2024届江西省先知高考高三上学期第二次联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江西省先知高考2024届高三上学期第二次联考数学试题一､选择题1.已经集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗∵，，∴或，，故选：D．2.设，其中i为虚数单位），若为纯虚数，则实数m=（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，因为为纯虚数，所以有，解得，故选：A．3.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，故选：B.4.已知为单位向量，向量与向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意知，所以向量在向量上的投影向量为:.故选:B.5.若函数的导函数为，且满足，则（）A.0 B.-1 C. D.-2〖答案〗C〖解析〗由，得，令，则，解得，所以.故选：C.6.已知正实数a，b满足，则的最小值是（）A.1 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知可得，，所以.又，所以.当且仅当，即，时，等号成立.所以，的最小值是.故选：C.7.已知，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以.因为，所以，所以，所以，所以.故选：A.8.《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书.”箜篌历史悠久､源远流长，音域宽广､音色柔美清澈，表现力强.如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点A，B处分别作切线相交于点C，测得切线，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为（）A.0.62 B.0.56 C.-0.56 D.-0.62〖答案〗A〖解析〗如图，设弧对应圆心是，根据题意，，，则，因为，则在中，，所以.故选：A.二､多选题9.已知函数，则下列判断正确的是（）A.为偶函数 B.在上单调递增C.的图象关于直线对称 D.的图象关于点对称〖答案〗ACD〖解析〗.对选项A：，，正确；对选项B：，，在上单调递减，错误；对选项C：当，则，是的对称轴，正确；对选项D：当时，，故图象关于点对称，正确.故选：ACD.10.对于函数，下列结论中正确的是（）A.是奇函数B.在区间和上单调递增C.在处取得极大值2D.函数的值域是〖答案〗ABC〖解析〗因为对，故A正确；对于B，，令可得或，令可得，所以函数的单调递增区间为和，函数的单调递减区间为，故B正确；对于，由得，结合选项B可知，是函数的极大值点，此时函数的极大值为，故正确；对于，由可知，函数在和上单调递增，函数在上单调递减，所以无最大值，无最小值，如图，故D错误.故选：ABC.11.南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幕，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式（其中a、b、c、S为三角形的三边和面积）表示.在中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若，且，则下列命题正确的是（）A.面积的最大值是B.C.D.面积的最大值是〖答案〗AB〖解析〗因为，整理可得，，即有.因为，所以.对于B项，根据正弦定理角化边可得，，故B项正确；对于A、D项，由已知可得.当，即时，该式有最大值，故A项正确，D项错误；对于C项，因为不是确定的数值，故C项错误.故选：AB.12.已知函数的定义域都为为奇函数，且2，则下列结论正确的是（）A B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗对于，由，令可得，又为奇函数，故，故A正确；对于B，由及可得，又为奇函数，则，令则，故，故B错误；对于C，由及可得，当时，不成立，故C错误；对于，由可得且周期为2，故，故，故D正确.故选AD.三､填空题13.已知向量，则______.〖答案〗〖解析〗因为，则，因此.故〖答案〗为：14.已知函数在上存在极值点，则正整数的值是______.〖答案〗5〖解析〗由题设在内有解，且此解左右两侧异号，即，整理得在有解，得，故.故〖答案〗为：5.15.已知，若在上恰有两个不相等的实数满足4，则实数的取值范围是______.〖答案〗〖解析〗因为，所以，因为在上恰有两个不相等的实数满足，且，所以函数在上恰有两个最大值点，所以，解得，因此实数的取值范围是.故〖答案〗为：.16.已知函数，，若有2个不同的零点，则实数的取值范围是__________.〖答案〗〖解析〗设，当时，，；当时，，；当时，，.综上可得，.函数的定义域为，由复合函数单调性可知函数单调递增.又，作出的图象如图所示由图象可知，当时，曲线与恒有两个交点，即有两个零点，所以的取值范围是.故〖答案〗为：.四､解答题17.已知为平面向量，且.（1）若，且与垂直，求实数的值；（2）若，且，求向量的坐标.解：（1）因，所以，又因为与垂直，所以，即，得，所以.（2）因为得，又因为，所以，即，所以，故或.18.在中，内角，，的对边分別为，，，且满足.（1）求；（2）若内角的角平分线交于点，且，求的面积的最小值.解：（1）∵，∴由正弦定理得，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴.（2）如图，由题意及第（1）问知，，且，∴，∴，化简得，∵，，∴由基本不等式得，∴，当且仅当时，等号成立，∴∴，故的面积的最小值为.19.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：.（1）解：因为，则，所以，，，所以，曲线在点处的切线方程为，即.（2）证明：令，其中，，令，其中，则，当时，且不恒为零，所以，函数在上单调递增，所以，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，即.20.已知函数的部分图象如图所示.（1）求的〖解析〗式；（2）先将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象.当时，求的值域.解：（1）根据图像可得，，则，因为，所以将代入的〖解析〗式，得，则，得因为，所以，所以.（2）由（1）知，将的图像向左平移个单位长度得的图象，再将所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍，得的图像，因为，所以，则所以,故在上的值域为21.如图，在平面直角坐标系中，角和的终边与单位圆分别交于，两点.（1）若，求的值；（2）若，，求的值.解：（1）因为，，所以，所以，两式平方相加，得，解得.（2）因为，所以.因为，所以.所以.22.已知函数．（1）当时，求函数的单调递增区间（2）若函数在的最小值为，求的最大值．解：（1）当时，，则，当时，，当时，，，当时，，恒成立，仅当时取等号，即的单调递增区间为（2）当时，时，，时，，则在取得最小值，符合题意；当时，时，，时，，时，，因为最小值为，所以得，即；当时，由（1）可知单调递增，则当时无最小值，不合题意；当时，时，，时，，时，，则有，不合题意；综上可得，的最大值．江西省先知高考2024届高三上学期第二次联考数学试题一､选择题1.已经集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗∵，，∴或，，故选：D．2.设，其中i为虚数单位），若为纯虚数，则实数m=（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，因为为纯虚数，所以有，解得，故选：A．3.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，故选：B.4.已知为单位向量，向量与向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意知，所以向量在向量上的投影向量为:.故选:B.5.若函数的导函数为，且满足，则（）A.0 B.-1 C. D.-2〖答案〗C〖解析〗由，得，令，则，解得，所以.故选：C.6.已知正实数a，b满足，则的最小值是（）A.1 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知可得，，所以.又，所以.当且仅当，即，时，等号成立.所以，的最小值是.故选：C.7.已知，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以.因为，所以，所以，所以，所以.故选：A.8.《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书.”箜篌历史悠久､源远流长，音域宽广､音色柔美清澈，表现力强.如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点A，B处分别作切线相交于点C，测得切线，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为（）A.0.62 B.0.56 C.-0.56 D.-0.62〖答案〗A〖解析〗如图，设弧对应圆心是，根据题意，，，则，因为，则在中，，所以.故选：A.二､多选题9.已知函数，则下列判断正确的是（）A.为偶函数 B.在上单调递增C.的图象关于直线对称 D.的图象关于点对称〖答案〗ACD〖解析〗.对选项A：，，正确；对选项B：，，在上单调递减，错误；对选项C：当，则，是的对称轴，正确；对选项D：当时，，故图象关于点对称，正确.故选：ACD.10.对于函数，下列结论中正确的是（）A.是奇函数B.在区间和上单调递增C.在处取得极大值2D.函数的值域是〖答案〗ABC〖解析〗因为对，故A正确；对于B，，令可得或，令可得，所以函数的单调递增区间为和，函数的单调递减区间为，故B正确；对于，由得，结合选项B可知，是函数的极大值点，此时函数的极大值为，故正确；对于，由可知，函数在和上单调递增，函数在上单调递减，所以无最大值，无最小值，如图，故D错误.故选：ABC.11.南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幕，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式（其中a、b、c、S为三角形的三边和面积）表示.在中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若，且，则下列命题正确的是（）A.面积的最大值是B.C.D.面积的最大值是〖答案〗AB〖解析〗因为，整理可得，，即有.因为，所以.对于B项，根据正弦定理角化边可得，，故B项正确；对于A、D项，由已知可得.当，即时，该式有最大值，故A项正确，D项错误；对于C项，因为不是确定的数值，故C项错误.故选：AB.12.已知函数的定义域都为为奇函数，且2，则下列结论正确的是（）A B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗对于，由，令可得，又为奇函数，故，故A正确；对于B，由及可得，又为奇函数，则，令则，故，故B错误；对于C，由及可得，当时，不成立，故C错误；对于，由可得且周期为2，故，故，故D正确.故选AD.三､填空题13.已知向量，则______.〖答案〗〖解析〗因为，则，因此.故〖答案〗为：14.已知函数在上存在极值点，则正整数的值是______.〖答案〗5〖解析〗由题设在内有解，且此解左右两侧异号，即，整理得在有解，得，故.故〖答案〗为：5.15.已知，若在上恰有两个不相等的实数满足4，则实数的取值范围是______.〖答案〗〖解析〗因为，所以，因为在上恰有两个不相等的实数满足，且，所以函数在上恰有两个最大值点，所以，解得，因此实数的取值范围是.故〖答案〗为：.16.已知函数，，若有2个不同的零点，则实数的取值范围是__________.〖答案〗〖解析〗设，当时，，；当时，，；当时，，.综上可得，.函数的定义域为，由复合函数单调性可知函数单调递增.又，作出的图象如图所示由图象可知，当时，曲线与恒有两个交点，即有两个零点，所以的取值范围是.故〖答案〗为：.四､解答题17.已知为平面向量，且.（1）若，且与垂直，求实数的值；（2）若，且，求向量的坐标.解：（1）因，所以，又因为与垂直，所以，即，得，所以.（2）因为得，又因为，所以，即，所以，故或.18.在中，内角，，的对边分別为，，，且满足.（1）求；（2）若内角的角平分线交于点，且，求的面积的最小值.解：（1）∵，∴由正弦定理得，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴.（2）如图，由题意及第（1）问知，，且，∴，∴，化简得，∵，，∴由基本不等式得，∴，当且仅当时，等号成立，∴∴，故的面积的最小值为.19.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：.（1）解：因为，则，所以，，，所以，曲线在点处的切线方程为，即.（2）证明：令，其中，，令，其中，则，当时，且不恒为零，所以，函数在上单调递增，所以，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，即.20.已知函数的部分图象如图所示.（1）求的〖解析〗式；（2）先将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象.当时，求的值域.解：（1）根据图像可得，，则，因为，所以将代入的〖解析〗式，得，则，得因为，所以，所以.（2）由（1）知，将的图像向左平移个单位长度得的图象，再将所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍，得的图像，因为，所以，则所以,故在上的值域为21.如