北京市牛栏山一中2024届高三下学期学期考前热身（三模）数学试题

2024北京牛栏山一中高三考前热身数学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数的虚部是（）A．1 B． C． D．2．已知集合，，，则（）A． B． C． D．3．已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则的展开式的各项系数之和为（）A． B． C． D．4．设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A．若，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则5．已知，分别是双曲线：（，）的两个焦点，为双曲线上一点，且，那么双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．6．已知无穷数列满足（为常数），为的前项和，则“”是“和都有最小项”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知函数则下列结论正确的是（）A．， B．，C．函数在上单调递增 D．函数的值域是8．已知直线：，为圆：上一动点，设到直线距离的最大值为，当最大时，的值为（）A． B． C． D．29．已知函数，图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到的图象，的部分图象如图所示，若，则等于（）A． B． C． D．10．某游戏开始时，有红色精灵个，蓝色精灵个．游戏规则是：任意点击两个精灵，若两精灵同色，则合并成一个红色精灵，若两精灵异色，则合并成一个蓝色精灵，当只剩一个精灵时，游戏结束．那么游戏结束时，剩下的精灵的颜色（）A．只与的奇偶性有关 B．只与的奇偶性有关C．与，的奇偶性都有关 D．与，的奇偶性都无关二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）已知抛物线上一点，则抛物线的准线方程为_________；点到焦点的距离为_________．12．（5分）已知向量，，与共线，则_________．13．（5分）农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：根据上表所提供信息，第_________号区域的总产量最大．14．（5分）已知函数，，，其中表示，中最大的数．（Ⅰ）若，则_________．（Ⅱ）若对恒成立，则的取值范围是_________．15．（5分）已知数列各项均为正数，且（，2，3，…），给出下列四个结论：①对任意，都有；②数列不可能为常数列；③若，则数列为递增数列；④若，则当时，．其中所有正确结论的序号是_________．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（14分）在中，已知．（1）求的大小；（2）在下面3个条件中选一个，使得唯一存在，并求其面积．①，；②，；③，．17．（14分）某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日的微信记步数信息，如图1是职工甲和职工乙微信记步数情况：（1）从3月2日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；（2）从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为，求的分布列及数学期望；（3）如图2是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名（按照从大到小排序）分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由）18．（14分）如图，在四棱锥中，平面，为等边二角形，，，平面交平面直线，，分别为棱，的中点．（1）求证：；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，若不存在，说明理由．19．（14分）已知．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）判断极值点个数，并说明理由；（3）解不等式．20．（14分）已知椭圆：的离心率为，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点，当直线与轴垂直时，．（1）求椭圆的标准方程；（2）当直线的斜率为时，在轴上是否存在一点（异于点），使轴上任意一点到直线与到直线的距离相等？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由．21．（15分）设是由个实数组成的行列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”（Ⅰ）数表如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；123101表1（Ⅱ）数表如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数的所有可能值；表2（Ⅲ）对由个实数组成的行列的任意一个数表，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【分析】由对应点坐标写出复数，结合复数除法运算化简复数即得虚部．【解答】解：由题意可得：，则，所以复数的虚部是．故选：B．【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．2．【分析】利用列表法求集合、，进而结合集合间的关系和运算逐项分析判断．【解答】解：集合，，，故．故选：A．【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题．3．【分析】利用二项式系数的性质建立方程求出的值，再令，即可求解．【解答】解：由已知可得，所以，令，则展开式的各项系数和为，故选：C．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．4．【分析】对于A，或；对于B，与相交或平行；对于C，与相交、平行或异面；对于D，由面面垂直的判定定理得．【解答】解：，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，对于A，若，，则或，故A错误；对于B，若，，，则与相交或平行，故B错误；对于C，若，，，则与相交、平行或异面，故C错误；对于D，若，，，则由面面垂直的判定定理得，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．5．【分析】由题意结合双曲线的定义和直角三角形的几何性质，列式运算可得其离心率的值．【解答】解：设双曲线的半焦距为，则，由题意可得：，，因为，整理得．故选：D．【点评】本题考查双曲线的几何性质，化归转化思想，属基础题．6．【分析】根据等差数列的通项公式和前项和的公式，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：，数列为等差数列，且公差为，①当时，若，时，数列为常数列，且，为减函数，无最小项，充分性不成立，②当和都有最小项，，，则或，，必要性成立，是和都有最小项的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等差数列的通项公式以及前项和公式是解决本题的关键．7．【分析】画出函数的图象，判断选项即可．【解答】解：分段函数的图象如图：可知：A不正确；，，B不正确；函数在上单调递增，所以C不正确；函数的值域是，所以D正确．不正确的选项为D．故选：D．【点评】本题考查函数的图象的应用，函数的值域以及函数的对称性的判断，考查计算能力．8．【分析】先得出直线过定点，再求出圆心坐标，由圆的对称性以及斜率公式得出的值．【解答】解：因为：，所以直线过定点，圆：可化为，则圆心，，由圆的对称性可知，当时，到直线距离的最大，则，．故选：A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，属于中档题．9．【分析】根据条件求出的解析式，利用向量关系建立方程，求出函数的周期，利用周期公式进行求解即可．【解答】解：已知函数，图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到的图象，则，由，得，，，则，过作轴于，则，，即周期，即，得，故选：A．【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质，求出函数的解析式，利用向量关系求出函数的周期是解决本题的关键，是中档题．10．【分析】推导出每碰一次，蓝色精灵的数量要么不变，要么减少2，从而每碰一次蓝色精灵数量的奇偶性不变．开始时，蓝色精灵有个，当是奇数时，最后剩下的只能是一个蓝色精灵；当是偶数时，最后剩下的只能是一个红色精灵．【解答】解：每碰一次，就少一个精灵，所以当最后只剩一个精灵时，碰了次，任意两个精灵相碰，有三种情况：第一种情况：红色＋红色→红色，此时红色精灵减少1个，蓝色精灵数量不变；第二种情况：蓝色＋蓝色→红色，此时红色精灵增加1个，蓝色精灵减少2个；第三种情况：红色＋蓝色→蓝色，此时红色精灵减少1个，蓝色精灵数量不变；根据以上分析可知，每碰一次，蓝色精灵的数量要么不变，要么减少2，也就是说，每碰一次蓝色精灵数量的奇偶性不变．开始时，蓝色精灵有个，当是奇数时，最后剩下的只能是一个蓝色精灵；当是偶数时，最后剩下的只能是一个红色精灵．游戏结束时，剩下的精灵的颜色只与的奇偶性有关．故选：B．【点评】本题考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．【分析】由抛物线方程求其准线方程，再结合抛物线定义求点到焦点的距离．【解答】解：抛物线的准线方程为，焦点的坐标为，因为点在抛物线上，由抛物线定义可得点到焦点的距离等于点到准线的距离，所以点到焦点的距离为2．故答案为：，2．【点评】本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．12．【分析】利用向量的坐标运算，向量的求模公式求解即可．【解答】解：，，，与共线，，，，，则，故答案为：．【点评】本题考查向量的坐标运算，向量的求模公式，属于基础题．13．【分析】分别求出种植密度函数和单株产量函数的解析式，再求总产量的函数解析式，由此确定其最大值及取最大值的条件即可．【解答】解：设区域代号为，种植密度为，单株产量为，则，由图象可得种植密度是区域代号的一次函数，故设，，由已知函数的图象经过点，，所以，解得，所以，由图象可得单株产量是区域代号的一次函数，故可设，，观察图象可得当时，，当时，，所以，解得，所以，所以总产量，当时，函数有最大值，即5号区域总产量最大，最大值为3.456．故答案为：5．【点评】本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于中档题．14．【分析】（1）由，其中表示，中最大的数．则为取大函数，通常作图，借助图象观察即可，的图象取各段上方图象即可，（2）对恒成立，由取大函数可知，只需将，将左平移个单位，由图象观察可知：只需即可，可得解【解答】解（1）由，其中表示，中最大的数．则为取大函数，通常作图，借助图象观察即可，的图象取各段上方图象即可，由图（1）可知：，故答案为：（2）由图（2）可知：对恒成立，由取大函数可知，只需将，将左平移个单位，且即可，即，又由图可知，即，又由图可知，所以的取值范围是：，故答案为：．【点评】本题考查了取大函数的有关问题，借助图象，利用数形结合的思想解题，属难度较大的题型．15．【分析】直接利用，整理得，进一步确定①的结论；利用假设法的应用进一步整理得，即，进一步确定②结论；利用相邻项的差，进一步确定数列的单调性，最后确定③④的结论．【解答】解：对于①：数列各项均为正数，且（，2，3，…），整理得，对于任意的，则，则，即对任意的，都有，故①正确；对于②：不妨设数列为常数列，则，由于，故，整理得，即时，数列为常数列，故②错误；对于③：，又，则，即，同理当时，都有，即，即，故数列为递增数列，故③正确；对于④：由于，则，即，同理当时，都有，又，即数列为递减数列，故④正确．故答案为：①③．【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的单调性，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．【分析】（1）根据已知条件，结合正弦定理，以及三角形内角和的性质，即可求解．（2）选①，结合余弦定理，即可求解．选②，结合正弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解．选③，结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解．【解答】解：（1），由正弦定理可得，①，②，联立①②可得，，，．（2）选①，，，即，或，不唯一存在，故①不能选，选②，，，即，，，，，，选③，，即，或（舍），．【点评】本题主要考查解二角形，掌握正弦定理，以及余弦定理是解本题的关键，属于中档题．17．【分析】（1）根据古典概型公式求解即可．（2）根据题意得到，1，2，，，，再写出分布列数学期望即可．（3）根据折线图和频率分布直方图求解即可．【解答】解：（1）令时间为“职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000”，从3月2日至3月7日这6天中，3月2日、5日、7日这3天中，甲乙微信记步数都不低于10000，故．（2）由（1）知：，1，2，，，，的分布列为：012（3）根据频率分布直方图知：微信记步数落在，，，，（单位：千步）区间内的人数依次为人，人，人，人，人，由甲微信记步数排名第68，可知当天甲微信记步数在15000到20000万之间，根据折线图知：只有3月2日，3月3日，3月7日．由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000到10000万之间，根据折线图知：只有3月3日和3月6日，所以3月3日符合要求．【点评】本题考查了频率分布直方图，折线图等识图能力，考查了古典概率模型的概率计算，超几何分布等的计算，还考查了推理能力．属于中档题．18．【分析】（1）根据线面平行的判定定理和性质定理分析证明；（2）根据题意可在平面，建系，利用空间向量求面面夹角；（3）设，求点的坐标，根据线面平行的向量关系分析运算．【解答】解：（1）证明：因为，平面，平面，所以平面，又因为平面，平面平面直线，所以．（2）取的中点，连接，，由题意可得：，且，则为平行四边形，可得，且平面，则平面，由平面，则，又因为为等边三角形，则为的中点，可得，，，平面，则平面，以，，所在直线分别为，，轴，建系如图，则，，，，，，，所以，，设平面的法向量，则，取，易知平面的法向量，平面与平面所成锐二面角的余弦值为：所以；（3）由（2）可得：，设，，则，可得，解得，即，可得，若平面，则，可得，解得，所以存在点，使得平面，此时．【点评】本题考查线面平行的判定定理与性质定理，向量法求解面面角问题，向量法求解线面平行问题，属中档题．19．【分析】（1）根据导数的几何意义求切线的斜率，利用点斜式求切线方程；（2）利用导数判断函数的单调性，结合零点存在性定理求零点，并判断其两侧的导数值的正负，由此确定函数的极值点的个数；（3）根据函数的单调性，极值及确定不等式的解集．【解答】解：（1）因为函数，所以导函数，所以，，所以曲线在点处的切线斜率为1，所以曲线在点处的切线方程为．（2）设，则，今，可得，又为上的增函数，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，又，，，所以存在，使得，当时，，即，函数在上单调递增，当时，，即，函数在上单调递减，当时，，即，函数在上单调递增，所以为函数的极大值点，为函数的极小值点，所以函数有两个极值点；（3）因为函数在上单调递增，，，所以当时，不等式的解为，因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在上的最小值为，因为，，所以，所以当时，不等式的解为，所以不等式的解集为．【点评】本题考查导数的综合应用，利用导数求函数的切线，利用导数研究函数的单调性与极值，利用导数解不等式，属难题．20．【分析】（1）根据题意列式求解，，，即可得结果；（2）根据题意分析可得轴为直线与直线的对称轴，根据斜率关系结合韦达定理运算求解．【解答】解：（1）设椭圆的半焦距为，由题意可得，解得，所以椭圆的标准方程为．（2）由（1）可得：，根据题意可设直线：，，，，联立方程，消去得，则，可得，，①由题意可知轴为直线与直线的对称轴，则，可得，因为，可得，整理得，②将①代入②得：，解得，所以存在点，使轴上任意一点到直线与到直线的距离相等，此时．【点评】本题主要考查直线与椭圆的综合，考查转化能力，属于难题．21．【分析】解：（Ⅰ）根据题中一次“操作”的含义，将原数表改变第4列，再改变第2行即可；或者改变第2行，改变第4列也可得（写出一种即可）（Ⅱ）每一列所有数之和分别为2，0，，0，每一行所有数之和分别为，1；①如果操作第三列，第一行之和为，第二行之和为，列出不等关系解得，；②如果操作第一行，可解得值；（Ⅲ）按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和），由负整数变为正整数，