2021届浙江省宁波市九校高一上学期期末联考数学试题（解析版）

试卷第=page22页，总=sectionpages44页2020-2021学年浙江省宁波市九校高一上学期期末联考数学试题一、单选题1．设全集，集合则（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出集合A，再根据补集定义即可求出.【详解】，或，.故选：C.2．已知，，，则（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据幂函数、指数函数和对数函数的单调性可得三者的大小关系.【详解】因为在上为增函数，故即，而在上为减函数，故，故，因为在上为减函数，故，故，故.故选：A.3．将函数的图象沿轴向右平移一个单位后，所得图象对应的解析式为，若，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出的解析式，再解方程后可求的值.【详解】由题设可得，令，故，故选：B.4．已知，点是角终边上一点，则（）A． B． C． D．或【答案】B【分析】根据三角函数的定义求出，从而可得.【详解】因为，故，因为是角终边上一点，故，故，而，故与的终边相同，而，故.故选：B.5．某药厂为提高医药水平，计划逐年增加研发资金投入，若该公司年全年投入研发资金万元，之后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金超过万元的第一年是（）(参考数据：，)A．年 B．年 C．年 D．年【答案】D【分析】根据题设条件得到从而2020年起第年投入的研发资金的表达式，再根据参考数据可得正确的选项.【详解】设2020年起第年投入的研发资金为（2020年为第一年），则，即，令，故，故.故2030年第一次研发资金超过.故选：D.6．函数(其中为实数)的图象不可能是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】取可判断排除D，再根据图象的对称性可求的值，讨论相应的函数性质后可得正确的选项.【详解】若，则，故D中图象符合，排除D.AC中对应的函数的定义域为，故，故，此时，而，故为奇函数，且当时，为增函数，故在上为减函数，故A中图象符合，排除A，C中图象不符合.B中对应的函数的定义域为，且为偶函数，故，因为，故，故，此时，当时，，故为上的增函数，所以为上的减函数，B中图象符合，排除B.故选：C.【点睛】方法点睛：函数图象的识别，一般从函数的定义域，奇偶性、单调性和特殊点处的函数的正负去讨论.7．（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角恒等变换对应的公式，将原式逐步化简整理，即可得出结果.【详解】.故选：A8．已知定义在上的函数满足：当时，，且对任意的，均有.若，则的取值范围是（）(是自然对数的底数)A． B．C． D．【答案】B【分析】先讨论在上的单调性，从而得到，求出其解后可得正确的选项.【详解】令则且，整理得到，若，则，这与，矛盾，所以，令，则即，故为的奇函数，设，故，即，因为，故，而，故即，所以故为的增函数，因为，故即，故选：B.【点睛】方法点睛：抽象函数的性质，一般依据已有的运算性质来推理，对于奇偶性的探究，需采用赋值法来求的值，这样才能实现与的联系，而单调性的探究，则需根据定义来证明.二、多选题9．已知、均为实数，则“”成立的必要条件可以是（）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根据必要条件的定义逐项判断可得出合适的选项.【详解】对于A选项，由绝对值的性质可知，若，则，A选项合乎要求；对于B选项，若，则，B选项合乎要求；对于C选项，若，则、不同时为零，可得，则，C选项合乎要求；对于D选项，若，取，则，D选项不合乎要求.故选：ABC.10．已知函数为偶函数，点、是图象上的两点，若的最小值为，则下列说法正确的有（）A． B．C． D．在区间上单调递增【答案】AC【分析】求出函数的最小正周期，可求出的值，可判断A选项的正误；根据函数为偶函数可求出的值，可判断B选项的正误；求出的值，可判断C选项的正误；利用余弦型函数的单调性可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，点、是图象上的两点，可得，若的最小值为，则函数的最小正周期为，，A选项正确；对于B选项，，由于该函数为偶函数，则，可得，，，B选项错误；对于C选项，若，则，则；若，则，则.C选项正确；对于D选项，取，则，取，则，当时，，此时，函数在区间上单调递减，D选项错误.故选：AC.【点睛】结论点睛：函数的性质：（1）奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数；（2）周期性：存在周期性，其最小正周期为；（3）单调性：根据和的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间；（2）对称性：对称中心：利用的对称中心为求解，令，求得；对称轴：利用的对称轴为求解，令得其对称轴．11．关于函数，下列说法正确的有（）A．函数是周期为的周期函数B．C．不等式的解集是D．若存在实数满足，则的取值范围是【答案】BCD【分析】根据函数解析式的形式分段讨论后可得正确的选项.【详解】因为当时，，故，，故不是周期为的周期函数，故A错误，且B正确.等价于或（无解），解得，故C正确.的图象如图所示：在上，的图象的对称轴为，因为且，故且，又，故，故，所以，由双勾函数的性质可得，故，故D正确.故选：BCD.【点睛】思路点睛：分段函数的处理方法有两种：（1）分段处理，因为在不同的范围上有不同的解析式，故可考虑在不同范围上对应的方程、不等式等；（2）数形结合，即画出分段的函数的图像，从而考虑与分段函数相关的范围问题、方程的解等问题.12．已知奇函数的定义域为，且满足：对任意的，都有.设，且当时，的值域为，则下列说法正确的有（）A．的图象关于直线轴对称B．在内至少有个零点C．的图象关于点中心对称D．在上的值域为【答案】ACD【分析】利用函数的奇偶性，对称性，周期性判断各选项对错.【详解】由为奇函数，，且，故函数关于直线对称，且周期，故函数关于直线对称，且关于点中心对称，故A、C选项正确；即，故在内至少有个零点，B选项错误；又，故函数为奇函数，当时，的值域为，所以当时，的值域为，当时，，的值域为，当时，，的值域为，综上当时，的值域为，D选项正确；故选：ACD.【点睛】正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．三、填空题13．计算___________.【答案】6【分析】根据对数的性质可得所求的结果.【详解】,故答案为：6.14．已知，，则___________.【答案】【分析】先求出，再利用两角差的余弦可求.【详解】因为，故，若，则，而，故不成立，而，故，所以，所以.故答案为：.15．已知，，均为正实数，满足，则的最小值是___________.【答案】【分析】由，得，再根据基本不等式“1”的代换求得的最小值.【详解】由，得，，当且仅当，即时取等号，故答案为：【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．16．对于实数，若两函数，满足：①，或；②，，则称函数和互为“相异”函数.若和互为“相异”函数，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】根据两个函数互为“相异”函数可得，有恒成立，且在上有解，利用参变分离先讨论前者，再结合二次函数的图象和性质可得所求的取值范围.【详解】因为当时，，当时，，当时，，结合互为“相异”函数，故，有恒成立，且在上有解.先考虑，有恒成立，则在上恒成立，故在上恒成立，因为，故，故.再考虑在上有解，若，则，故在上无解，若，的对称轴为，且开口向下，由在上有解可得，故或（舍）.故实数的取值范围是，故答案为：.【点睛】方法点睛：对于新定义背景下的函数性质的讨论，一般是先根据定义得到含参数的函数的性质，对于不等式的恒成立或有解问题，可优先考虑参变分离的方法，也可以结合函数图象的性质处理.四、解答题17．已知全集，集合，集合.（1）当时，求；（2）若，且，求实数的值.【答案】（1）；（2）【分析】先解不等式化简集合，根据反比例函数单调性，得到；（1）再由，化简集合，根据交集和补集的概念，即可得出结果；（2）根据题中条件，得到，进而可求出结果.【详解】因为，在上单调递减，由定义域可得a>0,则；（1）若，则，所以或，因此；（2）因为，所以；又，所以，因此，所以有，解得，又因为a>0，则实数的值为.18．已知函数，.（1）求的单调递增区间和最值；（2）若函数有且仅有一个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）的单调递增区间是，；（2）【分析】（1）利用两角差的余弦公式，二倍角公式和辅助角法，将函数转化为，再利用正弦函数的性质求解.（2）将函数有且仅有一个零点，转化为函数与有且仅有一个交点，利用数形结合法求解.【详解】（1）函数，，，，，令，解得，因为，所以函数的单调递增区间是.因为，则，所以，所以.（2）因为有且仅有一个零点，所以有且仅有一个零点，即函数与有且仅有一个交点，如图所示：由图象知：或，所以实数的取值范围是.【点睛】方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式．2．函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sint的性质．19．已知关于的不等式的解集为.（1）写出集合；（2）若集合中恰有个整数，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）或.【分析】（1）就、、、、分类讨论后可得不等式的解集.（2）根据（1）可得，结合解集中整数解的个数可得，从而可得的解.【详解】（1）若，则原不等式等价于，故.若，则原不等式等价于，因为，故.若或，则原不等式等价于，因为，故或，若，则原不等式等价于，故.（2）由（1）可得且，因为集合中恰有个整数，故即解得或.【点睛】思路点睛：含参数的不等式的解，注意先考虑二次项系数的正负，再考虑两个的大小关系，结合不等式的方向可得不等式的解集.20．如图所示，摩天轮的半径为，最高点距离地面高度为，摩天轮的圆周上均匀地安装着个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要.甲，乙两游客分别坐在，两个座舱里，且他们之间间隔个座舱(本题中将座舱视为圆周上的点).（1）求劣弧的弧长(单位：)；（2）设游客丙从最低点处进舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于时间的函数解析式；（3）若游客在距离地面至少的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果.【答案】（1）；（2），其中；（3）.【分析】（1）根据弧长的计算公式可求的长度.（2）建立如图所示的平面直角坐标系，利用三角函数的定义可求关于时间的函数解析式.（3）利用（2）中所得的解析式并令，求出不等式的解后可得甲，乙两位游客都有最佳视觉效果的时间长度.【详解】（1）因为摩天轮的圆周上均匀地安装着个座舱，故每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为，故.（2）建立如图所示的平面直角坐标系，设，由题意知，，所以，又由，所以，当时，可得，所以，故关于时间的函数解析式为，其中.（3）令，即，令，解得，因为甲乙两人相差，又由，所以有甲乙都有最佳视觉效果.【点睛】三角函数实际应用问题的处理策略：1、已知函数模型求解数学问题；2、把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题；3、根据实际问题转化为已知条件转化为三角函数的解析式和图象，然后在根据数形结合思想研究三角函数的性质，进而加深理解函数的性质.21．已知函数，.（1）根据定义证明函数是减函数；（2）若存在两不相等的实数，，使，且，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【分析】（1）利用减函数的定义证明即可.（2）先根据得到且，从而在上有解，利用换元法及参变分离可得在有解，最后利用基本不等式可求的取值范围.【详解】（1）由题设可得，故，故的定义域为.设，则，因为，故，而，故，所以，故即在上为减函数.（2）因为，，所以即.又，故，同理.等价于在上有解，又可整理为①，令，则且①可化为，所以在有解，故在有解，令，则且，，因为，故，故.【点睛】思路点睛：（1）函数单调性的证明，需结合定义来展开.（2）复杂方程的解的讨论，一般利用换元法将复杂方程转化为含参数的一元二次方程，后者可利用参变分离来求参数的取值范围，换元时注意范围的传递性.22．设函数，.（1）判断的奇偶性，并说明理由；（2）当时，若对任意的，均有成立，求的最大值.【答案】（1）当时，为偶函数；当时，为非奇非偶函数；（2）4.【分析】（1）当时，利用定义可得为偶函数，当时，利用反例可得为非奇非偶函数.（2）原不等式等价于在恒成立，令，求出的最小值后可得满足的不等式，从而得到的不等式，由此可求的最大值.【详解】（1）若，则，此时，又的定义域为，故为偶函数.若，则