2023-2024学年云南省大理州大理市下关一中教育集团高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年云南省大理州大理市下关一中教育集团高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.命题“∀x∈(0,π2)，exA.“∀x∈(0,π2)，ex+2sinx≥2x” B.“∀x∈(0,π2)，ex+2sinx≤2x”

C.“∃x∈(0,2.已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且P((A∪B)|C)=12，P(B|C)=16，A.112 B.16 C.133.函数y=lnx在x=1处的切线方程为(

)A.x−y+1=0 B.x−y−1=0 C.x+y+1=0 D.x+y−1=04.在学校组织的一次活动结束后，3名男生和2名女生站成一排照相留念，其中2名女生不相邻，则不同的站法有(

)A.120种 B.72种 C.48种 D.24种5.已知α是锐角，cos(α+π6)=1A.4+26 B.4−266.函数y=f(x)的图象如图所示，f′(x)是函数f(x)的导函数，令a=f(7)−f(5)2，b=f′(5)，c=f′(7)，则下列数值排序正确的是(

)A.b<a<c

B.c<b<a

C.a<b<c

D.b<c<a7.已知曲线x2+y2−4x−2y+1=0关于直线ax+by−1=0(a>0,b>0)对称，则A.2 B.4 C.228.函数f(x)是定义在(−π,0)∪(0,π)上的奇函数，其导函数为f′(x)，且f(π2)=0，当0<x<π时，f′(x)sinx−f(x)cosx<0，则关于x的不等式f(x)<0的解集为A.(−π2,0)∪(π2,π) B.(−二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.复数z=3−i1+i，则下列说法正确的有(

)A.|z|=5 B.z的共轭复数z−=1+2i

C.z的虚部为−2i10.下列计算正确的有(

)A.(x2)′=2x B.(x+1x)′=1+11.(x−2x)A.展开式共7项 B.所有项的二项式系数之和为128

C.x项系数为280 D.所有项的系数之和为−112.抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F(0,1)，经过点F且倾斜角为α的直线l与抛物线C交于A，B两点，分别过点A、点B作抛物线C的切线，两切线相交于点E，则(

)A.当|AB|=16时，α=π3 B.△AOB面积的最大值为2

C.点E在一条定直线上 D.设直线EF倾斜角为β，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.在一次数学测试中，8名同学的成绩如下：112、96、100、108、121、87、103、111.则这组数据的第60百分位数为______．14.已知向量a=(2,−3,1)，b=(m−1,2,1)，且a⊥b，则m=15.“杨辉三角”揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则在第10行中最大数为______．

16.甲、乙、丙三人做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人，则经过5次传球后，球在甲手中的概率为______．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a(sinB+cosB)=c．

(1)求A；

(2)若c=2,a=5,D为18.(本小题12分)

2024年5月4日是“五四运动”105周年纪念日，为弘扬五四爱国主义精神，某学校开展了爱国主义知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关历史的问题，每个人回答正确与否互不影响.已知甲回答正确的概率为13.甲、丙两人都回答正确的概率是14，乙、丙两人都回答正确的概率是12．

(1)若规定三名同学都回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学都回答正确的概率；

(2)若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为16，119.(本小题12分)

已知等比数列{an}的公比q>1，满足a1+a4=18，且a2a3=32．

(1)求数列{an}的通项公式；

20.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC/​/AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E为棱PD的中点，F是线段PC上一动点．

(1)求证：平面PBC⊥平面PAB；

(2)若直线BF与平面ABCD所成角的正弦值为33时，求点C到平面AEF的距离．21.(本小题12分)

已知函数f(x)=lnx−ax有两个零点．

(1)求a的取值范围；

(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：a(22.(本小题12分)

已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)中，焦距为42，且双曲线过点P(−3,1).斜率不为零的直线与双曲线交于A，B两点，且以AB为直径的圆过点P．

(Ⅰ)求双曲线的方程；

(Ⅱ)是否存在直线参考答案1.C

2.C

3.B

4.B

5.D

6.A

7.D

8.A

9.ABD

10.AC

11.BD

12.CD

13.108

14.7215.252

16.51617.解：(1)根据正弦定理得sinA(sinB+cosB)=sinC，

在△ABC中，sinC=sin(A+B)，

则有sinA(sinB+cosB)=sin(A+B)，

∴sinAsinB+sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB，

∴sinAsinB=cosAsinB，sinB≠0，

∴sinA=cosA，∴A=45°；

(2)根据余弦定理有a2=b2+c2−2bccosA，

则有5=b2+2−2b，解之得b=3，b=−1(舍去18.解：(1)设乙答题正确的概率为p2，丙答题正确的概率为p3，

则甲、丙两人都回答正确的概率是13p3=14，解得p3=34，

乙、丙两人都回答正确的概率是34p2=12，解得p2=23，

所以若规定三名同学都需要回答这个问题，

则甲、乙、丙三名同学都回答正确的概率为P=13×23×34=16；

19.解：(1)由a1+a4=18,a2a3=32⇒a1(1+q3)=18,a12q3=32,

因为q>1，解得a1=2,q=2或a120.解：(1)证明：∵PA⊥底面ABCD，又BC⊂底面ABCD，

∴BC⊥PA，又易知BC⊥AB，且PA∩AB=A，

PA,AB⊂平面PAB，

∴BC⊥平面PAB，又BC⊂平面PBC，

∴平面PBC⊥平面PAB；

(2)如图，以AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立直角坐标系，根据题意可得：

A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，E(0,2,1)，P(0,0,2)，

设PF=λPC，λ∈[0,1]，

则AF=AP+PF=AP+λPC=(0,0,2)+λ(2,2,−2)=(2λ,2λ,2−2λ)，

∴BF=AF−AB=(2λ,2λ,2−2λ)−(2,0,0)=(2λ−2,2λ,2−2λ)，

又易知平面ABCD的法向量为m=(0,0,1)，

设直线BF与平面ABCD所成角为θ，

则sinθ=|cos<BF,m>|=|2−2λ|(2λ−2)2+4λ2+(2−2λ)221.解：(1)f′(x)=1x−a=1−axx，(x>0)，

当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上递增，f(x)至多一个零点；

所以a>0，且x∈(0,1a)时，f′(x)>0；x∈(1a,+∞)时，f′(x)<0，

所以f(x)在(0,1a)上单调递增，在(1a,+∞)上单调递减，

须有f(1a)=ln1a−1>0，∴0<a<1e．

又x→0时，f(x)→−∞；x→+∞时，f(x)→−∞．

所以f(x)有两个零点，a的取值范围为(0,1e)．

证明：(2)不妨设x1<x2，由f(x1)=f(x2)，则0<x1<1a<x2．

设F(x)=f(x)−f(2a−x)(0<x<1a)，

F′(x)=f′(x)−f′(22.解