2024届江苏省基地大联考高三上学期第一次质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省基地大联考2024届高三上学期第一次质量监测数学试题一、选择题1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗一方面把不等式变形为，解得；另一方面若，则；结合交集以及区间的概念可知.故选：A.2.若复数满足，则（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗由，得，，所以，故选：B3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗由，可得或，即或，由，可得或，即或，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.4.下列可能是函数的图象的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗函数定义域为R，排除选项AB，当时，，排除选项D，故选：C.5.已知函数在上单调递减，则实数取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设，可得的对称轴的方程为，由函数在上单调递减，则满足在区间单调递减且，即且，解得，即实数的取值范围是.故选：D.6.甲、乙、丙等六人相约到电影院观看电影《封神榜》，恰好买到了六张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（）A.360 B.480 C.600 D.720〖答案〗B〖解析〗由题意，甲、乙、丙等六人的全排列，共有种不同的排法，其中甲、乙、丙三人的全排列有种不同的排法，其中甲、乙在丙的同侧有：甲乙丙、乙甲丙、丙甲乙，丙乙甲，共4种排法，所以甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为种.故选：B.7.已知正方体的棱长为2，则以点为球心，为半径的球面与平面的交线长为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设点到平面的距离为，因为，所以，因为正方体的棱长为2，所以等边的边长为，所以，所以，解得，所以点为球心，为半径的球面与平面的交线是以为半径的圆，所以交线长为，故选：C.8.对，当时，，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，当时，则等价于，即等价于，即等价于，即等价于，令，，即等价于对，当时，，即函数在上单调递减，即对，，即，由，则，所以，所以实数的取值范围是．故选：D．二、选择题9.下图为甲、乙两人在同一星期内每日步数的折线统计图，则（）A.这一星期内甲的日步数的中位数为11600B.这一星期内甲的日步数的极差大于乙的日步数的极差C.这一星期内乙的日步数的方差大于甲的日步数的方差D.这一星期内乙的日步数的上四分位数是7030〖答案〗AB〖解析〗对于A：甲的步数：16000，7965，12700，2435，16800，9500，11600.从小到大排列为：2435，7965，9500，11600，12700，16000，16800,中位数是11600.故A正确；对于B：这一星期内甲的日步数的极差,这一星期内乙的日步数的极差,这一星期内甲的日步数的极差大于乙的日步数的极差,故B正确；对于C：由图知甲的波动程度越大，故方差大故C错误；乙的步数从小到大排列为：5340，7030，10060，11600，12300，12970，14200，，故这一星期内乙的日步数上四分位数是12970，故D错误.故选：AB.10.已知事件A，B，且，则（）A.如果，那么B.如果，那么C.如果A与B相互独立，那么D.如果A与B相互独立，那么〖答案〗ABD〖解析〗A：由，则，正确；B：由，则，正确；C：如果A与B相互独立，则，，错误；D：由C分析及事件关系知：，正确.故选：ABD.11.已知函数的定义域为，且，函数的图像关于点对称，，则（）A.是偶函数 B.的图像关于直线对称C. D.〖答案〗BCD〖解析〗因为函数的图像关于点对称，所以的图像关于原点对称，即是奇函数，故A错误；因为，所以令得，又因为是奇函数，所以，所以，即，所以的图像关于直线对称，故B正确；因为，，是奇函数，所以，故C正确；因为，所以的周期为8，又，，所以，故D正确；故选：BCD.12.已知，则下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗因为，所以，，因为，所以，即，故A正确；因为，，所以，故B正确；因为，因为，故，故，故，故不正确.故C错误；因为，故D正确.故选：ABD.三、填空题13.在二项式的展开式中，常数项是______．〖答案〗〖解析〗其展开式第项为，当，即时，展开式第项为常数项，此时，故〖答案〗：14.已知同一平面内的单位向量，满足，则______．〖答案〗〖解析〗因为，所以，两边平方得，因为均是单位向量，所以，所以，所以，所以.故〖答案〗为：.15.已知随机变量，，且，，则______.〖答案〗〖解析〗由题意，，，，又，故，即，解得：.故〖答案〗为：16.已知直线与曲线和都相切，请写出符合条件的两条直线的方程：______，______．〖答案〗〖解析〗因为，，所以，，设直线与曲线和分别切于点，，所以切线方程分别为，，即，，因此，则，又，所以，化简得，解得或，当时，切线方程为，当时，切线方程为.故〖答案〗为：，.四、解答题17.市场监管部门统计了某网红饮品小店在2023年4月至8月的销售收入（单位：万元），得到以下数据：月份45678销售收入1012111220（1）根据表中所给数据，求出关于的线性回归方程，并估计2023年9月份该小店的销售收入；（2）为调查顾客对该小店的评价情况，随机抽查了200名顾客，得到如下列联表，请填写下面的列联表，并判断能否有的把握认为“顾客是否喜欢该网红饮品小店与性别有关联”．喜欢不喜欢总计男100女30总计110附：线性回归方程：，其中，，0.0100.0050.0016.6357.87910.828解：（1）由已知得：，，，，则关于的线性回归方程为，当时，，∴估计2023年9月份该小店的销售收入19万元．（2）因为200名顾客中男顾客有100名，则女顾客有100名，女顾客中不喜欢该网红饮品小店有30名，则喜欢的有70名，200名顾客中喜欢该网红饮品小店的有110名，则男顾客中喜欢的有40名，不喜欢的有60名，则2×2列联表如下所示：喜欢不喜欢总计男4060100女7030100总计11090200根据列联表中数据，，所以有的把握认为“顾客是否喜欢该网红饮品小店与性别有关联”．18.设为实数，函数，.（1）求的极值；（2）对于，，都有，试求实数的取值范围.（1）解：函数的定义域为，，令，可得或，列表如下：增极大值减极小值增故函数的极大值为，极小值为.（2）解：对于，，都有，则.由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，故当时，，因为，且，则且不恒为零，故函数在上单调递增，故，由题意可得，故.19.如图，直三棱柱中，，平面平面．（1）求证：；（2）求二面角的正弦值．（1）证明：如图所示，过点作于点，因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，又因为平面，所以，由三棱柱为直三棱柱，可得平面，因为平面，所以，又因为，且平面，所以平面，因为平面，所以.（2）解：如图所示，以点为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为，可得，则,设平面的法向量为，则，取，可得，所以，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，则，设二面角平面角为为锐角，可得，所以，即二面角的正弦值为.20.第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举办．中国田径队拟派出甲、乙、丙三人参加男子100米比赛．比赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛和半决赛都获得晋级才能进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中晋级的概率均为；乙在预赛和半决赛中晋级的概率分别为和；丙在预赛和半决赛中晋级的概率分别为和，其中，甲、乙、丙三人晋级与否互不影响．（1）试比较甲、乙、丙三人进入决赛的可能性大小；（2）若甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为，求三人中进入决赛的人数的分布列和期望．解：（1）甲在初赛的两轮中均获胜的概率为，乙在初赛的两轮中均获胜的概率为，丙在初赛的两轮中均获胜的概率为，因为，所以，所以，即甲进入决赛的可能性最大.（2）设甲、乙、丙都进入决赛的概率为，则，且，解得，所以丙在初赛的第一轮和第二轮获胜的概率分别为和，两轮中均获胜的概率为，进入决赛的人数的可能取值为0，1，2，3，则，，，所以的分布列为0123所以.21.如图，四棱锥的底面为菱形，，底面，分别是线段的中点，是线段上的一点.（1）若是直线与平面的交点，试确定的值；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥体积.解：（1）取的中点，连接，则，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，设，则设平面的法向量，则，所以，取，易知，所以，解得，此时；（2）设，则则，整理得，解得或（舍去），，，设平面的法向量为，则，所以，取，又，则点到平面的距离即点到平面的距离为，由已知条件，在中，，可得所以，.22.已知函数．（1）求证：；（2）若函数在上存在最大值，求的取值范围．（1）证明：由函数，可得，则，令，可得，当时，可得，单调递增；当时，可得，单调递减，所以，所以，即，即.（2）解：由函数可得令，可得①当时，，在上单调递增，所以，所以在上单调递增，无最大值；②当时，，可得在上单调递减，所以，所以在上单调递减，无最大值；③当时，由，可得，所以当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，由（1）知，，所以当时，，取，则且，又由，所以由零点的存在性定理，存在，使得，所以当时，，即；当时，，即，所以在单调递增，在单调递减，此时在上存在最大值，符合题意，综上所述，实数的取值范围是.江苏省基地大联考2024届高三上学期第一次质量监测数学试题一、选择题1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗一方面把不等式变形为，解得；另一方面若，则；结合交集以及区间的概念可知.故选：A.2.若复数满足，则（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗由，得，，所以，故选：B3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗由，可得或，即或，由，可得或，即或，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.4.下列可能是函数的图象的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗函数定义域为R，排除选项AB，当时，，排除选项D，故选：C.5.已知函数在上单调递减，则实数取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设，可得的对称轴的方程为，由函数在上单调递减，则满足在区间单调递减且，即且，解得，即实数的取值范围是.故选：D.6.甲、乙、丙等六人相约到电影院观看电影《封神榜》，恰好买到了六张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（）A.360 B.480 C.600 D.720〖答案〗B〖解析〗由题意，甲、乙、丙等六人的全排列，共有种不同的排法，其中甲、乙、丙三人的全排列有种不同的排法，其中甲、乙在丙的同侧有：甲乙丙、乙甲丙、丙甲乙，丙乙甲，共4种排法，所以甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为种.故选：B.7.已知正方体的棱长为2，则以点为球心，为半径的球面与平面的交线长为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设点到平面的距离为，因为，所以，因为正方体的棱长为2，所以等边的边长为，所以，所以，解得，所以点为球心，为半径的球面与平面的交线是以为半径的圆，所以交线长为，故选：C.8.对，当时，，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，当时，则等价于，即等价于，即等价于，即等价于，令，，即等价于对，当时，，即函数在上单调递减，即对，，即，由，则，所以，所以实数的取值范围是．故选：D．二、选择题9.下图为甲、乙两人在同一星期内每日步数的折线统计图，则（）A.这一星期内甲的日步数的中位数为11600B.这一星期内甲的日步数的极差大于乙的日步数的极差C.这一星期内乙的日步数的方差大于甲的日步数的方差D.这一星期内乙的日步数的上四分位数是7030〖答案〗AB〖解析〗对于A：甲的步数：16000，7965，12700，2435，16800，9500，11600.从小到大排列为：2435，7965，9500，11600，12700，16000，16800,中位数是11600.故A正确；对于B：这一星期内甲的日步数的极差,这一星期内乙的日步数的极差,这一星期内甲的日步数的极差大于乙的日步数的极差,故B正确；对于C：由图知甲的波动程度越大，故方差大故C错误；乙的步数从小到大排列为：5340，7030，10060，11600，12300，12970，14200，，故这一星期内乙的日步数上四分位数是12970，故D错误.故选：AB.10.已知事件A，B，且，则（）A.如果，那么B.如果，那么C.如果A与B相互独立，那么D.如果A与B相互独立，那么〖答案〗ABD〖解析〗A：由，则，正确；B：由，则，正确；C：如果A与B相互独立，则，，错误；D：由C分析及事件关系知：，正确.故选：ABD.11.已知函数的定义域为，且，函数的图像关于点对称，，则（）A.是偶函数 B.的图像关于直线对称C. D.〖答案〗BCD〖解析〗因为函数的图像关于点对称，所以的图像关于原点对称，即是奇函数，故A错误；因为，所以令得，又因为是奇函数，所以，所以，即，所以的图像关于直线对称，故B正确；因为，，是奇函数，所以，故C正确；因为，所以的周期为8，又，，所以，故D正确；故选：BCD.12.已知，则下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗因为，所以，，因为，所以，即，故A正确；因为，，所以，故B正确；因为，因为，故，故，故，故不正确.故C错误；因为，故D正确.故选：ABD.三、填空题13.在二项式的展开式中，常数项是______．〖答案〗〖解析〗其展开式第项为，当，即时，展开式第项为常数项，此时，故〖答案〗：14.已知同一平面内的单位向量，满足，则______．〖答案〗〖解析〗因为，所以，两边平方得，因为均是单位向量，所以，所以，所以，所以.故〖答案〗为：.15.已知随机变量，，且，，则______.〖答案〗〖解析〗由题意，，，，又，故，即，解得：.故〖答案〗为：16.已知直线与曲线和都相切，请写出符合条件的两条直线的方程：______，______．〖答案〗〖解析〗因为，，所以，，设直线与曲线和分别切于点，，所以切线方程分别为，，即，，因此，则，又，所以，化简得，解得或，当时，切线方程为，当时，切线方程为.故〖答案〗为：，.四、解答题17.市场监管部门统计了某网红饮品小店在2023年4月至8月的销售收入（单位：万元），得到以下数据：月份45678销售收入1012111220（1）根据表中所给数据，求出关于的线性回归方程，并估计2023年9月份该小店的销售收入；（2）为调查顾客对该小店的评价情况，随机抽查了200名顾客，得到如下列联表，请填写下面的列联表，并判断能否有的把握认为“顾客是否喜欢该网红饮品小店与性别有关联”．喜欢不喜欢总计男100女30总计110附：线性回归方程：，其中，，0.0100.0050.0016.6357.87910.828解：（1）由已知得：，，，，则关于的线性回归方程为，当时，，∴估计2023年9月份该小店的销售收入19万元．（2）因为200名顾客中男顾客有100名，则女顾客有100名，女顾客中不喜欢该网红饮品小店有30名，则喜欢的有70名，200名顾客中喜欢该网红饮品小店的有110名，则男顾客中喜欢的有40名，不喜欢的有60名，则2×2列联表如下所示：喜欢不喜欢总计男4060100女7030100总计11090200根据列联表中数据，，所以有的把握认为“顾客是否喜欢该网红饮品小店与性别有关联”．18.设为实数，函数，.（1）求的极值；（2）对于，，都有，试求实数的取值范围.（1）解：函数的定义域为，，令，可得或，列表如下：增极大值减极小值增故函数的极大值为，极小值为.（2）解：对于，，都有，则.由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，故当时，，因为，且，则且不恒为零，故函数在上单调递增，故，由题意可得，故.19.如图，直三棱柱中，，平面平面．（1）求证：；（2）求二面角的正弦值．（1）证明：如图所示，过点作于点，因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，又因为平面，所以，由三棱柱为直三棱柱，可得平面，因为平面，所以，又因为，且平面，所以平面，因为平面，所以.（2）解：如图所示，以点为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为，可得，则,设平面的法向量为，则，取，可得，所以，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，则，设二面角平面角为为锐角，可得，所以，即二面角的正弦值为.20.第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举办．中国田径队拟派出甲、乙、丙三人参加男子100米比赛．比赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛和半决赛都获得晋级才能进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中晋级的概率均