高中数学平面向量的夹角计算

平面向量的夹角计算

计算平面向量夹角的方法总结:

ab

1.cos(a-b)=间网

xix+yiy

2.cos(a'b)=22（其中五=（%i，yi）,b=（%2，、2））

注意：两个向量的夹角要求这两个向量起点相同，这样做成的角才是

平面向量的夹角

高频考题

1.设向量窗了满足121=|方|=1，|31一|=则五，万的夹角为（）

A.?B.?CjD*

2.己知向量落下满足|五|=5,|另|=6,ab=—6>则cos位1+石〉=（）

AR_12Cizn12

A.35B・35C35D・35

3.若|砧=1,㈤=2，且@+另）JL区则五与方的夹角为（）

A-7B.*C*D谓或4

4.已知乙B均为单位向量，若|五-2刈=k，则向量五与石的夹角为（）

A.RB.gC*D浸

5.已知向量方满足|。|=5,@=6，五彳=-6，则cos<E五+B>=（）

A.-35B.35C.35D.35

6.若两个非零向量河片满足|三+方|=|日一3|=2|苍|，则向量五+方与1一方的夹角是

（）

A・％B33D*

7.设向量五=（%1）方=（1,一遮），且H_L了，则向量五一百石与B的夹角为（）

TT)江27rT-V57r

A巳D

人・6B，3C.不-~

8.点4(3,0)、8(0,3)、C(co«c,sina)、0(0,0),^\OA+OC\=V13,aG(0,n),则

布,0?的夹角为()

D二

、三Bjjc-3

9.已知方=(3,—1),b=(1,-2)-则五与方的夹角为()

A.-6B.-4C.-3D,2

10.设等边三角形△ABC的边长为1,平面内一点M满足前=之4-14。则向量加7与

7石夹角的余弦值为()

A.量B.卫C.4D.四

361219

11.已知向量Z=(2,l),石=(一3,1)，笠=(1，一d)，贝女)

A.{a+b^Ha

B.向量£在向量取上的投影向量为一;9

C.£与的夹角余弦值为产

D.a1c

12.如果平面向量丘=(2,-4)花=(—6,12)，那么下列结论中正确的是()

A.|b|=3|a|B.a//b

C.W与另的夹角为30。D.为在至上的投影向量的模为2次

13.已知向量五+石=(1,1),a-6=(-3,1).c=(l,l),设力石的夹角为仇则()

A.|a|=|K|B.aleC.b//cD.9=135°

14.已知五，区为单位向量，且方i=0，若E=2E-遍E，五与3的夹角为。，则

cos0=.

15.已知他|=2,4|=3,五与石的夹角为601若Z+高与;1。+3的夹角锐角，则实数4的

取值范围为.

16.已知落石均为非零向量，(a-2b)la.(6-2a)1K)则落石的夹角为.

17.已知平面向量方,3满足方=(1,一1),|石|=1，|方+2后|=或，则五与石的夹角为

18.已知向量不在向量3=(1,百)方向上的投影为2,(a-2b)la.

(1)求向量五与方的夹角;

(2)求|2五一方|的值;

(3)若向量7=3五一4行，d=ma+b，c//d＜求相的值.

19.已知日，方都是非零向量，且五+33与7五一5方垂直，1一4石与7方-2方垂直，求五与石

的夹角0.

20.已知向量五=(1,2),b=(3,x)-c=(2,y),且五〃3,ale.

(1)求方与下；

(2)若沅=2五一方，n=a+c,求向量沅，亢的夹角的大小.

21.已知单位向量击与各是夹角为a,且cosa=1,向量五=3否-2备与石=3备一杳的夹

角为夕，求£的余弦值.

22.已知五无—(1,2),b=(-3,1).

(I)求五一2石；

(n)设苍茫的夹角为仇求cos。的值；

(川)若向量苍+k石与方一/c9互相垂直，求A的值.

23.已知胃=(1,2),石=(1")，分别确定实数4的取值范围，使得:

(1)五与方的夹角为直角；

(2)为与石的夹角为钝角；

(3)方与方的夹角为锐角.

24.在A2BC中，AB=3,AC=6,/.BAC=y,/)为边BC的中点，M为中线AD的中

点.

(1)求中线4。的长；

(2)求前与标的夹角。的余弦值.

25.已知向量方=(2cosa,2sina),b=(6cos0,6sin0)，Jl.a-(b—a)=2-

(1)求向量优3的夹角；

(2)若|t之一了|=36,求实数f的值.

答案和解析

1.【答案】A

根据|五-2+=6，|矶=同=1求出五小，然后代入向量夹角公式计算即可求解.

【解答】

解：设方与方的夹角为仇

由题意得(3日一2至)2=7,

9|a|2+4|&|2-12ab=7,

又|初=忸|=1，

/.a-K=-,

2

/.|a||K|cos0=1,

即cos0=

又。£。河，

・・.0=-.

3

故选A.

2.【答案】D

计算出乞忖+同的值，即可得解.

【解答】

解：•••|五|=5,向=6,五•石=一6,

：.a-(a+b)=\a\2+a-b=52-6=19,

\a+b\=(a+b)2=Ja2+2a-b+b=V25—2x6+36=7)

a(a+b)_1919

因此，cos<a,a+b>=

|a|-|a+d|-5x735

故选D

3.【答案】C

【解析】解：\a\=1,㈤=2,且0+E)J_五,

/.(a+K)-a=a24-a-K=0，

Aa-b=-1，

设立与另的夹角仇贝k°s。=喘东=急=一5

•「()W0W万,

:.e=—,

3

故选：c.

由0+1)J.洒结合向量数量积性质可求五%,然后根据向量夹角公式COS。=献，代入即

可求解.

4.【答案】B

由|五一21|=百，得片+4片—41.3=3，设单位向量方与方的夹角为。，则有

1+-1-3,解得cos。；,进而求出结果..

【解答】

解：由|五一21|=百，得0—2芯)2=3,

即日②+4加2-4日-3=3，

设单位向量日与方的夹角为。，

则有1+4-4€0«03,

解得C8。:，

又。e[0,7r],

所以。=泉

故选B.

5.【答案】D

利用已知条件求出|五+封，然后利用向量的数量积求解即可.

【解答】

解:向量落石满足同=5,|K|=6.ab=-6,

可得|行+石|=+2a-b+b2=425—12+36=7'

tt,fn+d)tt2+U,d_25_619

cos<a,a+b>=

|a||a+d|-5X7-5x7-35

故选D

6.【答案】D

先根据模相等分别得到,4=0及区广=3同2,进一步利用向量的夹角公式计算即可得解.

【解答】解：,,・I五+石|=I五一至

五2+2五•b+b=五2—2五•b+b9cz,Z?=0«

又•・・|五+方|=2同,

/.|a|2+2a-K+|K|2=4|a|2,/.|K|2=3|a|2.

设立+石与五—另的夹角为e,

则cos。=膂瞽=粤/=镖=—上

|a+d||a-fc|41al24|a|22

又ee[O,7T],0=y.

故选D.

7.【答案】D

【解答】

解：根据题意，设向量五-遮B与石的夹角为9,

向量a=(x(1)>b——(1,—V3)>

若五JLE，则有日・b=x—遮=0,解得x=遮，

即3=(祗1)，b=(1,-V3).

则五一=(0,4)，

则力解—|=4，|/?|=2>(a—V3b)-b=a-b—V3b=-4V3,

则cos。=啜%=—由,

f|u-V3d||d|2

又由OWJWTT,则。=若；

6

故选。.

8.【答案】D

【解答】

解：•；4(3,0),C(eos(\..sinn),0(0,0),

O/I+OC"(3+”)sc,sinn)»\OA+Of|=J(3+COSQ)2+sin2a=V10+6cosa=V13,

1

/.cosn=,

vaG(0,TT),

"a=3'即，(渭)’

A丽,沅夹角余弦值为图四=^=旦

\OB\\OC\3x12

V3瓦元夹角范围为[0,兀],

万瓦赤夹角为土

故选D.

9.【答案】B

先由已知向量的坐标求出向量的模，再代入向量的夹角公式得到cos。=理，即可求出夹角.

2

【解答】

解：设日与方的夹角为。，

•••|aI=V10.|b|=V5-a-b=5,

八a-b5yfz

,1•cos"丽=而病=F

又。G[0,7T],

五与方的夹角为%

故选8.

10.【答案】D

由加=3荏+1近，两边平方得|祠|=W，且荏.布="荏)2+：荏.前号，由向量

数量积公式求解.

【解答】

解：I新广=(祠)2=(1^5)2+(工正)2+2X-X--AB-AC=—,

232336

贝耐二尊

AB-AM=-(ABY+-AB-AC=-,

2v733

.•・向量祠与肉夹角的余弦值为：熹篇|=粤.

故选。.

11.【答案】BCD

【详解】

对于A选项，2+石=(一1,2)，•・,2?H1x(-1),则2+1与W不平行,A选项错误；

对于5选项，・.・丘・方=2x(-3)+产=一5，b2-10»则五彳=一)2,

所以，向量三在向量另上的投影向量为-1加5选项正确；

对于C选项，由已知可得乙—b=(5,0)，cos<a,a—b>=:=与亘,

\a\\a-b\V15°x55

C选项正确；

对于。选项，方1=2_2=0,故五，乙。选项正确.

55

故选：BCD.

12.【答案】ABD

直接依据平面向量模长，夹角，投影的运算方法以及两向量平行的判断方法运算求解.

【解答】

解：因为五=(2,—4),b=(-6,12),所以b=—3」.

在A中，因为方=一3五，所以|了|=3|初，故A正确；

在8中，因为方=一3五，所以五〃方，故B正确;

在C中，因为方=一3苍，所以五与方的夹角为180。，故C错误；

在。中，不在石上的投影向量的模为喘嘲=|(法)卜；？卜2遍,故。正确,

故选ABD.

13.【答案】BD

【解答】解：根据题意,a+K=(l,l)»3-K=(-3,l)，

则方=(一1,1),b=(2,0)，依次分析选项：

对于A,同=e，|K|=2.则同=同不成立，4错误；

对于8,a=(-1,1),c=(1,1),贝腺々=0,即方1〉B正确；

对于Cb=(2,0),c=(1,1),方//杯成立,C错误;

对于。，a=(-1,1).b=(2,0),则五1=-2,

|a|=V2>|K|=2,则cos®=^=—孝,则。=135。，。正确；

故选：BD.

14.【答案】|

【解答】

解：由题同=怜|=1,五•b=0,

所以于=(2日—有方)=4a2*6+5K—4V5a-K=9'

故但I=3,

又因为方亮=鼠(2百一5石)=2片一5五4=2,五与下的夹角为0,

所以小。=磊2_2

1X3-3’

故答案为|.

-13-^33)(^33-13

15.【答案】(—8,d)1)u(1)+oo)

66

【分析】

本小题主要考查向量数量积的运算，考查向量共线，考查向量的夹角等知识，考查一元二次

不等式的解法，属于中档题.在求解时，常因忽略“2+力了与兀^+了共线”的情形致误，出现

错误的原因是误认为之上>o与丘力为锐角等价.先求得了•石,根据0+应）.（亮+分>0,

结合向量数量积的运算公式进行化简，解不等式求得;I的取值范围，排除2+/^与;+W共

线时a的值，由此求得；i的取值范围.

【解答】

解：由题意可知a•b=Jbcos60°=2x3x^=3.

又,:（a+4b）•Ra+b）=Aa2+（A2+l）a-b+Ab2>

:.a.+Ab与高+b的夹角为锐角,Aa2+（A2+l）a-b+Ab2>01

）।12_~♦2―>

va2=|a=4,b2—b=9,Q•b=3，3"+134+3>0.

解得a>卫士或％<-13-荷.

66

当；1=1时，之+4。与4；+%共线，其夹角不为锐角，

故2的取值范围是（—00,，二恒3）u（普口，1）u（1,+8）.

故填：（_8,个叵）U（普=l）u（l,+8）.

16.【答案】I

本题考查平面向量数量积运算，夹角.难度一般.由（五一2石）1五，（b-2a）A.b>可得五？=

|a|2=2a-b>h2=\b\2=2a-b'所以由侬位了>=温高=（求出（五㈤

【解答】

解：由题意得，因为（6-2a）1K.

所以（百一29）•方=看一2小后=0，（b-2a）-b=f-2a-b=0'

KPa2=|a|2=2a-K，b2=\b\2=2a-

T了]

所以cuw{W.1)二———二-,

kH口2

又位石〉6[0㈤，

所以位⑤

故答案为...

17.【答案】，

本题考查向量的模，向量的数量积，平面向量的坐标运算，向量的夹角，属于基础题.

根据条件对|k+2方|=四的两边平方即可求出:2.石=-1，从而可求出cos.石)一空，

根据向量夹角的范围即可求出夹角.

【解答】

解：•五=(1,-1),・・.|弓|=近，

'.,|b|=l,|a+2h|=V2>

222

A(a+2b)=a4-4a-K+4h

=2+4五,b+4=2，

Aa-b=-1，

,••8$@黝=繇=一率

又()《W",

二五与方的夹角为4.

4

故答案为注.

4

18.【答案】解：(1)因为b=(1,V5),

所以也|=Jl2+(V3)2=2,

因为向量方在向量方方向上的投影为2,

设向量2与9的夹角为仇

所以同cos。=2,

所以五•b=|a||b|cos0=2x2=4,

v(a-2K)1a，

/.(a-26)•a=0>

・・・片-2五7=0,

・,・五2=8,则同=2&,

则cos。=mV=当

又,：0€j().?r',

.,.。=]

•响量五与3的夹角为3；

(2)由向量模的计算公式同=V3"W得：|2五一同=J(2a-b)2=J4a2-4a-b+b2=

432-16+4=2V5.

(3)「用/工

c=Ad»

A3a-4h=A(ma+h),

•・•五、杯共线，

.[3=Am

•••1-4=A'

解得m=-f.

4

【解析】本题考查向量的数量积，向量的夹角以及向量的模的求法，向量垂直与平行的判定，

向量的投影的求解，属于中档题.

(1)先求出同，再利用向量方在向量石方向上的投影为2,求出五不，由0-23)12得到同=

2V2,再利用夹角公式求出两向量二与冒的夹角；

(2)利用向量模的平方等于向量的平方可求得向量的模；

(3)由口〃工则存在实数九使得[=2%成立，由此利用向量相等可得参数值.

19.【答案】解：•.•Q+3方与7方一59垂直,

(a+3b)-(7a-5b)=0.

即7片+16五不一15丁=0・①

又•.•五一4石与7方一2B垂直，

(a-4b)•(7a-2b)=0.

即7五2一30五1+8,=o.②

①-②整理得2方不=点③

将③代入①，得片=,,.•.同=|外

Cab|ft|21

・••cos”而铲将一

•・,0°<9<180°,・•・0=60°.

20.【答案】解：(1)由方〃E，得％-2x3=0,解得％=6.

由五JL3得lx2+2y=0,解得y=-L

所以b=(3,6)，c=(2,—1).

(2)因为沅=2方一加二(一1,一2)，n=a+c=(3,1),

所以沆•记=—1x3—2x1=-5,

|m|=J(-1。+(-2)2=V5,|n|=V32+l2=>/10.

所以cosV沆，元>=詈誉=屋$=一g

|?n||n|V5XV102

又因为<万.万>6：().7.

所以向量沅，元的夹角为多.

21.【答案】解：••・单位向量力与瓦的夹角为a,且cosa=1,向量五=3/一2岁与方=3瓦一

石的夹角为口，

\a\2=(3百一2与产

=9可2—12K./+4ej2=9+4—12cosa-9，

同2=(3百一或2

=9-2x3cosa4-1=8,

一•1=(3百一26・(3百一6

=9eT2-9e7-e7+2eT2

=9,9X1X1X|+2=8,

cab82V2

,118sB=丽==V

22.【答案】解：(I)五—2加=(1，2)-2(-3,1)=(1+6,2-2)=(7,0).

nVns(9---i*(-3)+2xi—一立

(f11)c°sb一间.向一回守x万百一io'

(HI)因为向量五+k石与五—kE互相垂直，

所以0+人力・0—kE)=0,V-k2b2=0

因为片_5，fa2=10,

所以5-10/=0,解得卜=土日.

23.［答案】解：设方与方的夹角为。，|a|=Vl2+22=V5.|K|=V1+A2＞a-b=(1,2)•

(1,A)=1+2A.

(1)因为五与石的夹角的直角，所以五7