导数与函数的单调性课件-2025届高三数学一轮复习

第三章一元函数的导数及其应用第2课时导数与函数的单调性考试要求结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．链接教材夯基固本第2课时导数与函数的单调性1．函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)>0f(x)在区间(a，b)上________f′(x)<0f(x)在区间(a，b)上________f′(x)＝0f(x)在区间(a，b)上是________单调递增单调递减常数函数2．利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的______；第2步，求出导数f′(x)的____；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．[常用结论]1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)<0有解．3．f′(x)＞0在(a，b)上恒成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件，举例：f(x)＝x3在R上单调递增，但f′(0)＝0.定义域零点一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性． (

)(2)若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)上单调递减． (

)(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增． (

)(4)函数f(x)＝x－sinx在R上单调递增． (

)√√×√二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第二册P103复习参考题5T3改编)f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是(

)A

B

C

DC

[由f′(x)的图象知，当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，∴f(x)单调递增；当x∈(0，x1)时，f′(x)<0，∴f(x)单调递减；当x∈(x1，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)单调递增．故选C.]

(0，1)3典例精研核心考点第2课时导数与函数的单调性

名师点评

利用导函数求函数单调区间的注意点(1)必须先求函数定义域，单调区间是定义域的子集．(2)正确求导函数．(3)当f′(x)＝0无解时，可根据f′(x)的结构特征确定f′(x)的符号．(4)所求函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”及“和”隔开．

(0，1)

[拓展变式]若将本例中参数a的取值范围改为a∈R，其他条件不变，试讨论f(x)的单调性．

【教师备选资源】讨论下列函数的单调性．(1)f(x)＝x－alnx；(2)g(x)＝(x－a－1)ex－(x－a)2.

(2)g(x)的定义域为R，g′(x)＝(x－a)ex－2(x－a)＝(x－a)(ex－2)，令g′(x)＝0，得x＝a或x＝ln2.①当a>ln2时，x∈(－∞，ln2)∪(a，＋∞)时，g′(x)>0，x∈(ln2，a)时，g′(x)<0，∴g(x)在(－∞，ln2)，(a，＋∞)上单调递增，在(ln2，a)上单调递减．②当a＝ln2时，g′(x)≥0恒成立，∴g(x)在R上单调递增．③当a<ln2时，x∈(－∞，a)∪(ln2，＋∞)时，g′(x)>0，x∈(a，ln2)时，g′(x)<0，∴g(x)在(－∞，a)，(ln2，＋∞)上单调递增，在(a，ln2)上单调递减．综上，当a>ln2时，g(x)在(－∞，ln2)，(a，＋∞)上单调递增，在(ln2，a)上单调递减；当a＝ln2时，g(x)在R上单调递增；当a<ln2时，g(x)在(－∞，a)，(ln2，＋∞)上单调递增，在(a，ln2)上单调递减．名师点评

(1)对于含参数的函数的单调性，常见的分类讨论点按讨论的先后顺序有以下三个：分类讨论点1(根的有无讨论)：求导后，考虑f′(x)＝0是否有实数根，从而引起分类讨论；分类讨论点2(根在不在定义域内讨论)：求导后，f′(x)＝0有实数根，但不清楚f′(x)＝0的实数根是否落在定义域内，从而引起分类讨论；分类讨论点3(根的大小的讨论)：求导后，f′(x)＝0有实数根，f′(x)＝0的实数根也落在定义域内，但不清楚这些实数根的大小关系，从而引起分类讨论．(2)求出f′(x)后，先观察f′(x)的解析式的特征(当参数取某些特殊值或在某一范围内时，f′(x)≥0(≤0)恒成立)，再解不等式．

【教师备选资源】已知函数f(x)＝(mx2－3x－3)ex，当m<0时，讨论函数f(x)的单调性．

考点三函数单调性的应用考向1比较大小或解不等式[典例3]

(1)已知a<5且ae5＝5ea，b<4且be4＝4eb，c<3且ce3＝3ec，则(

)A．c<b<a

B．b<c<aC．a<c<b

D．a<b<c(2)(2024·重庆模拟)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)>0，且f(1)＝2，则f(ex)>2ex的解集为(

)A．(0，＋∞)

B．(ln2，＋∞)C．(1，＋∞)

D．(0，1)

名师点评

灵活构造函数，利用函数单调性比较大小或解抽象不等式．

(2)g(x)在[1，2]上存在单调递增区间，则g′(x)＞0在[1，2]上有解，即a＞－2x2－x在[1，2]上有解，∴a＞(－2x2－x)min，又(－2x2－x)min＝－10，∴a＞－10.∴实数a的取值范围为(－10，＋∞)．[拓展变式]

(1)(变条件)若函数g(x)在区间[1，2]上单调递减，求实数a的取值范围；(2)(变条件)若函数g(x)在区间[1，2]上不单调，求实数a的取值范围．

名师点评

根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．(2)f(x)在区间(a，b)上单调递增的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．但有时等号取不到或f′(x)＝0恒成立．(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．

(2)设h(x)＝f(x)－g(x)，则h′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，所以h(x)在R上单调递减，因