第03讲 二次函数y=ax²+c的图像和性质（知识解读+真题演练+课后巩固）（原卷版）

第3讲二次函数的相图像合性质会用描点法画出二次函数y=ax²+c（a≠0）的图像，并结合图像理解抛物线、对称轴、顶点坐标及开口方向等概念；掌握二次函数y=ax²+c（a≠0）性质，掌握y=ax²（a≠0）与y=ax²+c（a≠0）之间联系。知识点1y=ax²+c的图像性质：【问题1】画出函数y＝x2﹣1的图象．【解答】解：∵次函数y＝x2﹣1的顶点坐标为：（0，﹣1），当y＝0时x＝1或x＝﹣1，∴此图象与x轴的交点坐标为（1，0），（﹣1，0），∴其图象如图所示：二次函数y＝x2﹣1的性质：（1）y=x2﹣1图像是一条抛物线（2）关于y轴对称（3）开口向上（4）顶点（0，-1）（5）当x＜0时，y随x的增大而减少，当x＞0时，y随x的增大而增大；（6）有最低点.【问题2】画出函数y＝﹣x2+1的图象．【解答】解：列表如下：x…﹣3﹣2﹣10123…y…﹣8﹣3010﹣3﹣8…描点、连线如图．二次函数y＝-x2+1的性质：（1）y=-x2+1图像是一条抛物线（2）关于y轴对称（3）开口向下（4）顶点（0，1）（5）当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减少；（6）有最高点.总结：y=ax²+c的图像的性质知识点2：y=ax²（a≠0）与y=ax²+c（a≠0）之间的关系【题型1二次函数y=ax²+c顶点与对称轴问题】【典例1】（2023•南海区模拟）抛物线y＝﹣x2+1的对称轴是（）A．直线x＝﹣1 B．直线x＝0 C．直线x＝1 D．直线【变式1】（2021秋•汕尾期末）抛物线y＝2x2﹣1的对称轴是（）A．直线x＝﹣1 B．直线 C．x轴 D．y轴【典例2】（2022秋•丰南区校级期末）二次函数y＝x2+2的图象的顶点坐标是（）A．（0，2） B．（0，﹣2） C．（2，0） D．（﹣2，0）【变式2】（2022秋•定西期末）抛物线y＝x2﹣9的顶点坐标是（）A．（0，﹣9） B．（﹣3，0） C．（0，9） D．（3，0）【题型2二次函数y=ax²+c图像性质】【典例3】（2022秋•九龙坡区期末）关于抛物线y＝﹣x2+2，下列说法正确的是（）A．开口向上 B．对称轴是y轴 C．有最小值 D．当x＜0时，函数y随x的增大而减小【变式3-1】（2022秋•靖江市期末）下列对于二次函数y＝﹣x2+1图象的描述中，正确的是（）A．开口向上 B．对称轴是y轴 C．图象有最低点 D．在对称轴右侧的图象从左往右呈上升趋势【变式3-2】（2021秋•河西区校级月考）与抛物线y＝﹣x2+1的顶点相同、形状相同且开口方向相反的抛物线所对应的函数表达式为（）A．y＝﹣x2 B．y＝x2﹣1 C．y＝﹣x2﹣1 D．y＝x2+1【题型2二次函数y=ax²+c中y值大小比较】【典例4】（2023•虹口区一模）如果点A（﹣2，y1）与点B（﹣3，y2）都在抛物线y＝x2+k上，那么y1和y2的大小关系是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．不能确定【变式4-1】（2022秋•忠县期末）若三点（﹣2，y1），（1，y2），（3，y3）都在二次函数y＝﹣x2+c的图象上，则（）A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y1＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2【题型3二次函数y=ax²平移规律】【典例5】（2023•宾阳县一模）抛物线y＝x2向上平移2个单位，所得抛物线的解析式是（）A．y＝x2+2 B．y＝x2﹣2 C．y＝（x+2）2 D．y＝（x﹣2）2【变式5】（2022秋•铜梁区校级期末）将二次函数y＝﹣x2的图象向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式是（）A．y＝﹣x2+3 B．y＝﹣x2﹣3C．y＝﹣（x+3）2D．y＝﹣（x﹣3）2【题型4二次函数y=ax²与一次函数综合问题】【典例6】（2022秋•赛罕区校级期末）在同一坐标系中，一次函数y＝﹣mx+n2与二次函数y＝x2+m的图象可能是（）A． B． C． D．【变式6-1】（2022秋•宁阳县期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（）A． B． C． D．【变式6-2】（2022秋•莲池区校级期末）一次函数y＝x﹣a与二次函数y＝﹣ax2+a在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）A． B． C． D．【题型5y=ax²（a≠0）与y=ax²+c（a≠0）之间的关系】【典例7】（2020九上·梅河口期末）已知，直线y=-2x+3与抛物线y=ax2相交于A、B两点，且A的坐标是（1）求a，m的值；（2）抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标．【变式7-1】（2020九上·南昌月考）已知点（3，13）在函数y＝ax2+b的图象上，当x＝﹣2时，y＝8．（1）求a，b的值；（2）如果点（6，m），（n，20）也在这个函数的图象上，求m与n的值．【变式7-2】（2021九上·深圳期中）已知y=(m+2)xm2+m-4+1（1）满足条件的m的值；（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？1．（2023•庐阳区一模）抛物线y＝3x2﹣5的顶点坐标是（）A．（0，﹣5） B．（0，0） C．（0，5） D．（3，﹣5）2．（2023•小店区校级模拟）对于二次函数y＝﹣x2+2，当x为x1和x2时，对应的函数值分别为y1和y2．若x1＞x2＞0，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法比较3．（2023•庐阳区校级一模）二次函数y＝x2﹣2的图象经过点（a，b），则代数式b2+6a2的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．54．（2023•宁波模拟）下列图象中，函数y＝ax2﹣a（a≠0）与y＝ax+a的图象大致是（）A． B． C． D．5．（2023•青浦区一模）抛物线y＝3x2﹣1在y轴右侧的部分是．（填“上升”或“下降”）6．（2021.深圳）抛物线y=3x2，A．都关于y轴对称 B．开口方向相同C．都经过原点 D．互相可以通过平移得到7．（2021.佛山）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y=13x2于B，C两点，则BC的长为。8.（2021.百色）如图，两条抛物线y1=-12x2+1,y2=-12x2-1与分别过点（-2A．10 B．8 C．6 D．49．（2021.长沙）已知y=(m+2)xm2+m-4+1（1）满足条件的m的值；（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？1．（2022秋•曲阜市期末）二次函数y＝x2﹣2的顶点坐标是（）A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（2，0） D．（0，2）2．（2022秋•郊区期末）抛物线y＝﹣4x2+3的开口方向和顶点坐标分别是（）A．向上，（﹣4，3） B．向下，（﹣4，3） C．向下，（0，3） D．向上，（0，3）3．（2021.河池）下列各点在抛物线y=x2+1A．(0,1) B．(-1,0) C．(0,0) D．(1,1)4．（2021.云南）关于二次函数y=-2x2+1A．对称轴为直线x=1B．顶点坐标为（-2，1）C．可以由二次函数y=-2x2的图象向左平移D．在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降．5．（2021.浙江）二次函数y=2x2-3A．抛物线开口向下 B．抛物线与x轴有两个交点C．抛物线的对称轴是直线x=1 D．抛物线经过点（2,3）6．（2021.柳州）二次函数y＝x2的图象向下平移2个单位后得到函数解析式为（）A．y＝x2+2 B．y＝x2﹣2C．y＝（x﹣2）2 D．y＝（x+2）27．（2021.贵阳）抛物线y=2x2-1的图像经过点A(-3,y1)，B(1,y2)，C(4,y3)，则A．y1<y2<y3B．y18．（2022秋•利川市期末）设点（﹣1，y1），，（2，y3）是抛物线y＝﹣2x2+1上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y3＞y2＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y2＞y3 D．y2＞y3＞y19．（2022秋•宽城区校级期末）当a＜0，c＞0时，二次函数y＝ax2+c的图象大致是（）A． B． C． D．10．（2022秋•越秀区校级期末）在同一坐标系中，一次函数y＝ax+k与二次函数y＝kx2+a的图象