高一数学教材同步知识点专题详解(苏教版必修第一册)第3章不等式金牌测试卷【中档题】(原卷版+解析)

第3章不等式金牌测试卷【中档题】一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）1．已知，则（

）A． B．C． D．2．不等式的解集为（

）A．[－1，2] B．[－2，1]C．[－2，1)∪(1，3] D．[－1，1)∪(1，2]3．已知为正实数且，则的最小值为（

）A． B． C． D．34．已知，且，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．5．下列选项中，使不等式成立的x的取值范围是（

）A． B．C． D．6．《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE，过点A作于点F，则下列推理正确的是（

）A．由图1和图2面积相等得 B．由可得C．由可得 D．由可得7．关于的不等式的解集为，那么不等式的解集为（

）A． B．C． D．8．已知实数满足，则的最小值为(

)A．2 B．1 C．4 D．5二、多项选择题：（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．已知实数满足，且，记，，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．10．已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（

）A．7 B．8 C．9 D．1011．设a＞0，b＞0，则（

）A． B．C． D．12．已知，且，则（

）A．的最大值为2 B．的最小值为C．的最大值为8 D．的最小值为8填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知三个实数a，b，c满足a-2b+c=0，a+2b+c<0，则下列结论正确的是________①b>0；②b<0；③；④.14．已知，，且，则的最小值为______．15．已知实数，满足，，则______．16．已知的最大值为_______，此时__________.四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设，，，，试比较与的大小．18．设关于x的二次函数．(1)若，解不等式；(2)若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．19．设x＞0，y＞0.(1)若x+2y＝4，求的最大值；(2)若x+2y＝5，求的最小值；(3)求的最小值.20．已知二次函数.(1)若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；(2)解关于x的不等式（其中）.21．如图，长方形表示一张（单位：分米）的工艺木板，其四周有边框（图中阴影部分），中间为薄板.木板上一瑕疵（记为点P）到外边框的距离分别为1分米，2分米.现欲经过点P锯掉一块三角形废料，其中M，N分别在上.设的长分别为m分米，n分米.(1)求的值；(2)为使剩下木板的面积最大，试确定m，n的值；(3)求剩下木板的外边框长度（的长度之和）的最大值及取得最大值时m，n的值.22．已知函数在区间上的最大值比最小值大3，且.(1)求，的值；(2)若在区间上，不等式恒成立，求实数的取值范围.第3章不等式金牌测试卷【中档题】一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）1．已知，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由不等式的性质判断ACD；取特殊值判断B.【详解】解：对于A，因为，所以，即，故错误；对于B，取，则，故错误；对于C，由，得，所以，故错误；对于D，由，得，所以，故正确.故选：D.2．不等式的解集为（

）A．[－1，2] B．[－2，1]C．[－2，1)∪(1，3] D．[－1，1)∪(1，2]【答案】D【分析】由题可得，即得.【详解】由可得，，∴，解得且，故原不等式的解集为.故选：D.3．已知为正实数且，则的最小值为（

）A． B． C． D．3【答案】D【分析】由题知，再结合基本不等式求解即可.【详解】解：因为为正实数且，所以，所以，因为，当且仅当时等号成立；所以，当且仅当时等号成立；故选：D4．已知，且，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用作差法可判断AB选项；利用特殊值法可判断CD选项.【详解】因为，所以，，因为，则，A对B错；若，则成立，但，C错；若，则成立，则不成立，D错.故选：A.5．下列选项中，使不等式成立的x的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据给定条件解不等式，再分类等价转化即可求解作答.【详解】因，则有，解得：或，当时，，显然不成立，无解，当时，，不等式恒成立，解得或，则有，所以使不等式成立的x的取值范围是.故选：A6．《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE，过点A作于点F，则下列推理正确的是（

）A．由图1和图2面积相等得 B．由可得C．由可得 D．由可得【答案】C【分析】根据图1，图2面积相等，可求得d的表达式，可判断A选项正误，由题意可求得图3中的表达式，逐一分析B、C、D选项，即可得答案【详解】对于A，由图1和图2面积相等得，所以，故A错误；对于B，因为，所以，所以，，因为，所以，整理得，故B错误；对于C，因为D为斜边BC的中点，所以，因为，所以，整理得，故C正确；对于D，因为，所以，整理得，故D错误．故选：C．7．关于的不等式的解集为，那么不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题可得，可得解之即求.【详解】∵关于的不等式的解集为，∴，∴可化为，即∴，∴，解得.故选：C.8．已知实数满足，则的最小值为(

)A．2 B．1 C．4 D．5【答案】A【分析】将a-1和b-1看作整体，由构造出，根据即可求解．【详解】由得，因式分解得，则，当且仅当时取得最小值．故选：A．二、多项选择题：（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．已知实数满足，且，记，，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据给定条件，分析、计算判断选项A，D；取特值计算判断选项B，C作答.【详解】因实数满足，且，则，A正确；取，则，此时，即B，C都不正确；，，又，即，则有，D正确.故选：AD10．已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】AB【分析】把的值代入不等式中求出解集，判断解集中是否有且仅有3个整数即可．【详解】解：不等式的解集中有且仅有3个整数，所以，解得；对于A，时，不等式为，求得不等式解集为，，解集中有3个整数是2、3、4，满足题意；对于B，时，不等式为，求得不等式解集为，解集中有3个整数是2、3、4，满足题意；对于C，时，不等式为，求得不等式解集为，解集中有1个整数是3，不满足题意；对于D，时，不等式为，不等式解集为，不满足题意.故选：AB11．设a＞0，b＞0，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】A.利用基本不等式判断；B.利用作差法判断；C.利用基本不等式判断；D.利用作差法判断.【详解】A.，当且仅当时，等号成立，故正确；B.因为，正负不定，故错误；C.，当且仅当，时，等号成立，故正确；D.，故正确；故选：ACD12．已知，且，则（

）A．的最大值为2 B．的最小值为C．的最大值为8 D．的最小值为8【答案】ABD【分析】A选项，由基本不等式直接求出的最大值；B选项，用基本不等式“1”的妙用求解最值；C选项，用含y的式子表达x，配方后结合y的取值范围求最值；D选项，使用【详解】由，所以，当且仅当时等号成立，所以A正确；因为，当且仅当，即时等号成立，所以B正确；因为，且，所以无最大值，所以C不正确；，两边平方得：，所以，当且仅当时，等号成立，所以D正确，故选：ABD填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知三个实数a，b，c满足a-2b+c=0，a+2b+c<0，则下列结论正确的是________①b>0；②b<0；③；④.【答案】②③【分析】根据，，可以得到与、的关系，从而可以判断的正负和的正负情况，本题得以解决．【详解】解：因为，，所以，，即，所以，即，又，所以，即.故正确的是②③故答案为：②③【点睛】本题考查不等式的性质，解答本题的关键是明确题意，判断出和的正负情况，属于中档题．14．已知，，且，则的最小值为______．【答案】【分析】将化简，利用基本不等式即可求出最小值.【详解】依题意，因为，，且，所以，当且仅当时，且，即或时，等号成立，故答案为：.15．已知实数，满足，，则______．【答案】或2或【分析】对分，两种情况讨论得解.【详解】当时，由题得所以或，所以或2；当时，实数，是方程的两个实数根，所以，综合得或2或.故答案为：或2或16．已知的最大值为_______，此时__________.【答案】

-2

0【分析】将化为，由条件利用均值不等式可得出答案.【详解】当且仅当，即，时等号成立.由，则，所以，解得由，可得故故答案为：；四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设，，，，试比较与的大小．【答案】【分析】将、进行分子有理化得出，，然后利用不等式的性质可得出、的大小关系.【详解】，同理可得，，，所以，则，因此，，故答案为.【点睛】本题考查代数式的大小比较，解题的关键在于将代数式进行有理化，并结合不等式的性质进行大小比较，考查推理能力，属于中等题.18．设关于x的二次函数．(1)若，解不等式；(2)若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由题设有，解一元二次不等式求解集即可.（2）由题意在上恒成立，令并讨论m范围，结合二次函数的性质求参数范围.(1)由题设，等价于，即，解得，所以该不等式解集为.(2)由题设，在上恒成立．令，则对称轴且，①当时，开口向下且，要使对恒成立，所以，解得，则．②当时，开口向上，只需，即.综上，．19．设x＞0，y＞0.(1)若x+2y＝4，求的最大值；(2)若x+2y＝5，求的最小值；(3)求的最小值.【答案】(1)2(2)(3)【分析】（1）由基本不等式直接求解；（2）对变形为，再使用基本不等式进行求解；（3）先对用基本不等式，再对使用基本不等式求解.(1)，由基本不等式得：，即，当且仅当即时等号成立，故的最大值为2；(2)因为，所以因为，所以，当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为；(3)因为，所以，当且仅当时，等号成立，，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.20．已知二次函数.(1)若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；(2)解关于x的不等式（其中）.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】(1)当时将原不等式变形为，根据基本不等式计算即可；(2)将原不等式化为，求出参数a分别取值、、时的解集.(1)不等式即为：，当时，不等式可变形为：，因为，当且仅当时取等号，所以，所以实数a的取值范围是；(2)不等式，即，等价于，转化为；当时，因为，所以不等式的解集为；当时，因为，所以不等式的解集为；当时，因为，所以不等式的解集为；综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.21．如图，长方形表示一张（单位：分米）的工艺木板，其四周有边框（图中阴影部分），中间为薄板.木板上一瑕疵（记为点P）到外边框的距离分别为1分米，2分米.现欲经过点P锯掉一块三角形废料，其中M，N分别在上.设的长分别为m分米，n分米.(1)求的值；(2)为使剩下木板的面积最大，试确定m，n的值；(3)求剩下木板的外边框长度（的长度之和）的最大值及取得最大值时m，n的值.【答案】(1)1(2)(3)最大值为分米，此时.【分析】（1）过点分别作的垂线，垂足分别为，根据可得出；（2）利用基本不等式求出的最小值即可；（3）利用基本不等式求出的最小值即可.（1）过点分别作的垂线，垂足分别为，则，所以，则，整理可得；（2）要使剩下木板的面积最大，即要锯掉的三角形废料的面积最小，因为，则，可得，当且仅当，即时，等号成立，所以当时，剩下木板的面积最大；（3）要使剩下木板的外边框长度最大，则锯掉的边框长度最小，则，当且仅当，即时等号成立，故此时剩下木板的外边框长度的最大值为分米，此时.22．已知函数在区间上的最大值比最小值大3