2023-2024学年福建省漳州实验高级中学高一（下）质检数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年福建省漳州实验高级中学高一（下）质检数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列说法中正确的是(

)A.单位向量都相等

B.若a,b满足|a|>|b|且a与b同向，则a>b

2.已知复数z=4+3i1−i，其中i为虚数单位，则z+zA.i B.7i C.7 D.13.在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=23，则角B的值为(

)A.90° B.60° C.45° D.30°4.已知向量|a|=3,|b|=6A.30 B.61 C.785.O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：OP=OA+λ(AB+AC)，λ>0，则直线A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心6.某中学校园内的红豆树已有百年历史，小明为了测量红豆树高度，他选取与红豆树根部C在同一水平面的A，B两点，在A点测得红豆树根部C在北偏西60°的方向上，沿正西方向步行40米到B处，测得树根部C在北偏西15°的方向上，树梢D的仰角为30°，则红豆树的高度为(

)A.106米 B.203米 C.207.如图，M为△ABC的外接圆的圆心，AB=4，AC=6，N为边BC的中点，则AN⋅AM=(

)A.5

B.10

C.13

D.26

8.我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为S=14[a2c2−(aA.3 B.32 C.1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是(

)A.i+i2+i3+i4=0

B.复数−2−i的虚部为−i10.下列说法正确的有(

)A.在△ABC中，BC⋅CA<0，则△ABC为锐角三角形

B.已知O为△ABC的内心，且A=30°，B=60°，则OA+3OB+2OC=0

C.已知非零向量a，b满足：a⋅b=a2，4c=211.对于△ABC，下列说法正确的是(

)A.若A=45°,a=2,b=22，则△ABC只有一解

B.若sin2A=sin2B，则△ABC一定为等腰三角形

C.若a+b<2c，则0<C<π3

D.若三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数z满足|z|=1，则|z+3−4i|(i为虚数单位)的最大值为______．13.已知向量a,b夹角为π3,|a|=2，对任意t∈R，有|a14.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2，让八边形ABCDEFGH内角和为1080°，若AE=λAC+μAF(λ,μ∈R)，则λ+μ的值为______；若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

已知向量a=(2,1)，b=(1,2)，c=(3,λ)．

(1)若c/​/a，求|c|的值；

(2)16.(本小题15分)

已知复数z1=a+2+(a−1)i，z2=2+(3a+1)i，a∈R．

(1)若复数z1−z2在复平面内的对应点落在第二象限，求实数a的取值范围；

(2)17.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且bcosA+3bsinA=a+c．

(1)求B；

(2)若△ABC的中线BD长为218.(本小题15分)

某海岸的A哨所在凌晨1点15分发现哨所北偏东30°方向20nmile处的D点出现可疑船只，因天气恶劣能见度低，无法对船只进行识别，所以将该船雷达特征信号进行标记并上报周围哨所.早上5点15分位于A哨所正西方向20nmile的B哨所发现了该可疑船只位于B哨所北偏西30°方向60nmile处的E点，并识别出其为走私船，立刻命令位于B哨所正西方向30nmile处C点的我方缉私船前往拦截，已知缉私船速度大小为30nmile/ℎ.(假设所有船只均保持匀速直线航行)

(1)求走私船的速度大小；

(2)缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船，并求出截获走私船的具体时间．19.(本小题17分)

如图，在凸四边形ABCD中，AB=1,BC=3,AC⊥DC,CD=3AC.设∠ABC=θ．

(1)若θ=30°，求AD的长．

(2)当θ多大时，

参考答案1C

2D

3A

4A

5C

6D

7C

8B

9ACD

10BD

11AD

126

133142

[−215解：(1)由c/​/a得2λ=3，解得λ=32，

故|c|=32+(32)2=316解：(1)复数z1=a+2+(a−1)i，z2=2+(3a+1)i，

则z1−z2=a−(2a+2)i，

复数z1−z2在复平面内的对应点落在第二象限，

则a<0−(2a+2)>0，解得a<−1，

故实数a的取值范围为(−∞,−1)．

(2)虚数z1是方程x217解：(1)因为bcosA+3bsinA=a+c，由正弦定理可得sinBcosA+3sinBsinA=sinA+sinC，

在△ABC中，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，sinA≠0，

可得3sinB−cosB=2sin(B−π6)=1，所以sin(B−π6)=12

即B−π6=π6或5π6，而B∈(0,π)，

解得B=π3；

(2)因为△ABC的中线BD长为23，B=π18解：(1)某海岸的A哨所在凌晨1点15分发现哨所北偏东30°方向20nmile处的D点出现可疑船只，

∵D点位于A哨所北偏东30°方向20nmile处，

∴∠BAD=90°+30°=120°，AD=20，

∵AB=20，

∴BD=AD2+AB2−2AD⋅ABcos120°=203，

∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=30°，

∵E点位于B哨所北偏西30°方向60nmile处，

∴∠DBE=90°−30°+30°=90°，

∴DE=BD2+BE2=403，

∴ν走私船=4034=103nmile/ℎ，

∴走私船的速度大小为103nmile/ℎ；

(2)早上5点15分位于A哨所正西方向20nmile的B哨所发现了该可疑船只位于B哨所北偏西30°方向60nmile处的E点，

设在F点处截获走私船，截获走私船所需时间为t，

∵BE=60，BC=30，∠CBE=60°，

∴CE=BE2+BC2−2BE⋅BCcos60°=303，

∵BE2=BC2+CE2，∴∠B