2024届河南省商丘市部分学校高三上学期9月质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省商丘市部分学校2024届高三上学期9月质量检测数学试题一、选择题1.已知集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，故是的真子集，故，，，，故A，B，D均错误，C正确.故选：C.2.下列求导正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，故A错误；，故B错误；，故C错误；，故D正确.故选:D.3.已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（）A. B. C.2 D.〖答案〗A〖解析〗因为为幂函数，所以，解得，或，又的图象与坐标轴无公共点，故，所以，故，所以.故选:A.4.2023年8月6日2时33分，山东平原县发生里氏5.5级地震，8月8日3时28分，菏泽市牡丹区发生2.6级地震，短时间内的两次地震引起了人们对地震灾害和避险方法的关注.地震发生时会释放大量的能量，这些能量是造成地震灾害的元凶.研究表明地震释放的能量E（单位：焦耳）的常用对数与震级M之间满足线性关系，若4级地震所释放的能量为焦耳，6级地震所释放的能量为焦耳，则这次平原县发生的地震所释放的能量约为（）（参考数据：，）A.焦耳 B.焦耳C.焦耳 D.焦耳〖答案〗D〖解析〗由题意可设，则，解得，所以，所以，所以当时，焦耳.故选:D.5.已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（）A. B.或C. D.或〖答案〗C〖解析〗由函数的定义域为R，得，恒成立.当时，恒成立；当时，，解得综上所述，实数a的取值范围为.故选：C.6.已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意得函数在上单调递减，且在上恒成立，所以，解得，故a的取值范围是.故选；B.7.“”是“是奇函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗当时，，由得，则的定义域关于原点对称，又，则是奇函数，故充分性成立；若是奇函数，则，即，所以，则，故，所以，故，不一定推得，从而必要性不成立；所以“”是“是奇函数”的充分不必要条件.故选：A.8.若，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗令，则当时，，当时，即函数在上单调递减，在上单调递增，由图象易知，令，则由于函数在上单调递减，，则在上有唯一解，故在上有唯一解即当时，，则函数在上单调递减即，即故选：C.二、选择题9.已知实数a，b，c满足，则（）A. B.C D.〖答案〗BCD〖解析〗因为，所以，，故A错误；因为函数在上单调递减，因为，所以，故B正确；因为，所以，故C正确；因为，所以，，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确.故选：BCD.10.存在定义在R上的函数，满足对任意，使得下列等式成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗对于A，令，则，则，故，唯一确定，故A成立；对于B，令，则，令，则，与函数定义不符，故B不成立；对于C，令，则，令，则，与函数定义不符，故C不成立；对于D：，，唯一确定，符合函数定义，故D成立.故选：AD.11.已知函数，，则（）A.在上单调递增 B.在上单调递减C.，， D.，，〖答案〗AC〖解析〗，即，当时，，故在上单调递增，故A正确，B错误；令，则，因为在上单调递增，又，所以所以，所以在上单调递增，所以，，所以，故C正确，D错误.故选：AC.12.已知函数的定义域为R，且是奇函数，是偶函数，设函数，则（）A.B.当时，C.若对任意，恒成立，则实数t的最大值为D.若在内的根有，，…，，则〖答案〗ACD〖解析〗由是奇函数，是偶函数，得，解得，所以，故A正确；由，当时，，所以；当时，；当时，，故B错误；以此类推，的图像如图：当时，，由，得，解得或，又，恒成立，所以，所以实数t的最大值为，故C正确；在内的根为曲线与交点的横坐标，由图知二者有四个交点，且分别交于直线和对称，故，故D正确.故选：ACD.三、填空题13.命题“矩形的对角线相等”的否定为___________.〖答案〗存在一个矩形，其对角线不相等（〖答案〗不唯一，只要否定正确即可）〖解析〗由全称量词命题的否定为存在量词命题，可得命题“矩形的对角线相等”的否定为“存在一个矩形，其对角线不相等”（〖答案〗不唯一，只要否定正确即可）.故〖答案〗为：存在一个矩形，其对角线不相等（〖答案〗不唯一，只要否定正确即可）.14.“以直代曲”是微积分中最基本、最朴素的数学思想方法.在切点附近，用曲线在该点处的切线近似代替曲线就是这一思想的典型应用.曲线在处的切线方程为_____，已知，利用上述“切线近似代替曲线”的思想计算所得的结果为________.（结果用分数表示）〖答案〗〖解析〗由，得，所以曲线在点处的切线斜率，所以切线方程为.由题意知附近，，所以，所以，即.故〖答案〗为：，15.已知，，直线与曲线相切，则的最小值为_______.〖答案〗8〖解析〗设切点为，因为，所以，得，所以，即，所以，，当且仅当，即时，取最小值，所以的最小值为8.故〖答案〗为：8.16.若函数的最小值为0，则实数a的最大值为______.〖答案〗〖解析〗由题意知，令，原函数变为.令，则，易知当，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，即对于，，即，当且仅当时取最小值，所以当，取得最小值0，即只需方程有解即可；也即函数与函数图象有交点即可；令，则，当时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减，所以，在同一坐标系下画出两函数图象如下图所示：即即满足题意；所以.故〖答案〗为：.三、解答题17.已知集合，定义在集合A上的两个函数和的值域分别为集合B和集合C.（1）若，求，；（2）若，求实数a的取值范围.（1）由题意知，故，由于为单调递增函数，所以.解：（1）当时，，，，所以，（2）当时，，又，故，解得，与相矛盾；当时，，又，故，解得，所以；当时，，又，故，解得，所以.综上所述，实数a取值范围为.18.求下列函数的值域.（1）；（2）；（3）.解：（1）令，则，，所以原函数变为，可知当时，，所以原函数的值域为.（2）由题意知函数的定义域为，，令，易知其在上单调递增，所以，可知，所以原函数的值域为.（3）由题意知，函数的定义域为，且，因为，当时，则，可得，即，又因为，可得，即函数的值域为.19.已知函数，.（1）判断的奇偶性；（2）若函数在和处取得极值，且关于x的方程有3个不同的实根，求实数m的取值范围.解：（1）因为，所以图像的对称轴为直线，所以时，图像的对称轴为y轴，此时为偶函数；时，，，则，且，所以为非奇非偶函数.（2）由题意知，所以，因为在和处取得极值，所以.解得，所以，的定义域为，.令，得，或；令，得，所以在及上单调递增，在上单调递减，所以，，又当时，；当时，，要使有3个不同的实数根，当且仅当，故实数m的取值范围为.20.已知函数，（a，）.（1）若，解不等式；（2）若，，对任意实数x恒成立，求k的取值范围.解：（1）由，得，又，，所以，所以，所以，，，易知当时，由于单调递增，单调递减，所以为单调递增函数，故，所以在上单调递增，又，且，，所以，即，所以，或，解得，或，或.故原不等式的解集为.（2）因为，，所以，，所以，，即，所以，设，则，所以，因为，易知在上单调递增，所以，所以，所以，所以，即k的取值范围为.21.已知函数，.（1）若存在极值，求m的取值范围.（2）若关于x的不等式在区间上恒成立，求实数a的取值范围.解：（1），定义域为，.当时，恒成立，所以在单调递增，不存在极值.当，令，解得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在存在一个极小值点，无极大值点.综上所述，m的取值范围为.（2）由题知原不等式，可化为，当时，恒成立，当时，，由（1）知当时，函数在处有最小值1，，即，因为，所以，所以，即，因为，所以，综上所述，实数a的取值范围为.22.已知函数.（1）讨论的极值点的个数；（2）若恰有三个极值点，，（），且，求的最大值.解：（1）的定义域为，.令，则，易得在上单调递减，在上单调递增，所以.①当时，，当且仅当，时取等号，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以仅在处取得极值，共一个极值点；②当时，，又，，且，令，则，所以在上单调递减，所以，所以，由零点存在定理和的单调性，在和上各有唯一零点，分别设为m，n.当时，，，；当时，，，；当时，，，；当时，，，，所以在，上单调递减，在，上单调递增，所以在，处取得极小值，在处取得极大值，共3个极值点.综上所述，当时，有三个极值点，当时，仅有一个极值.（2）因为恰有三个极值点，，（），由（1）知，，，由，两式相除得到.令，则，，，得，，又，所以，则.令，其中，则，令，则，所以在上单调递增，则当时，，即，故在上单调递增，所以当时，，故的最大值为.河南省商丘市部分学校2024届高三上学期9月质量检测数学试题一、选择题1.已知集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，故是的真子集，故，，，，故A，B，D均错误，C正确.故选：C.2.下列求导正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，故A错误；，故B错误；，故C错误；，故D正确.故选:D.3.已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（）A. B. C.2 D.〖答案〗A〖解析〗因为为幂函数，所以，解得，或，又的图象与坐标轴无公共点，故，所以，故，所以.故选:A.4.2023年8月6日2时33分，山东平原县发生里氏5.5级地震，8月8日3时28分，菏泽市牡丹区发生2.6级地震，短时间内的两次地震引起了人们对地震灾害和避险方法的关注.地震发生时会释放大量的能量，这些能量是造成地震灾害的元凶.研究表明地震释放的能量E（单位：焦耳）的常用对数与震级M之间满足线性关系，若4级地震所释放的能量为焦耳，6级地震所释放的能量为焦耳，则这次平原县发生的地震所释放的能量约为（）（参考数据：，）A.焦耳 B.焦耳C.焦耳 D.焦耳〖答案〗D〖解析〗由题意可设，则，解得，所以，所以，所以当时，焦耳.故选:D.5.已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（）A. B.或C. D.或〖答案〗C〖解析〗由函数的定义域为R，得，恒成立.当时，恒成立；当时，，解得综上所述，实数a的取值范围为.故选：C.6.已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意得函数在上单调递减，且在上恒成立，所以，解得，故a的取值范围是.故选；B.7.“”是“是奇函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗当时，，由得，则的定义域关于原点对称，又，则是奇函数，故充分性成立；若是奇函数，则，即，所以，则，故，所以，故，不一定推得，从而必要性不成立；所以“”是“是奇函数”的充分不必要条件.故选：A.8.若，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗令，则当时，，当时，即函数在上单调递减，在上单调递增，由图象易知，令，则由于函数在上单调递减，，则在上有唯一解，故在上有唯一解即当时，，则函数在上单调递减即，即故选：C.二、选择题9.已知实数a，b，c满足，则（）A. B.C D.〖答案〗BCD〖解析〗因为，所以，，故A错误；因为函数在上单调递减，因为，所以，故B正确；因为，所以，故C正确；因为，所以，，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确.故选：BCD.10.存在定义在R上的函数，满足对任意，使得下列等式成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗对于A，令，则，则，故，唯一确定，故A成立；对于B，令，则，令，则，与函数定义不符，故B不成立；对于C，令，则，令，则，与函数定义不符，故C不成立；对于D：，，唯一确定，符合函数定义，故D成立.故选：AD.11.已知函数，，则（）A.在上单调递增 B.在上单调递减C.，， D.，，〖答案〗AC〖解析〗，即，当时，，故在上单调递增，故A正确，B错误；令，则，因为在上单调递增，又，所以所以，所以在上单调递增，所以，，所以，故C正确，D错误.故选：AC.12.已知函数的定义域为R，且是奇函数，是偶函数，设函数，则（）A.B.当时，C.若对任意，恒成立，则实数t的最大值为D.若在内的根有，，…，，则〖答案〗ACD〖解析〗由是奇函数，是偶函数，得，解得，所以，故A正确；由，当时，，所以；当时，；当时，，故B错误；以此类推，的图像如图：当时，，由，得，解得或，又，恒成立，所以，所以实数t的最大值为，故C正确；在内的根为曲线与交点的横坐标，由图知二者有四个交点，且分别交于直线和对称，故，故D正确.故选：ACD.三、填空题13.命题“矩形的对角线相等”的否定为___________.〖答案〗存在一个矩形，其对角线不相等（〖答案〗不唯一，只要否定正确即可）〖解析〗由全称量词命题的否定为存在量词命题，可得命题“矩形的对角线相等”的否定为“存在一个矩形，其对角线不相等”（〖答案〗不唯一，只要否定正确即可）.故〖答案〗为：存在一个矩形，其对角线不相等（〖答案〗不唯一，只要否定正确即可）.14.“以直代曲”是微积分中最基本、最朴素的数学思想方法.在切点附近，用曲线在该点处的切线近似代替曲线就是这一思想的典型应用.曲线在处的切线方程为_____，已知，利用上述“切线近似代替曲线”的思想计算所得的结果为________.（结果用分数表示）〖答案〗〖解析〗由，得，所以曲线在点处的切线斜率，所以切线方程为.由题意知附近，，所以，所以，即.故〖答案〗为：，15.已知，，直线与曲线相切，则的最小值为_______.〖答案〗8〖解析〗设切点为，因为，所以，得，所以，即，所以，，当且仅当，即时，取最小值，所以的最小值为8.故〖答案〗为：8.16.若函数的最小值为0，则实数a的最大值为______.〖答案〗〖解析〗由题意知，令，原函数变为.令，则，易知当，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，即对于，，即，当且仅当时取最小值，所以当，取得最小值0，即只需方程有解即可；也即函数与函数图象有交点即可；令，则，当时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减，所以，在同一坐标系下画出两函数图象如下图所示：即即满足题意；所以.故〖答案〗为：.三、解答题17.已知集合，定义在集合A上的两个函数和的值域分别为集合B和集合C.（1）若，求，；（2）若，求实数a的取值范围.（1）由题意知，故，由于为单调递增函数，所以.解：（1）当时，，，，所以，（2）当时，，又，故，解得，与相矛盾；当时，，又，故，解得，所以；当时，，又，故，解得，所以.综上所述，实数a取值范围为.18.求下列函数的值域.（1）；（2）；（3）.解：（1）令，则，，所以原函数变为，可知当时，，所以原函数的值域为.（2）由题意知函数的定义域为，，令，易知其在上单调递增，所以，可知，所以原函数的值域为.（3）由题意知，函数的定义域为，且，因为，当时，则，可得，即，又因为，可得，即函数的值域为.19.已知函数，.（1）判断的奇偶性；（2）若函数在和处取得极值，且关于x的方程有3个不同的实根，求实数m的取值范围.解：（1）因为，所以图像的对称轴为直线，所以时，图像的对称轴为y轴，此时为偶函数；时，，，则，且，所以为非奇非偶函数.（2）由题意知，所以，因为在和处取得极值，所以.解得，所以，的定义域为，.令，得，或；令，得，所以在及上单调递增，在上单调递减，所以，，又当时，；当时，，要使有3个不同的实数根，当且仅当，故实数m的取值范围为.20.已知函数，（a，）.（1）若，解不等式；（2）若，，对任意实数x恒成立，求k的取值范围.解：（1）由，得，又，，所以，所以，所以