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文档简介
第3章不等式金牌测试卷【中档题】一、单项选择题:(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题意要求的.)1.已知,则(
)A. B.C. D.2.不等式的解集为(
)A.[-1,2] B.[-2,1]C.[-2,1)∪(1,3] D.[-1,1)∪(1,2]3.已知为正实数且,则的最小值为(
)A. B. C. D.34.已知,且,则下列不等式一定成立的是(
)A. B.C. D.5.下列选项中,使不等式成立的x的取值范围是(
)A. B.C. D.6.《九章算术》中有“勾股容方”问题:“今有勾五步,股十二步.问:勾中容方几何?”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法:如图1,用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形,每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青).将三种颜色的图形进行重组,得到如图2所示的矩形,该矩形长为,宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论,如图3,设D为斜边BC的中点,作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE,过点A作于点F,则下列推理正确的是(
)A.由图1和图2面积相等得 B.由可得C.由可得 D.由可得7.关于的不等式的解集为,那么不等式的解集为(
)A. B.C. D.8.已知实数满足,则的最小值为(
)A.2 B.1 C.4 D.5二、多项选择题:(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)9.已知实数满足,且,记,,则下列说法正确的是(
)A. B.C. D.10.已知,关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数,则的值可以是(
)A.7 B.8 C.9 D.1011.设a>0,b>0,则(
)A. B.C. D.12.已知,且,则(
)A.的最大值为2 B.的最小值为C.的最大值为8 D.的最小值为8填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知三个实数a,b,c满足a-2b+c=0,a+2b+c<0,则下列结论正确的是________①b>0;②b<0;③;④.14.已知,,且,则的最小值为______.15.已知实数,满足,,则______.16.已知的最大值为_______,此时__________.四、解答题:(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.设,,,,试比较与的大小.18.设关于x的二次函数.(1)若,解不等式;(2)若不等式在上恒成立,求实数m的取值范围.19.设x>0,y>0.(1)若x+2y=4,求的最大值;(2)若x+2y=5,求的最小值;(3)求的最小值.20.已知二次函数.(1)若时,不等式恒成立,求实数a的取值范围;(2)解关于x的不等式(其中).21.如图,长方形表示一张(单位:分米)的工艺木板,其四周有边框(图中阴影部分),中间为薄板.木板上一瑕疵(记为点P)到外边框的距离分别为1分米,2分米.现欲经过点P锯掉一块三角形废料,其中M,N分别在上.设的长分别为m分米,n分米.(1)求的值;(2)为使剩下木板的面积最大,试确定m,n的值;(3)求剩下木板的外边框长度(的长度之和)的最大值及取得最大值时m,n的值.22.已知函数在区间上的最大值比最小值大3,且.(1)求,的值;(2)若在区间上,不等式恒成立,求实数的取值范围.第3章不等式金牌测试卷【中档题】一、单项选择题:(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题意要求的.)1.已知,则(
)A. B.C. D.【答案】D【分析】由不等式的性质判断ACD;取特殊值判断B.【详解】解:对于A,因为,所以,即,故错误;对于B,取,则,故错误;对于C,由,得,所以,故错误;对于D,由,得,所以,故正确.故选:D.2.不等式的解集为(
)A.[-1,2] B.[-2,1]C.[-2,1)∪(1,3] D.[-1,1)∪(1,2]【答案】D【分析】由题可得,即得.【详解】由可得,,∴,解得且,故原不等式的解集为.故选:D.3.已知为正实数且,则的最小值为(
)A. B. C. D.3【答案】D【分析】由题知,再结合基本不等式求解即可.【详解】解:因为为正实数且,所以,所以,因为,当且仅当时等号成立;所以,当且仅当时等号成立;故选:D4.已知,且,则下列不等式一定成立的是(
)A. B.C. D.【答案】A【分析】利用作差法可判断AB选项;利用特殊值法可判断CD选项.【详解】因为,所以,,因为,则,A对B错;若,则成立,但,C错;若,则成立,则不成立,D错.故选:A.5.下列选项中,使不等式成立的x的取值范围是(
)A. B.C. D.【答案】A【分析】根据给定条件解不等式,再分类等价转化即可求解作答.【详解】因,则有,解得:或,当时,,显然不成立,无解,当时,,不等式恒成立,解得或,则有,所以使不等式成立的x的取值范围是.故选:A6.《九章算术》中有“勾股容方”问题:“今有勾五步,股十二步.问:勾中容方几何?”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法:如图1,用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形,每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青).将三种颜色的图形进行重组,得到如图2所示的矩形,该矩形长为,宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论,如图3,设D为斜边BC的中点,作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE,过点A作于点F,则下列推理正确的是(
)A.由图1和图2面积相等得 B.由可得C.由可得 D.由可得【答案】C【分析】根据图1,图2面积相等,可求得d的表达式,可判断A选项正误,由题意可求得图3中的表达式,逐一分析B、C、D选项,即可得答案【详解】对于A,由图1和图2面积相等得,所以,故A错误;对于B,因为,所以,所以,,因为,所以,整理得,故B错误;对于C,因为D为斜边BC的中点,所以,因为,所以,整理得,故C正确;对于D,因为,所以,整理得,故D错误.故选:C.7.关于的不等式的解集为,那么不等式的解集为(
)A. B.C. D.【答案】C【分析】由题可得,可得解之即求.【详解】∵关于的不等式的解集为,∴,∴可化为,即∴,∴,解得.故选:C.8.已知实数满足,则的最小值为(
)A.2 B.1 C.4 D.5【答案】A【分析】将a-1和b-1看作整体,由构造出,根据即可求解.【详解】由得,因式分解得,则,当且仅当时取得最小值.故选:A.二、多项选择题:(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)9.已知实数满足,且,记,,则下列说法正确的是(
)A. B.C. D.【答案】AD【分析】根据给定条件,分析、计算判断选项A,D;取特值计算判断选项B,C作答.【详解】因实数满足,且,则,A正确;取,则,此时,即B,C都不正确;,,又,即,则有,D正确.故选:AD10.已知,关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数,则的值可以是(
)A.7 B.8 C.9 D.10【答案】AB【分析】把的值代入不等式中求出解集,判断解集中是否有且仅有3个整数即可.【详解】解:不等式的解集中有且仅有3个整数,所以,解得;对于A,时,不等式为,求得不等式解集为,,解集中有3个整数是2、3、4,满足题意;对于B,时,不等式为,求得不等式解集为,解集中有3个整数是2、3、4,满足题意;对于C,时,不等式为,求得不等式解集为,解集中有1个整数是3,不满足题意;对于D,时,不等式为,不等式解集为,不满足题意.故选:AB11.设a>0,b>0,则(
)A. B.C. D.【答案】ACD【分析】A.利用基本不等式判断;B.利用作差法判断;C.利用基本不等式判断;D.利用作差法判断.【详解】A.,当且仅当时,等号成立,故正确;B.因为,正负不定,故错误;C.,当且仅当,时,等号成立,故正确;D.,故正确;故选:ACD12.已知,且,则(
)A.的最大值为2 B.的最小值为C.的最大值为8 D.的最小值为8【答案】ABD【分析】A选项,由基本不等式直接求出的最大值;B选项,用基本不等式“1”的妙用求解最值;C选项,用含y的式子表达x,配方后结合y的取值范围求最值;D选项,使用【详解】由,所以,当且仅当时等号成立,所以A正确;因为,当且仅当,即时等号成立,所以B正确;因为,且,所以无最大值,所以C不正确;,两边平方得:,所以,当且仅当时,等号成立,所以D正确,故选:ABD填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知三个实数a,b,c满足a-2b+c=0,a+2b+c<0,则下列结论正确的是________①b>0;②b<0;③;④.【答案】②③【分析】根据,,可以得到与、的关系,从而可以判断的正负和的正负情况,本题得以解决.【详解】解:因为,,所以,,即,所以,即,又,所以,即.故正确的是②③故答案为:②③【点睛】本题考查不等式的性质,解答本题的关键是明确题意,判断出和的正负情况,属于中档题.14.已知,,且,则的最小值为______.【答案】【分析】将化简,利用基本不等式即可求出最小值.【详解】依题意,因为,,且,所以,当且仅当时,且,即或时,等号成立,故答案为:.15.已知实数,满足,,则______.【答案】或2或【分析】对分,两种情况讨论得解.【详解】当时,由题得所以或,所以或2;当时,实数,是方程的两个实数根,所以,综合得或2或.故答案为:或2或16.已知的最大值为_______,此时__________.【答案】
-2
0【分析】将化为,由条件利用均值不等式可得出答案.【详解】当且仅当,即,时等号成立.由,则,所以,解得由,可得故故答案为:;四、解答题:(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.设,,,,试比较与的大小.【答案】【分析】将、进行分子有理化得出,,然后利用不等式的性质可得出、的大小关系.【详解】,同理可得,,,所以,则,因此,,故答案为.【点睛】本题考查代数式的大小比较,解题的关键在于将代数式进行有理化,并结合不等式的性质进行大小比较,考查推理能力,属于中等题.18.设关于x的二次函数.(1)若,解不等式;(2)若不等式在上恒成立,求实数m的取值范围.【答案】(1);(2).【分析】(1)由题设有,解一元二次不等式求解集即可.(2)由题意在上恒成立,令并讨论m范围,结合二次函数的性质求参数范围.(1)由题设,等价于,即,解得,所以该不等式解集为.(2)由题设,在上恒成立.令,则对称轴且,①当时,开口向下且,要使对恒成立,所以,解得,则.②当时,开口向上,只需,即.综上,.19.设x>0,y>0.(1)若x+2y=4,求的最大值;(2)若x+2y=5,求的最小值;(3)求的最小值.【答案】(1)2(2)(3)【分析】(1)由基本不等式直接求解;(2)对变形为,再使用基本不等式进行求解;(3)先对用基本不等式,再对使用基本不等式求解.(1),由基本不等式得:,即,当且仅当即时等号成立,故的最大值为2;(2)因为,所以因为,所以,当且仅当,即,时等号成立,故的最小值为;(3)因为,所以,当且仅当时,等号成立,,当且仅当,即时,等号成立,故的最小值为.20.已知二次函数.(1)若时,不等式恒成立,求实数a的取值范围;(2)解关于x的不等式(其中).【答案】(1)(2)答案见解析【分析】(1)当时将原不等式变形为,根据基本不等式计算即可;(2)将原不等式化为,求出参数a分别取值、、时的解集.(1)不等式即为:,当时,不等式可变形为:,因为,当且仅当时取等号,所以,所以实数a的取值范围是;(2)不等式,即,等价于,转化为;当时,因为,所以不等式的解集为;当时,因为,所以不等式的解集为;当时,因为,所以不等式的解集为;综上所述,当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为.21.如图,长方形表示一张(单位:分米)的工艺木板,其四周有边框(图中阴影部分),中间为薄板.木板上一瑕疵(记为点P)到外边框的距离分别为1分米,2分米.现欲经过点P锯掉一块三角形废料,其中M,N分别在上.设的长分别为m分米,n分米.(1)求的值;(2)为使剩下木板的面积最大,试确定m,n的值;(3)求剩下木板的外边框长度(的长度之和)的最大值及取得最大值时m,n的值.【答案】(1)1(2)(3)最大值为分米,此时.【分析】(1)过点分别作的垂线,垂足分别为,根据可得出;(2)利用基本不等式求出的最小值即可;(3)利用基本不等式求出的最小值即可.(1)过点分别作的垂线,垂足分别为,则,所以,则,整理可得;(2)要使剩下木板的面积最大,即要锯掉的三角形废料的面积最小,因为,则,可得,当且仅当,即时,等号成立,所以当时,剩下木板的面积最大;(3)要使剩下木板的外边框长度最大,则锯掉的边框长度最小,则,当且仅当,即时等号成立,故此时剩下木板的外边框长度的最大值为分米,此时.22.已知函数在区间上的最大值比最小值大3
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