明：若an<bn，则s<t.

2

34.已知数列｛aj的前n项和Sn=3n+5n,数列｛bj中，bT=8,64bn+1-bn=0,是否存

在常数c,使得对一切neN+，an+logcbn恒为常数m?若存在，求出常数c和m的值；

若不存在，说明理由.

2

35.已知数列｛aj的各项均为正数，且a1=6,点An(an，V^7)在抛物线y=x+1上；数列

｛1｝中，点Bn(n,bn)在直线y=2x+1上.

(1)求数列｛aj、｛1｝的通项公式；

(2)对任意正整数n,不等式

styjn—2+a<fl+

nJ（l+颉J）…（1+J

成立，求正数a的取值范围.

36.已知数列小门的前n项和为Sn,a】=1,Sn+i=4an+1,设味=an+1-2an.

(1)证明数列｛bj是等比数列；

(2)数列｛7｝满足cn=i*(neN')>设Tn=C1C2+C2c3+C3c4+…+CnCn+i，若对一切

n6N*,不等式4mTn>(n+2)”恒成立，求实数m的取值范围.

37.已知单调递增的等比数列匕户满足：a2+a3+a4=28,且23+2是a2,a4的等差中项.

(1)求数列｛a0｝的通项公式；

a

(2)若、=anJ°gln»Sn=bt+b2+•••+bn,对任意正整数n,Sn4-(n4-m)an+1<0恒成立，

2

试求m的取值范围.

22

38.数列｛aj满足a】=1,a2=2,an+2=(1+cos三)an+sin三，n=1,2,3….

(1)求a?,a4,并求数列｛aj的通项公式；

(2)设bn=,Sn=b]+b?+…+bn.证明：当n>6时，|Sn—2|<-.

a2nn

39.已知函数f(x)=|x-a|,g(x)=x2+2ax+1(a为正常数)，且函数f(x)与g(x)的图象在y

轴上的截距相等.

(1)求a的值；

(2)求函数f(x)+g(x)的单调递增区间；

(3)若n为正整数，证明：1()3)•《了⑺<生

2

40.设数列｛aj的前n项和为Sn，满足an+Sn=An+Bn+C(A片0,n6N*).

(1)当C=1时，

⑴设bn=an-n,若a1=|,a2=,求实数A,B的值，并判定数列｛1｝是否为等比

数列；

(2)若数列｛aQ是等差数列，求等的值；

⑵当C=0时，若数列｛a"是等差数列，a1=1,且VnCN*,入一高W+

求实数人的取值范围.

41.设函数f(x)的定义域为R,9<)=2，且f(0)=l,f(x)在R上为减函数；若数列｛aQ满

X)

足a1=f(0),且f(an+1)=—^―(neNO,

(1)求｛an｝的通项公式；

(2)当a>1时，不等式」一+」一+…+±>^|(loga+iX-logaX+1)对不小于2的正整数

an+ian+2a2n35

n恒成立，求x的取值范围.

42.已知点Pn(an,bn)(nEN*)满足an+1=anbn+1,bn+1=且点Pi的坐标为(1,-1).

1-4an

(1)求经过点Pi，P2的直线1的方程；

(2)已知点Pn(an,bn)(neN*)在P1；P2两点确定的直线1上，求证：数列｛?｝是等差数列；

(3)在(2)的条件下，求对于所有n6N*,能使不等式(1+ai)(l+a2)-(1+an)>kI\

yjb2b3-bn+1

成立的最大实数k的值.

43.在数列｛an｝中，a1=2,an+1=4an-3n+l,neN*.

(1)证明数列｛an—n｝是等比数列；

(2)求数列｛aj的前n项和Sn；

⑶证明不等式Sn+1<4Sn,对任意neN-皆成立.

44.已知数列｛aj的前n项和为Sn,且Sn=n-5a-85,neN*

(1)证明：｛an-l｝是等比数列；

(2)求数列｛Sn｝的通项公式，并求出使得Sn+1>Sn成立的最小正整数n.

45.已知数列hn｝与｛bn｝满足an+1-an=2(bn+1-bn),nEN*.

(1)若、=3n+5,且a1=1,求｛an]的通项公式；

(2)设｛an｝的第n。项是最大项，即ano>an(neN*),求证：｛、｝的第n0项是最大项；

n

(3)设a1=3入VO,bn=A(nWN*),求入的取值范围，使得对任意m,nWN*,an0,且

n

46.设数列｛aj的前n项和为Sn.已知aj=a,an+1=Sn+3,neN+.

n

(1)设bn=Sn-3,求数列｛bj的通项公式；

(2)若an+1>an,neN+,求a的取值范围.

47.函数f(x)满足：对任意实数X,y都有f(x)+f(y)=f(急)，且当x<0时，都有f(x)>0.

求证:哨+呜)+・“+G7%)>f仔)

48.已知等差数列｛aj的公差d不为零，其前n项和为Sn,S5=70,且a2,a7,a22成等比数

歹|J.

(1)求数列｛an｝的通项公式；

(2)记bn=*-4,数列｛bj的前n项和为3求证：Tn<0.

5n2

2

49.已知数列｛aQ的前n项和为Sn,且Sn=1n+yn(neN+).

(1)求数列｛aj的通项公式：

(2)设cn=——1——,数列｛0｝的前n项和为口，求使不等式区>白对一切nGN+

都成立的最大正整数k的值；

(3)设@)=曲[=]黑+'是否存在m€N+，使得f(m+15)=5f(m)

成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

50.在m(m>2)个不同数的排列PiP2­•Pm中，若时R>Pj(即前面某数大于后

面某数)，则称R与弓构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记

排列(n+l)n(n—l)…321的逆序数为an,如排列21的逆序数ax=1,排列4321的逆序

数a3=6.

(1)求a4、a5,并写出an的表达式；

(2)令bn=—I—证明2rlVb]+b2+…bnV2n+3,n=1,2,....

an+ian

51.已知数列｛an｝的通项an=++W+・“+U?求使不等式a^logKt-D-glog^t

对任意n€N*恒成立的充要条件.

x

52.等比数列｛aC的前n项和为Sn,已知对任意的n€N*,点(n,Sn)均在函数y=b+r(b>

0且bKl,b,r均为常数)的图象上.

(1)求r的值；

(2)当b=2时•，记bn—2(log2an+l)(neN,),证明：对任意的neN*,不等式4匚•竽

Dlb2

…•沪〉”n+1成立.

bn

53.已知数列｛aj的前n项和Sn满足Sn=2an-n.

(1)求数列｛a4的通项公式；

(2)设bn=」〜，记数列｛、｝的前n和为Tn，证明：

an+l3N

2n2

54.已知S(x)=axx+a2x+•••+anx,且ai，a2/-,an组成等差数列，n为正偶数，设S(l)=n,

S(—1)=n.

(1)求数列｛an｝的通项公式；

(2)证明Sg)<3.

55.设数列｛a"满足a】=a,an+1an-=l(neN*).

(1)若a3=|,求实数a的值；

(2)设bn=笔，n6N*,若a=l,求证：V2<b<-(n>2,nGN*).

Vn2n

56.已知数列｛an｝中，=I，an-an_x=an_x-an(n>2,nGN*),数列｛bn｝满足bn=

-(nEN*).

an

⑴求数列｛、｝的通项公式;

(2)设数列的前n项和为Tn，证明Tn<：—2.

57.数列｛aQ的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n€N*,总有an,Sn,a三成等差数

歹!I.

(1)求数列匕仆的通项公式；

(2)设数列｛bn｝的前n项和为Tn，且bn=詈，求证：对任意实数x£(1,e](e是常数，e=

2.71828•••)和任意正整数n,总有Tn<2.

58.已知数列｛aj,｛bQ中，a1=1,以=(1一孚-),，neN*,数列｛bQ的前n项和为Sn.

\an+i-/an+i

n-1

(1)若an=2,求Sn；

(2)是否存在等比数列｛an｝,使bn+2=Sn对任意nWN*恒成立？若存在，求出所有满足条件

的数列｛an｝的通项公式；若不存在，说明理由；

(3)若a2<a2<…<an<…，求证：0<Sn<2.

n

59.设函数fn(x)=x4-bx+c(n6N+lb,cER).

(1)设n>2,b=l,c=-l,证明：fn(x)在区间G，l)内存在唯一零点；

(2)设n=2,若对任意xvx26[-1,1],有If2(x])一fz(X2)隆4,求b的取值范围;

(3)在(1)的条件下，设Xn是fn(x)在6,1)内的零点，判断数列X2，X3,…,Xn，…的增减性.

60.设a1(a2,-,a20是首项为1,公比为2的等比数列，对于满足0WkW19的整数k,数列

一加2,…，bzo由

(ank,当lWn<20-k时，

b=

n(an+k.2。，当20-k<n420时，

确定.记M=anbn.

⑴当k=1时，求M的值；

(2)求M的最小值及相应的k的值.

61.祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农

民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受"绿色通道"的申请、受理、审批一站式服务，

某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后

每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元，设f(n)表示前n年的纯收入.(f(n)=前

n年的总收入-前n年的总支出-投资额)

⑴从第几年开始获取纯利润？

⑵若干年后，该台商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美元出售

该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问哪种方案更合算？

2

62.设数列｛aj的前n项和为Sn.已知a1=1,=an+1—1n—n-1(nGN*.

(1)求a2的值；

(2)求数列｛aj的通项公式；

(3)证明：对一■切正整数n,有—+—+

aia2an4

n

63.已知数列｛an｝的前n项和Sn=3-1,数列｛、｝满足既=1,bn=3bn_i+an(n>2),

记数列｛bn｝的前n项和为Tn.

(1)证明：｛an｝为等比数列；

(2)求Tn；

(3)设Pn=Sn+Tn，若对于任意nGN,.都有(一1)-1入<1+(-l)n-成立，求实数X的

Pn+1

取值范围.

64.已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)-f(y),且f(l)=

(1)当n6N+,求f(n)的表达式；

2

⑵设an=nf(n),nEN+,求证：aj4-a2++an<-

65.已知函数f(x)=ln(l+x)-^^.

(1)若x20时f(x)W0,求人的最小值；

(2)设数列｛aj的通项an=1+：+：+…+；，证明：a2n-an+^>ln2.

66.已知数列a中,aj=1,an=a-i+二一(n=2,3,4,…).

nan-i

(1)求a2,a3的值；

(2)证明当n=2,3,4,…时，V2n-1<an<V3n-2.

67.已知函数f(x)=x-sinx,数列｛aQ满足：0<aI<l,an+i=fQn)，n=1,2,3,­••

证明：

(1)0<an+1<an<1；

(2)an+i<揖•

68.设函数fn(x)=-1+x+^j+^j+---+^j(xGR,n6N*).证明：

(1)对每个neN*.存在唯一的xn€[pl],满足fn(xn)=0；

(2)对任意PeN*,由(1)中Xn构成的数列｛Xn｝满足0<Xn-Xn+p<g.

2

69.已知函数f(x)=ax+bx(a0)的导函数F(x)=-4x+22,数列｛aj的前n项和为Sn,

点Pn(n,Sn)(neN*)均在函数y=f(x)的图象上.

(1)求数列｛aj的通项公式an及前n项和Sn；

(2)存在keN*,使得T+V+-+-<k对任意nWN*恒成立，求出k的最小值；

(3)是否存在m€N*,使得细-为数列｛a«J中的项？若存在，求出m的值；若不存在，

am+2

请说明理由.

70.从1,2,3,…，n中这n个数中取m(m,neN-,3<m<n)个数组成递增等差数列，所有可能

的递增等差数列的个数记为f(n,m).

(1)当n=5,m=3时，写出所有可能的递增等差数列及f(5,3)的值；

(2)求f(100,10)；

(3)求证:f(n,m)>(n-m)(n+l)

n

71.已知数列｛a"和｛b"满足：a1=入，an+1=-an4-n—4,bn=(-l)(an—3n4-21),其中入

为实数，n为正整数.

(1)对任意实数入，证明数列｛aj不是等比数列；

(2)试判断数列｛bn｝是否为等比数列，并证明你的结论：

(3)设0<a<b,Sn为数列｛bn｝的前n项和.是否存在实数入，使得对任意正整数n,都有

a<Sn<b?若存在，求人的取值范围；若不存在，说明理由.

72.给定一个数列｛aQ，在这个数列里，任取m(m>3,meN-)项，并且不改变它们在数列｛a"中

的先后次序，得到的数列称为数列｛an｝的一个m阶子数列.已知数列｛an｝的通项公式为

an(neN*,a为常数)，等差数列a2,a3,a6是数列｛a4的一个3阶子数列.

(1)求a的值；

(2)等差数列bvb2,-,bm是｛a"的一个m(m>3,meN-)阶子数列，且bt=J(k为常数，

k6N*,k>2),求证：m<k4-1；

(3)等比数列cnc2,---,cm是an的一个m(m>3,meN*)阶子数歹！J,求证:c1+c2+…+/W

2...—

2m-i

73.在数列hn｝中，a1=3,an+iHn+入an+1+pa(=0(n£N+).

(1)若入=0,|1=—2,求数列hn｝的通项公式；

(2)若入=«(koeN+,k0>2),u=-1,证明：2+—<ak+1<2+—

74.设集合W是满足下列两个条件的无穷数列｛a"的集合；①匣/Wan+i；(2)an<M.其

中neN,,M是与n无关的常数.

(1)若｛an｝是等差数列，Sn是其前n项的和，a3=4,S3=18.证明：｛Sn｝eW；

n

(2)设数列｛bj的通项为bn=5n-2,且｛bn｝6W,求M的取值范围；

(3)设数列｛Cn｝的各项均为正整数，且｛Cn｝eW.证明：Cn4Cn+「

75.己知函数f(x)在(一1,1)上有定义，且满足：①对任意的x,y£(-1,1),f(x)+f(y)=f(潟)；

②当x£(-1,0)时，f(x)>0.证明不等式：f(§+f佶)+…+fG7M>fgj(n€N+).

76.设集合W由满足下列两个条件的数列｛aj构成：

①文产<an+i；

②存在实数M,使an<M.(n为正整数)

(1)在只有5项的有限数列｛aj,｛bj中，其中a1=l,a2=2,a3=3,a4=4,a5=S,bj=1,

b2=4,b3=5,b4=4,b5=1.试判断数列｛aQ，｛bj是否为集合W的元素；

(2)设｛cn｝是等差数列，Sn是其前n项和，c3=4,S3=18.证明数列｛S^eW；并写出M

的取值范围：

(3)设数列｛dn｝eW,且对满足条件的常数M,存在正整数k,使dk=M.求证：dk+1>dk+2>

dk+3・

77.已知数列仅门满足，X1=；,xn+1=-^-,neN*.

21+Xn

(1)猜想数列｛X2n｝的单调性，并证明你的结论；

(2)证明：|Xn+i—XnIS](|).

78.已知数列｛Xn｝满足Xi=X2=1,并且皿=入国(入为非零参数，n=2,3,4,-).

xnxn-l

(1)若X],X3,x5成等比数列，求参数人的值；

(2)设0<入<1,常数k€N*且kZ3.证明汕+2+…+皿<=(neN*).

Xix2xn1一入K

79.各项均为正数的数列｛aj，a1=a,a2=b,且对满足m+n=p+q的正整数m,n,p,q都

有am+an_ap+aq

(l+am)(l+an)(l+3p)(l+aq)

(1)当a=gb=g时，求通项an；

(2)证明：对任意a,存在与a有关的常数入，使得对于每个正整数n,都有:WW入.

80.给定常数c>0,定义函数f(x)=2|x+c+4|-|x+c|,数列ai，a2，a3,…满足an+1=

f(anXneN*.

⑴若a1=—c-2,求a2及a?；

(2)求证：对任意nGN*,an+1-an>c；

(3)是否存在a1，使得a1,a2,…,a。,…成等差数列？若存在，求出所有这样的,若不存在，

说明理由.

2

81.已知函数f(x)=x4-Inx,数列｛an｝的首项为m(m为大于1的常数)，且an+1=f(an)(n6

NO

(1)设F(x)=f(x)-x,求函数F(x)的单调区间；

(2)求证：VnEN*,an+1>an>1；

(3)若当tW(-8,e+J时，an+1>tan恒成立，求m的取值范围.

82.已知等差数列｛aQ的公差为d(dWO),等比数列｛bj的公比为q(q>l).设Sn=+

n-1

a2b2H--Fanbn,Tn=a^bi-a2b2H----F(—l)anbn/nGN*.

⑴若=bi=1,d=2,q=3,求S3的值；

(2)若bi=1,证明(1-q)S2n-(1+q)T2n=彗沪，n£N*；

(3)若正整数n满足2<n<q,设knk2,---,kn和kJ，…,1n是1,2，…,n的两个不同的排列,

Ci=aklbi4-akzb2+-4-aknbn,c2=a^bi+alzb2+•••+alnbn,证明c2.

n

83.设数列｛aQ的前n项和为Sn,且Sn=2-1.数列｛、｝满足瓦=2,bn+1-2bn=8an.

(1)求数列｛a。｝的通项公式；

(2)证明：数列｛黑｝为等差数列，并求｛bn｝的通项公式；

(3)设数列｛、｝的前n项和为Tn，是否存在常数入，使得不等式(-1尸入<1+4Z(neN*)

1n+i-b

恒成立？若存在，求出A的取值范围；若不存在，请说明理由.

84.已知各项均为正数的数列｛aC的前n项和Sn满足Sj>1,且6Sn=(an+l)(an+2),ne

N*.

(1)求｛an｝的通项公式；

b

(2)设数列｛bn｝满足an(2n-l)=l,并记Tn为｛bn｝的前n项和，求证：3国+1>

log2(an+3),n6N*.

85.已知｛an｝是公差不等于0的等差数列，｛%｝是等比数列(n6N*),且a]=也>0.

(1)若a3=b3，比较a2与b2的大小关系；

(2)右^2=b2>=b"

(i)判断b10是否为数列｛aQ中的某一项，并请说明理由；

(ii)若bm是数列｛an｝中的某一项，写出正整数m的集合(不必说明理由).

86.已知数列｛an｝中a】=2,an+1=(V2-l)(an+2),n=1,2,3,-.

(1)求｛an)的通项公式；

(2)若数列｛bn｝中bl=2,bn+1=票岸，n=1,2,3,•••.

证明：V2<bn<a4n_3,n=1,2,3,­•••

87.设a>0,如图，己知直线l:y=ax及曲线C:y=x2,C上的点Qi的横坐标为a1

(0<aj<a).从C上的点Qn(n>1)作直线平行于x轴，交直线1于点Pn+1,再从点Pn+1

作直线平行于v轴，交曲线C于点Qn+「Qn(n=1,2,3,…)的横坐标构成数列｛a".

(1)试求an+i与an的关系，并求｛an｝的通项公式；

(2)当a=1,a[4；时,证明Sk=i(ak-ak+1)ak+2<

⑶当a=l时，证明££=i(ak-ak+i)ak+2

88.已知函数f(x)=4x+1,g(x)=2x,xeR,数列｛aj，｛bn｝,｛cn｝满足条件:ax=1,an=f(bn)=

g(bn+i)(neN-),Cn=g+嬴+3].

(1)求数列｛aQ的通项公式；

(2)求数列｛Cn｝的前n项和Tn，并求使得Tn>言对任意nGN*都成立的最大正整数m.

(3)求证：++

a2a3an+l23

89.设数列｛an｝的前n项和为Sn,对任意的正整数n,都有an=5Sn+1成立，记bn=

管(n€N)

dn

(1)求数列｛aj与数列｛6｝的通项公式；

⑵设数列｛bn｝的前n项和为Rn，是否存在正整数k,使得Rk24k成立？若存在，找出一

个正整数k；若不存在，请说明理由；

(3)记Cn=b2n-b2n-i(n6N*),设数列｛.｝的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n,

都有Tn<|.

90.已知数列｛x"满足X1=4,xn+1=先

(1)求证：xn>3；

(2)求证：xn+1<Xn；

(3)求数列收门的通项公式.

91.如图，直线li：y=kx+l—k(k#O,k力士3与12：y=；x+|相交于点P.直线与x轴

交于点Pi，过点Pi作x轴的垂线交直线12于点Qi，过点Qi作y釉的垂线交直线I1于

点P2,过点P2作x轴的垂线交直线12于点Q2,--这样一直作下去，可得到一系列点Pi，

Qi，P2,Q2,…•点Pn(n=l,2,…)的横坐标构成数列收工.

(3)比较2|PPn『与4k21Ppi『+5的大小.

92.已知数列｛a"满足a1=1,点(an,an+1)在直线y=2x+1上.

(1)求