2024年高考第二次模拟考试卷：数学（全国卷）（理科）（全解全析）

2024年高考第二次模拟考试

数学（理科）•全解全析

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓

名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

4.测试范围：高考全部内容

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合4=伊y=log5（x-l）},集合3={yeZ|0W”3},则£A）C3=（）

A.（0,1）B.[0,1]C.0D.{0,1}

【答案】D

【分析】先表示出集合AB,再由交集和补集的运算得出结果即可.

【详解】集合A={x|y=log5（x-l）}={x|X>1},集合3={yeZ|0〈yW3}={0,l,2,3},

集合4A={x|x41},所以“A）c3={0,l}.

故选：D

2.设i为虚数单位，且z（l+i）=2,贝%=（）

A.-1-iB.1-iC.-1+iD.1+i

【答案】D

【分析】根据复数的除法运算求z,进而可得共轨复数.

【详解】由题意可得：2=币2=岛2（1—号i）=1一,

所以z=1+i.

故选：D.

3.若向量£出满足|〃|=4,|〃|=3,且（2a-3&.（2〃+万）=61,贝!J〃在〃上的投影向量为（）

1-172727

A.——bzB.——bC.—bD.——b

2333

【答案】D

【分析】由向量数量积的运算律可得分。=-6,再由投影向量的定义求〃在B上的投影向量.

【详解】由（2a-3b）・（2a+b）=4J-4〃为一3/?2=61,贝=

,.r»n11—1b—61,2.

由〃在b上的投影向重一：-----=-x-b=--b.

\b\\b\333

故选：D

S

4.已知等比数列｛%｝的前”项和为5"吗+电=12且4，%+6,生成等差数列，则詈为（）

A.244B.243C.242D.241

【答案】A

【分析】首先根据条件求公比，再代入等比数列的前〃项和公式，即可求解.

【详解】由题意可知,4+瞑=12且%+%=2（4+6）,

设等比数列的公比为4,

贝"％+%q2=2%q+%+%4,得g=3,

故选：A

5.第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生

将前往3个场馆A民C开展志愿服务工作.若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆A时,

场馆B仅有2名志愿者的概率为（）

【答案】B

2

【分析】首先得甲去场馆8或C的总数为150x1=100,进一步由组合数排列数即可得所求概率.

【详解】不考虑甲是否去场馆A,所有志愿者分配方案总数为

2

甲去场馆A,B,C的概率相等，所以甲去场馆3或C的总数为150x§=100,

甲不去场馆A,分两种情况讨论，

情形一，甲去场馆8,场馆8有两名志愿者共有C：C；M=24种;

情形二，甲去场馆C,场馆8场馆C均有两人共有C：C；=12种,

场馆B场馆A均有两人共有C：=6种，所以甲不去场馆A时,

24+12+64221

场馆B仅有2名志愿者的概率为告。=W=三

故选：B.

6.已知函数/(劝=皿6+劝-111(6-工)，则/(x)是()

A.奇函数，且在(0,e)上是增函数B.奇函数，且在(0,e)上是减函数

C.偶函数，且在Qe)上是增函数D.偶函数，且在Qe)上是减函数

【答案】A

【分析】求出函数的定义域，利用奇偶函数的定义及复合函数的单调性法则判断即可.

e-x>0

【详解】若函数/a)=ln(e+x)-ln(e-x)有意义，则e+x>。'解得Y0<e,

即函数/(x)的定义域为(-e,e),

因为/(一%)=ln(e-九)Tn(e+x)=—[ln(e+x)—ln(e—x)]=—/(x),所以函数九)是奇函数,

函数/(x)=ln(e+x)-ln(e-x)=In|e+X|=ln|-1+|,

Ve-x)Ie-x)

因为函数〃=-l+二上在(0,e)上递增，函数y=ln〃在定义域上递增，

e—x

所以函数/(X)在(0,e)上是增函数.

故选:A

1一兀

7.“直线无sin，+—y-l=O与尤+ycosd+l=0平行"是"。=—"的()

.2"4

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据两条直线平行，对应方程系数的关系求解，分两个方面判断即可.

【详角牟】若直线xsin9+；y—1=。与％+ycos6+l=0平行，

]_

易得:sin。wO,8sJwO,故：sin。_2-1，

1cos01

IIIJrJT

贝！Jsin0cos0=—sin2^=—,sin2^=1,2^=—+2kn(keZ),^=—+kn(kGZ)

得不到。故不是充分条件；

4

兀11

反之，当。=?时$皿。一2.一1成立，故直线xsin6+彳y-1=0与尤+ycos6+l=0平行，是必要

4—W2

1cos61~

条件；

故"直线xsind+—1y-l=0与无+ycosd+l=0平行"是"0=匕兀的必要不充分条件，

24

故选：B.

r22

8.已知双曲线C:「方=1(°>0*>0)的左、右焦点分别为耳，F?,A为C的右顶点，以它为直径

的圆与C的一条渐近线交于P,。两点，且NPAQ=亍，则双曲线C的离心率为（）

A.6B.浮C.&D.3

【答案】C

【分析】联立圆与渐近线方程，得到P（a,6）,Q（-a,-6）,进而得到/。4。=£,利用直线斜率得到

方程，求出6=2%得到离心率.

【详解】由题意得，以久工为直径的圆的方程为x2+y2=c2,A（«,0）,

b

渐近线方程为y=±±x,

a

x1+y2=c2

联立＜b，解得x=±a,

y=­x

、a

不妨令尸（a,h）,Q（—G-》）,

jr

故NQA尸=大，

2

因为NP4Q=乎，所以NOAQ=手一2=3，

4424

一b—07T

所以镰=q'=tan?=l,解得6=2°,

—a—a4

9.[+J-1]展开式中常数项为（）.

A.11B.-11C.8D.-7

【答案】B

【分析】将x+二看成一个整体，得至[]7；M=C（x+3）j（-l）’,再展开（x+J）j得到

XXX

4-r-3m=0,分别取值得到答案.

【详解】将尤+J看成一个整体，展开得到：

X

（尤+与）』的展开式为：

X

r-p厂tn4—r—m—2zn_厂m4—r—3m

，m+l=。4一/-X~/一/

取4——3加=0

当机=0时，r=4系数为：C：xC；x（-1）4=1

当〃?=1时，厂=1系数为：C>C'x(-1)1=-12

常数项为1-12=-11

故答案选B

【点睛】本题考查了二项式定理，将x+5看成整体展开，再用一次二项式展开是解题的关键，计

算较为复杂.

10.若函数〃x）=3cos[s+W（o>0）恒有〃*4〃2兀），且在一省上单调递减，贝U。的

值为（）

15115Tli

66666

【答案】D

【分析】由题意可得当x=2兀时，取得最大值，所以2%o+f7r=2E,可求出。="工1，再由

36

求出0的范围，即可得出答案.

【详解】由题意可得当x=2兀时，/（X）取得最大值，所以2n0+?7T=2E，（D=k-1-,keZ.

36

由“X）在「吟鼻上单调递减，得

一。5」

所以0<042.所以0或号.经检验，0=金或二均满足条件.

6666

故选：D.

11.在棱长为1的正方体ABCD-AB]GA中，E、/分别为AB、2c的中点，则下列说法不正确的

是（）

A.当三棱锥瓦-的所有顶点都在球0的表面1上时，球0的表面.积为3三jr

B.异面直线。2与37所成角的余弦值为平

c.点尸为正方形内一点，当。p〃平面瓦£尸时，0P的最小值为£1

D.过点2、E、F的平面截正方体ABCD-A4GA所得的截面周长为3夜+行

【答案】D

【分析】对于A：转化为长方体的外接球分析运算；对于B：根据异面直线夹角分析运算；对于C：

根据面面平行分析判断；对于D：根据平行关系求截面，进而可得周长.

【详解】对于A：三棱锥片-瓦小的外接球即为以8月、BE、M为邻边的长方体的外接球，

因为8瓦=1,BE=BF=g,

可得外接球的半径R=；+BE2+BF1=1Jl+；x2=?，

所以外接球的表面积s=4无代=4¥7r，故A正确；

2

对于B：因为。2〃2珥，则异面直线。，与耳尸所成角为N2与尸，且2月=1,BF=1,

2

可得BXF=JBB;+BF=A/1+^=—，所以cos/Bg尸=岖=述,

V42Bp5

所以，异面直线。2与耳产所成角的余弦值为寺，故B正确；

对于C：取4月、44、GA的中点/、Q、N,连接AAf、MN、QN、DN,,

由题意可得：AE//B\M,AE=B}M,则为平行四边形，所以与E//AM,

因为四边形4耳GR为正方形，M、N分别为A耳、GA的中点，则A、M=D、N,

所以，四边形A2NM为平行四边形，所以，MNHAR,MN=AR,

又因为AD〃4。，AD=\DX,可得MN=AD,

则4VWD为平行四边形，所以AM//DN,可得用E//DN,

因为BiEu平面片£7"四0平面片或"则ZW〃平面用石厂，

因为AV/CQ,M=CG，则四边形A41GC为平行四边形，则AC〃A£,

因为E、尸分别为AB、BC的中点，则瓦7/AC,同理可得QN/M.G，则用/小£,可得QN//EF,

因为EFu平面片或"QNU平面用石尸，则QN〃平面瓦£/，

因为DN\QN=N,DN、QNu平面ONQ,所以平面。NQ〃平面片£尸,

则点P在线段QN上，可得。N=；AG=¥，

DQ=QN=JDD；+DN=

所以当点P为线段QN的中点时，DPLQN,

DP取到最小值，且最小值为J。。一];0N[=孚，故C正确;

对于D：连接AC、AG，

因为E、F为AB、BC的中点，则及7/AC,

又因为A4,//CG，AA,=CQ,则A4.GC为平行四边形，可得AC//AC，

则EF//AG,

过2作KL//AG，设KL辐=K,KLB£=L,则KL//EF,

可得陋二^勺，LC[=Be,

连接KE、LF,设KEAAj^G,LF「CC、=H,连接0。、DXH,

可得过点R、E、尸的平面截正方体ABC。-AAGA所得的截面为五边形E/HAG,

79

因为峪二2AE,L。=2C9则GA=2AG=：,HCX=2CH=-,

可得DiG=QH=叵,GE=HF=—,EF=皂,

362

所以截面周长为2x巫+2x妪+也=加+交，故D错误；

3622

【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面

几何问题求解，其解题思维流程如下：

（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的

距离相等且为半径；

（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体

现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；

（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.

22

12.若点P既在直线/1一＞+2=0上，又在椭圆C:=+々=1（。＞6＞0）上，C的左、右焦点分别为

ab

F„F2,\FtF2\=2,且/耳p工的平分线与/垂直，则C的长轴长为（）

A.叵B,如C,巫或色D.可或亚

2242

【答案】B

【分析】过点可、鸟分别作耳N、耳M垂直直线/于点N、M,由/与P鸟的平分线与/垂直可得

HPN=HPM,即可得与A鸟尸M相似，结合点到直线的距离可得相似比，从而可求出

附、结合椭圆定义即可得长轴长.

\PF2\,

【详解】过点耳、B分别作耳N、耳M垂直直线/于点N、M,

作NFFB的平分线PH与x轴交于H,

由忸司=2,故旧（—1,0）、7^（1,0）,

则…―孝30

~2~

由尸"，/且尸"为/与P鸟的平分线，故“PH=NF?PH,

^ZF.PN=ZF2PM,

"Nil、F2MVI,故.百PN与，鸟尸M相似,

显

故乩

NP\_\PF{2

\F2M\MP\\PF23723,

2

由/氏_,+2=0,令y=0,贝！Jx=—2,

故直线/与x轴交于点G(-2,0),故|NG|=

|MG|=

闺M_加尸|」尸耳

由

\F2M\~\MP\~\PF2-3,

故|NP|=：|MN|=孝,PM=>M=竽,

2

故|尸耳|=

由椭圆定义可知，|尸耳|+|尸阊=2。，故2〃=

即C的长轴长为m.

故选：B.

【点睛】关键点睛：本题关键在于作出aN、垂直直线/于点N、M,再将/耳「耳的平分线与

/垂直这个条件转化为=从而得到相似三角形，结合点到直线距离公式及闺阊=2

得到忸耳|、户阊的值.

第n卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13.已知cos(«+2£)=g,tan(a+〃)tan〃=-4,写出符合条件的一个角。的值为.

【答案】y（答案不唯一）

1o

【分析】根据题目条件得到cos（a+£）cos4=:和sin（a+夕）从而求出

63

[21

cosa=cos\\a+p）-j3^=---=--,进而求出角。的值.

【详解】cos（o+20=cos[（a+0+；0]=cos（a+0cos尸-sin（a+⑶sin；0,

故cos（a+1）cos4一sin（a+尸）sin/?=—,

6

sin（a+夕）sin尸4

tan（a+尸）tan/?=T,即

cos（a+尸）cos尸

故sin（a+0sin/7=-4cos（a+4）cos4,

故5cos（a+尸）cos4=—,即cos（a+尸）cos、=—,

66

2

则sin（a+尸）sin尸=-4cos（cr+尸）cosP=——,

则cosa=cos[（a+/7）—4]=cos（a+力）cos4+sin（a+夕）sin/3J__2__J_

6-3~~2

可取a=飞-.

27c

故答案为：y

14.在正三棱台ABC-44G中，AB=2,AB>4%侧棱AA与底面ABC所成角的正切值为0.若

该三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为

【答案】述

12

【分析】取2C和3G的中点分别为尸，Q,上、下底面的中心分别为。-02,设A4=x,内切球

半径为r,根据题意求出侧棱长以及。2P,。笈，再根据切线的性质及等腰梯形BBCC和梯形AAOP

的几何特点列方程组求出半径即可.

【详解】如图，取BC和gG的中点分别为尸，Q,

上、下底面的中心分别为。一02,

设4瓦=彳，内切球半径为广，因为tanNAAOj=血，棱台的高为2厂，

所以朋==CC]=J(2r)2+(V2r)2=后,

0.P=-AP=-^—AB=—,同理O]Q=3X.

33236

因为内切球与平面BCG用相切，切点在P。上，

A

所以尸Q=。2尸+。JQ=Y(尤+2)①，

在等腰梯形即C|C中，尸02=(历)2②，

由①②得6/1]：=W匕

在梯形AAQP中，PQ2=(2r)2+(^-^x]③，

(36)

由②③得2-x=#r,代入得x=l,则棱台的高〃=2r=乎,

所以棱台的体积为y=g[¥+¥><4+¥)x,=吟.

故答案为：逑.

15.已知函数〃力=Y+&+b满足对任意的实数”，〃都有

f(mn)=f(m)f(n)+2f(m)+2f(n)+2,贝！]曲线y=/(x)在x=-1处的切线方程为.

【答案】3x-y=0

【分析】构造函数g(x)=/⑺+2,将已知等式转化为g(帆7)=g(⑹g(«),再利用赋值法求得g(。)

与g(l),进而求得6,再利用利用导数的几何意义即可得解.

【详解】因为于(mn)=于(m)/(〃)+2/(加)+2/(九)+2,

所以〃m〃)+2=(4m)+2)(/⑺+2),

设g(x)="尤)+2=V+OX1+b+2,

贝Ijg(nm)^g(ni)g(n),

令〃2=〃=0,则g(O)=g2(。),贝1g(0)=0,或g(0)=l,

若g(O)=l,则由g(o)=g(，〃)g(o),得g㈣=1,显然不成立,

所以g(0)=0,即匕+2=0,则b=—2

令m=1,则g(〃)=g(l)g(〃),由于g(〃)不恒为0,

故=即l+a+b+2=l,贝lJa=0,

此时〃x)=V-2,经检验，满足要求，

则-3,/'(x)=3f,所以/'(一1)=3,

所以曲线y=/（x）在x=—1处的切线方程为y+3=3（尤+1）,即3x-y=0.

故答案为：3x-y=0

16.在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为，ABC的面积，且2S=/一色一了,

Z,2,2

则」1的取值范围为____.

be

【答案】用

【分析】利用三角形面积公式与余弦定理，可得sinA+28sA=2,再根据同角关系式可得sinA,然

后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得士b=厂4三十?3,结合条件可得tanC取值范围，进而

c5tanC5

bh*I^21

求得2的取值范围，令J,则然后由对勾函数的单调性即可求出.

ccbet

【详解】在ABC中，由余弦定理得"二廿十。?—2"COSA,

且,ABC的面积S=；Z?csinA,

由2s=/—0—op,得历sinA=2Z?c—2A8sA,化简得sinA+2cosA=2,

又AE[。,,），sin2A+cos2A=1,联立得5sin2A—4sinA=0,

4

解得sinA=w或sinA=0（舍去），

匚匚2bsinBsin（A+C）sinAcosC+cosAsinC43

所以一=----=—k------=--------；-----------=------+一，

csinCsinCsinC5tanC5

因为ABC为锐角三角形，

所以OvCv],B=7r-A-C,所以

13所以高b

所以tanC>tan，所以

tanA4c

、八b甘（35、二匚［、［〃+，bc1

设一=/，其中才W,所以--：---=--=t+—j

cC力becbt

由对勾函数单调性知y=f+；在||，”上单调递减，在上单调递增，

334534

当

y-f-时y-

当金1时,5-1-5-t3-1-5-

—34、*+234、

所以ye2,—,即2*的取值范围是2,f-.

_yjjbeL

故答案为：0",正34、）

【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得g6=丁4三+J3,进

c5tanC5

而可以求解.

三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（-）必考题：共60分.

17.（12分）已知｛%｝是公差不为零的等差数列，4=1,且%出外成等比数列.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

14/2

（2）若勿=（-1）"------,求也｝的前1012项和。12.

an'an+\

【答案】（1）4=2,7-1

2024

(2)71012

2025

【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项即可得解;

（2）由裂项相消法可求出前1012项和.

【详解】（1）设等差数列｛%｝的公差为d,

又囚=1,则。2=q+d=1+d,%=%+4d=l+4d,

因为%,%,生成等比数列，所以耐二%•%,

即（l+d）2=lx（l+4d）,

得/-2d=0,

又因为｛4｝是公差不为零的等差数列，所以d=2,

即%=q+（〃一l）d=l+（〃-l）x2=2〃-l.....................................................6分

（2）由（1）知

4r?4A?f11\

bn=（-DM+，——=（-Dn+10/°口、=（-Dn+1"+'，

an-an+l+\2n—l2n+lJ

1

+

2023

18.（12分）在直角梯形ABCD中，AD!IBC,BC=2AD=2AB=2非,ZABC=90°,如图（1）.把

△AB。沿3D翻折，使得平面ABD_L平面BCD.

图⑴图⑵

⑴求证：CD1AB-,

BN

⑵在线段3c上是否存在点N,使得AN与平面AC。所成角为60。？若存在，求出”的值；若不存

nC

在，说明理由.

【答案】⑴证明见解析

s、r广BN1

⑵存在‘法=1

【分析】（1）利用勾股定理证明CDL8D,再根据面面垂直的性质可得CD，平面钻D,再根据线面

垂直的性质即可得证；

（2）以点。为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【详解】（1）因为AD〃BC,且BC=2AZ）=2AB=2忘,AB_LBC,

可得AD=A3=0，BD=dAB?+AD2=2，

又因为ZDBC=ZADB=45。，可得CD=,+（2及J-2x2x20cos45。=2,

所以=8C?,则CD_LBD,

因为平面ABD_L平面BCD,平面ABDc平面3CD=J?£>,且CDu平面BCD,

所以CD_L平面ABD,

又因为ABu平面AB£）,所以CD_LAB；......................................................6分

(2)因为CD_L平面ABD,且瓦)u平面AB£),所以CD_L8D,

如图所示，以点。为原点，建立空间直角坐标系，

可得4。,0,1),5(2,0,0),C(0,2,0),£>(0,0,0),

所以C£>=(0,-2,0),AD=(-l,0,-l)..............................7分

设平面ACD的法向量为〃=(x,y,z),则<,

n•AD=—x—z=0

令尤=1,可得y=0,z=-l,所以〃...........................9分

假设存在点N,使得AN与平面ACD所成角为60,

设弱=2诧，(其中0WNW1),则N(2-2九240),SV=(1-22,22,-1),

\n-AN\|1—2A+1|乖)

所以sin60。二二十

^(1-22)2+(22)2+(-1)2x722

整理得82"-1=。，解得退或』:(舍去)'

所以在线段8C上存在点N,使得AN与平面ACD所成角为60。，此时

19.(12分)正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布.对于一个给定的连续

型随机变量X,定义其累积分布函数为尸(x)=P(XWx).已知某系统由一个电源和并联的A,B,C

三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及

各元件之间工作相互独立.

⑴已知电源电压X(单位：V)服从正态分布N(40,4)，且X的累积分布函数为尸(x),求F(44)-尸(38)；

(2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量T(单位：

Q/<0

天)表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为G。)=]_j_f>Q.

(I)设％>芍>°,证明：P(T>t]\T>t2)=P(T>t}-t2).

(ii)若第”天元件A发生故障，求第〃+1天系统正常运行的概率.

附：若随机变量y服从正态分布N(〃,/),则尸(|丫_川<b)=o.6827,P(|y-〃|<2b)=0.9545,

P(\Y-H\<3b)=0.9973.

【答案】⑴0.8186

7

(2)(i)证明见解析；(ii)—.

16

【分析】(1)根据正态分布的对称性即可结合F(x)=P(XWx)的定义求解，

(2)(i)根据条件概率的计算公式集合尸(x)=P(XWx)的定义以及G0的定义域即可求解，(ii)

根据独立事件的概率公式求解即可.

【详解】(1)由题设得尸(38<X<42)=0.6827,P(36<X<44)=0.9545,

所以尸(44)-F(38)=P(XW44)-P(XW38)=P(40WXW44)+P(38WXW40)

=1x(0.6827+0.9545)=0.8186.............................3分

(2)(i)由题设得：

ir、尸尸［(7>GC(T>4)］尸(T>GI-P(T4GI-G(G

12

P(T>t2)P(T>t2)1-P(T<?2)1-G(r2)

P(T>tt-t2)=1-P(T<Z1-/2)=1-G(/1-Z2)=4'2f,

所以P(T>4|T>芍)=P(T>4—2)...............................8分

(ii)由(i)得P(T>〃+1［T>〃)=P(T>1)=1-尸(TW1)=1-G(1)=L,

4

所以第〃+1天元件B,C正常工作的概率均为;.

4

为使第”+1天系统仍正常工作，元件B,C必须至少有一个正常工作,

17

因此所求概率为1-(1-52=/................................12分

4Io

20.(12分)已知抛物线曰/=以的焦点为R若ABC的三个顶点都在抛物线E上，且满足

FA+FB+FC=0,则称该三角形为"核心三角形

⑴设"核心三角形ABC"的一边A3所在直线的斜率为2,求直线A3的方程；

(2)已知：ABC是"核心三角形"，证明：ABC三个顶点的横坐标都小于2.

【答案】⑴2x-y-1=0

(2)证明见解析

【分析】(I)设■的方程为y=2x+t,联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，根据尸(1,0)及

E4+FB+FC=0得到点C的坐标为(2+/2),代入抛物线方程，求出f=T,得到直线方程；

(2)设直线3C的方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，求出点A的坐标为

(3-4m2-2n,-4m),代入抛物线方程，得到〃=1-4/，由根的判别式得到心_/，所以病<g,

所以点A的横坐标4〃5<2,同理可证另两个顶点横坐标也小于2.

【详解】（1）设直线A3的方程为y=2x+f,与V=4x联立得y2-2y+2f=0,

由A=4—8f>0得/<—，

2

设A（%,%）,3（孙为），。（鼻,%），则K+%=2,%%=2’,

所以为+%=］（%+%—27）=1-/，

由题意知尸（1,0）,

因为用+^8+歹。=0,7;>1=（玉_1,耳）,尸3=（%2_1,%）,尸。=（鼻_1,%）,

所以（%+%+电―3,%+%+%）=（°，°），

x+x+x=3毛=3-（1-f）=f+2

所以123故

.%+%+%=°.%=一2

即点C的坐标为（2+.2）,代入抛物线E的方程得：4=4（2+。，解得好-1,

满足条件

所以直线A3的方程为2x-y-l=0.........................................................6分

（2）证明：设直线5c的方程为1=冲+〃，与丁=4%联立得/一4切—4〃=0,

2

A=16（”+〃）＞0,所以〃〉-m,y2+%=4m,y2y3=—4〃,

所以马+毛=机（%+%）+2〃=4m2+2n.

%+%+%3=3=3-4m2-2n

由（1）知,所以

.%+%+%=°=-4m

即点A的坐标为（3-4疗一2〃,-4时.

又点A在抛物线V=4x上，所以16/=4（3-4〃/-2〃），所以〃=|一4疗，

乂77>-疗，所以病<一,所以点A的横坐标3-4〃/—2〃=4〃，<2,

2

同理可证，B,C两点的横坐标也小于2.

所以ABC三个顶点的横坐标均小于2..........................................................12分

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：

（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；

（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个

函数的最值或范围.

21.（12分）已知函数/（x）=lnx+d：-l）,<7>0.

⑴若/（x）20恒成立，求°的取值集合;

(2)证明：sin———I-sin---++sin—<ln2(nGN+).

n+1n+2In

【答案】⑴{1}

⑵证明见解析

【分析】（1）利用导数求函数/（力的最小值，转化恒成立条件列不等式可求，的取值集合；

（2）利用小问（1）构造不等式，赋值结合累加法证明ln2＞」7+—；+工++1,再结合正

弦函数性质和不等式性质即可证明结论.

【详解】⑴由题可知函数“X）的定义域为{尤I无＞0},

/'（x）=!一二=手，令/'。）=0,得x=a,

XXX

由X，“X）,广（X）列表如下

(O,12)(a,+8)

Xa

/W—0+

r(x)递减极小值递增

/(Hnj/SMna-。+1，

因为/(力30恒成立，

所以In。-。+1?0,ae(0,+oo).

11—x

令g(x)=lnx-x+l,贝I]g，(x)=__l=--,

XX

由X,g(x),g'(x)列表如下

X(0,1)1(1,+e)

g(x)+0—

g'(x)递增极大值递减

•，•^(xL=^(1)=0-

又•a£(0,1),=Ina-«+1<g(1)=0,

aG(1,+oo),g(a)=]na-a+l<g(l)=0,

故〃的取值集合为{1}..................................5分

(2)由(1)可知，当a=l时，/(%)>0,

11v_1

即lnx+—―1>0,lnx>l一一=--,

XXX

X

••.ln(x+l)>——(当％=0时，"=〃成立)，

x+1

令x=L(〃eN+),

n

1

Inf—+>-J1~―—--,贝1Jin]——>----,ln(l+«)-lnn>―^-―,

\n)，+]n+1v«Jn+1n+1

n

由累加法可知

1

>---

n+1

1

ln(2+〃)-ln(〃+l)>----

〃+2

1

ln(3+〃)-ln(〃+2)>----

〃+3

1

ln(2〃)-ln(2〃-l)>一

2n,

累力口可得1D(2H)—Inn>-----1------------1------------1-------1------,

n+1n+2〃+32n

皿c1111

即In2>-----1------------1------------FH------,

n+1n+2〃+32n

令h(x)=sinx-x,xG(0,+oo),

hr(x)=cos%-1<0恒成立,

・••Kx)在区间(0,+8)上单调递减，

/.h(x)<h(0)=0,

.\sinx<x,

1111.1.1.1.1

-----1-------1-------FH--->sin------Fsin------Fsin-----F+sin—,

n+1n+2n+32nn+1n+2n+32n

In2>sin----+sin-----+sin-----++sin——(neN)................................12分

n+1n+2H+32n

【点睛】方法点睛：（1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调

性，常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证

明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理；（2）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般

将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；（3