广东省佛山市重点中学2024年高考冲刺数学模拟试题含解析

广东省佛山市重点中学2024年高考冲刺数学模拟试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在中，BD=DC,AP=2PD,BP=AAB+^AC,贝!)2+〃=()

1

A.B.C.

3322

2.在声学中，声强级L（单位：dB）其中/为声强（单位:W/m?)4=60dB,

4=75dB,那么?=()

4433

A.6B,1Q-5C.--D.[Qi

3.如图在一个60°的二面角的棱有两个点A,3,线段AC,3D分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱A5,

且46=40=2,50=4,则的长为()

A.4B.26C.2D.273

4.已知集合A={x|x<l},B={x\y<1},则

A.AB={%|x<0}B.AB=R

C.AB={x\x>\}D.AQB=0

5.下列说法正确的是（）

A.命题“三不<0,2/Wsinx。”的否定形式是"Vx>0,2x>sinx”

B.若平面a,P，Y,满足C7,用，/则M/分

C.随机变量J服从正态分布N（l,o2）（。>0）,若尸（0<。<1）=0.4,则P（J>0）=0.8

D.设x是实数，“x<0”是“工<1”的充分不必要条件

6.已知函数/(幻=必—2x,集合A={x"(x)<0},B=[x\f\x)<0},则AB=()

A.[-1,0]B.[-1,2]

C.[0,1]D.(^o,1]<J[2,+co)

3

7.已知函数/（x）=W，a=/（2°3），b=f（Q.20）,c=/（log032）,则a,b,c的大小关系为（）

A.b<a<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b

8.已知/（x）是定义在［—2,2］上的奇函数，当九40,2］时，f（x）=2x-l,则〃-2）+/（0）=（）

A.-3B.2C.3D.-2

9.已知复数Z满足Z-a3=1+产】9（其中，为虚数单位），则复数Z的虚部是（）

A.-1B.1C.~iD.i

10.在正方体AG中，E是棱CG的中点，尸是侧面6CG片内的动点，且4歹与平面AAE的垂线垂直，如图所示,

下列说法不正确的是（）

A.点尸的轨迹是一条线段B.A歹与5E是异面直线

C.A/与不可能平行D.三棱锥尸-A3。的体积为定值

11.已知向量忖,若（a+b）_L（a—b）,则实数力的值为（）

A.-B.WC.±-D.+且

222-2

12.已知平面向量a“满足卜|=2,忖=1,a与人的夹角为g,且（a+劝），（2L6）,则实数X的值为（）

A.-7B.-3C.2D.3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知等比数列｛4｝满足公比S"为其前九项和，S2,S4,录构成等差数列，则邑020=.

14.已知函数〃x）=eXcosx+x5,则曲线y=/（x）在点（0J（0））处的切线方程是.

的二项展开式中，X的系数为.(用数值作答)

,1

16.函数y=4f+—的单调增区间为.

x

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知数列｛q｝满足矶=24+2"“+l("eN*),%=1,等差数列｛2｝满足2+2〃=2么_+4(〃=2,3,),

(1)分别求出口“｝,｛4｝的通项公式;

(2)设数列｛4｝的前〃项和为S“，数列11+S.+J的前〃项和为却证明：Tn<l.

，n+l堪

n

22

is.(12分)如图，设椭圆q：工+与=1伽〉6〉0),长轴的右端点与抛物线。2：V=8x的焦点口重合，且椭

ab

圆q的离心率是且.

2

(I)求椭圆C,的标准方程;

(II)过尸作直线/交抛物线。2于A，B两点,过歹且与直线/垂直的直线交椭圆G于另一点C，求AABC面积的

最小值，以及取到最小值时直线/的方程.

19.(12分)如图，在AABC中，点。在上，ZCAD=—,AC=-,cosZADB=--.

4210

(1)求sinC的值；

(2)若BD=5,求AB的长.

20.(12分)已知数列｛4｝是公比为正数的等比数列，其前〃项和为S“，满足q=2,且。2,2§2，生成等差数列.

(1)求｛%，｝的通项公式；

(2)若数列也｝满足〃=lOg2%,求月—代+区—区+公—&+…+必9—随的值.

21.(12分)已知函数/(%)=|%+。|+|%-6，(其中a>0,b>0).

(1)求函数f(x)的最小值

(2)若2c>M,求证：c7c2-ab<a<c+Vc2—ab•

22.(10分)为迎接2022年冬奥会,北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核.记

X表示学生的考核成绩，并规定X285为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了

30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：

SI0II6

60133458

7I236777K

8I12459

900I23'

(I)从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；

(II)从图中考核成绩满足Xe［80,89］的学生中任取2人，求至少有一人考核优秀的概率；

(x—85、

(UD记尸(a<X<»表示学生的考核成绩在区间［a,可的概率，根据以往培训数据，规定当P――<1之0.5时

培训有效.请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

先根据3。=。。,4「=2/7)得到「为人45。的重心，^AP=-AB+-AC,AP=-AB+-AC,利用

3333

进:=茄_罚可得3P=-gAB+AC,故可计算九+〃的值.

【详解】

因为5。=DC,AP=2PD,所以P为AABC的重心,

一11—•3——1一1-

所以AD=—AB+—AC,...2AP=—AB+—AC,

22222

所以AP=—AB+—AC,

33

21

所以BP=AP—AB=——AB+—AC9因为BP=AAB+/LLAC>

211

所以X=,〃=一,1.X+〃=—，故选A.

333

【点睛】

对于AABC,一般地，如果G为AABC的重心，那么AG=；（A3+AC）,反之，如果G为平面上一点，且满足

|（AB+AC）,那么6为AABC的重心.

【解析】

由£=101g［焉］得坨/=2—12,分别算出，和A的值，从而得到;的值.

\10）1012

【详解】

.-.£=10(lg/-lgl012)=10(lg/+12),

当£!=60时，坨4=4—12=®-12=—6,.•./]=10一6,

11010

L,75「

当（=75时，1g，2=—12=------12=—4.5,

故选：D.

【点睛】

本小题主要考查对数运算，属于基础题.

3、A

【解析】

由C£>=CA+AB+BZ），两边平方后展开整理，即可求得CO?，则的长可求.

【详解】

解：+

.-2-2-2-2

••CD=CA+AB+BD+2CA-AB+2CA-BD+2AB^BD，

CALAB9BD±AB

•*-CA.AB=0^BD.AB=O9

C4.B£>-|C4||BD|cosl20°=--x2x4=-4.

2

.2一一

…CD=4+4+16—2x4=16，

.•」CD|=4,

故选：A-

【点睛】

本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能

力与计算能力，属于中档题.

4、A

【解析】

•.•集合3={x|3/<l}

6={x|尤<0}

•.•集合A={x|x<l}

Ac6={x|x<0},AuB=1x|x<l}

故选A

5、D

【解析】

由特称命题的否定是全称命题可判断选项A；。，分可能相交，可判断B选项；利用正态分布的性质可判断选项C；

!<lnx<0或无>1,利用集合间的包含关系可判断选项D.

X

【详解】

命题“三九040,2%《sin%”的否定形式是“Vx<0,2x>sinx"，故A错误；-L7,

…,则。，分可能相交，故B错误；若P(0<Jvl)=0.4,则P(l<J<2)=0.4,所以

1-04-041

尸C<0)=--——-=0.1,故P(J>0)=0.9,所以c错误；由一<1,得x<0或x>l,

2%

故“x<0”是“工<1”的充分不必要条件，D正确.

x

故选：D.

【点睛】

本题考查命题的真假判断，涉及到特称命题的否定、面面相关的命题、正态分布、充分条件与必要条件等，是一道容

易题.

6、C

【解析】

分别求解不等式得到集合AB，再利用集合的交集定义求解即可.

【详解】

A={x|Y—2x<0}={x[0<x<2},B={x|2x—2WO}={x|x0},

.-.AB={x|0<x<l}.

故选C.

【点睛】

本题主要考查了集合的基本运算，难度容易.

7、B

【解析】

可判断函数/(九)在R上单调递增，且2a3〉l〉0.2°3〉0〉logo32,所以c</?<a.

【详解】

0303

/(%)=上^=1一——在R上单调递增，且2>1>O.2->0>log032,

el+1e'+1

所以c</?<a.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了函数单调性的判定，指数函数与对数函数的性质，利用单调性比大小等知识，考查了学生的运算求解

能力.

8、A

【解析】

由奇函数定义求出/(0)和，(一2).

【详解】

因为f(x)是定义在［-2,2］上的奇函数，，/(0)=0.又当xe(0,2)时，

/(x)=T-1,.../(-2)=-/(2)=-(22-1)=-3,.-./(-2)+/(O)=-3.

故选：A.

【点睛】

本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键.

9、A

【解析】

由虚数单位i的运算性质可得z=l-，，则答案可求.

【详解】

解：•.,r=1,

•-2020-4x5051-2019-4x504+3•

••I=I=1>I=I=­I>

贝！12-『°20=1+『°19化为2=1一，，

的虚部为—1.

故选：A.

【点睛】

本题考查了虚数单位i的运算性质、复数的概念，属于基础题.

10、C

【解析】

分别根据线面平行的性质定理以及异面直线的定义，体积公式分别进行判断.

【详解】

对于A,设平面AD】后与直线交于点G,连接AG、EG,则G为8C的中点

分别取用8、耳q的中点〃、N,连接AM、MN、AN,

QAM//QE,4"U平面。［4£,。4(=平面。］4£,

.•.A"//平面RAE.同理可得MN//平面QAE,

AM、MN是平面A"N内的相交直线

二平面4MN//平面D］AE,由此结合4尸//平面，AE,可得直线u平面4MN,

即点口是线段MN上上的动点.二A正确.

对于3,平面AMN//平面RAE,仍和平面QAE相交，

二A尸与痛是异面直线，3正确.

对于C,由A知，平面AMN//平面RAE,

二4尸与2E不可能平行，「.C错误.

对于。，因为MN//EG,则歹到平面AD】E的距离是定值，三棱锥尸一叫E的体积为定值，所以。正确;

故选：C.

【点睛】

本题考查了正方形的性质、空间位置关系、空间角、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

11、D

【解析】

由两向量垂直可得(。+今("")=0,整理后可知时-M『=0,将已知条件代入后即可求出实数m的值.

【详解】

解：(a+))_L(a-Z?),二(a+/?)•(4—))=0,即W「一,「=0,

将卜|=1和m2代入，得出机2=(,所以加=±#.

故选:D.

【点睛】

本题考查了向量的数量积，考查了向量的坐标运算.对于向量问题，若已知垂直，通常可得到两个向量的数量积为0,

继而结合条件进行化简、整理.

12、D

【解析】

由已知可得（。+训©”。卜。，结合向量数量积的运算律，建立X方程，求解即可.

【详解】

27r

依题意得。力=2xlxcos——=-1

3

由（a+劝》（2a—>）=0,得2/—X片+（2X—1"必=0

即—34+9=0,解得2=3.

故选:D.

【点睛】

本题考查向量的数量积运算，向量垂直的应用，考查计算求解能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、0

【解析】

利用等差中项以及等比数列的前〃项和公式即可求解.

【详解】

由Sz，/，醺是等差数列可知

2s4=S2+56=>2/=1+q,=>（/—1）=0

因为qwl,所以q=-l,82020=0

故答案为：0

【点睛】

本题考查了等差中项的应用、等比数列的前几项和公式，需熟记公式，属于基础题.

14、y-x+1

【解析】

求导，x=0代入求k,点斜式求切线方程即可

【详解】

/'(%)=ex(^cosx一szTzx)+5x4，则/'⑼=1,又/⑼=1

故切线方程为y=x+l

故答案为y=x+l

【点睛】

本题考查切线方程，求导法则及运算，考查直线方程，考查计算能力，是基础题

15、-40

【解析】

由题意，可先由公式得出二项展开式的通项7；+i=G25f再令io-3r=l,得r=3即可得出x项的系数

【详解】

的二项展开式的通项公式为=c；(2/=C；25-r(-l)r?°-3r,

r=0,1,2,3,4,5,

令10-3〃=1/=3,

所以.

的二项展开式中X项的系数为C^22-(-l)3=-40.

故答案为：-40.

【点睛】

本题考查二项式定理的应用，解题关键是灵活掌握二项式展开式通项的公式，属于基础题.

16、”

【解析】

先求出导数，再在定义域上考虑导数的符号为正时对应的x的集合，从而可得函数的单调增区间.

【详解】

函数的定义域为(-8,0)D(o,”).

3

y=8x-』=8X-1

X

令y>o,则x>g,故函数的单调增区间为：

故答案为：［+00).

【点睛】

本题考查导数在函数单调性中的应用，注意先考虑函数的定义域，再考虑导数在定义域上的符号，本题属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)an=n-T-1,bn=2n(2)证明见解析

【解析】

(1)因为*=2%+2"+i+l(〃eN*),所以。用+l=2a,+2'*i+25eN*),

所以军==¥+1，即年2-呈=1，又因为4=1，

所以数列｛零｝为等差数列，且公差为1,首项为1,

则=]+(〃T)x]=〃，即。〃=小2〃一1.

设｛2｝的公差为d,则6.一履]=22_]_2〃+4_履[=%_]—2〃+4=d,

所以%=2/-4+d(九=2,3,),则2=2("+1)-4+d(〃eN*)，

所以d,=bn—bn_x=[2(〃+1)—4+d]—(2〃—4+d)=2,因此6a=2(〃+1)—4+2=2n,

综上，a„=n-T-1,bn=2n.

(2)设数列｛小2"｝的前”项和为贝！1^0=1x2+2x22+3x23+4x24++nx2",

2345+1

2Mn=1X2+2X2+3X2+4X2++nx2",

两式相减得-““=1x2+1x22+1x23+1x24++Ix2"-nx2"+1=(l-/i)-2"+1-2,

+1+1

Mn=(«-1)-2"+2,所以S“=(〃-1),2"+2-n,

c=41g24i„2211

n1+5,1+1

设"bn+llg-则%=2("+1)1g2"2=("+1)(〃+2)=-+2)'

n

所以雹=2x(；-、+；-；+--4=2x(；--二)=1--占，

2334n+1〃+22n+2〃+2

18、(I)^-+y2=1；(II)AABC面积的最小值为9,x=±^y+2.

【解析】

(I)由已知求出抛物线的焦点坐标即得椭圆中的。，再由离心率可求得。，从而得〃值，得标准方程；

(II)设直线/方程为％=冲+2,设4(%,％),3(々,当),把直线方程代入抛物线方程，化为y的一元二次方程，由

韦达定理得M+%，%%，由弦长公式得|人即，同理求得C点的横坐标，于是可得将面积表示为参数的函数,

利用导数可求得最大值.

【详解】

22

（I）,••椭圆G：=+[=1（。〉6〉0），

ab

长轴的右端点与抛物线。2：V=8x的焦点歹重合,

，〃二2,

又•.•椭圆G的离心率是走，•••C=百，b=l,

2

2

椭圆G的标准方程为Lr+丁=1.

4-

(II)过点/(2,0)的直线/的方程设为》=〃少+2,设4(石,%)，3(九2,%)，

x=my+2,

联立《2得y~-8my-16=0,

〔y=8x

|AB|=y/1+m2J%+%）a—4%%=8（l+m2）.

过R且与直线/垂直的直线设为y=-m(x—2),

y=・

联立X2,得（1+4“卜2—16阴2%+167〃2-4=0,

2=1'

.c16疗2（4m2-l）

••x+2=------,故XQ—~9

cc1+4小W+l

—y------y/l+m2

4m+1

16^1+m2

AABC面积s=348卜0盟=•J1+”r•

4m2+1

,_____1&3,、16（4六—9/）

令Jl+毋=八则5=尸⑺=（4/—3）2

令/'1)=0,则』=(,即1+根2=g时，儿45c面积最小,

即当加=±或时，AA5C面积的最小值为9,

2

此时直线I的方程为X=土4y+2.

【点睛】

本题考查椭圆方程的求解，抛物线中弦长的求解，涉及三角形面积范围问题，利用导数求函数的最值问题，属综合困

难题.

4L

19、(1)j；(2)AB=V37.

【解析】

(1)由两角差的正弦公式计算；

(2)由正弦定理求得AD,再由余弦定理求得

【详解】

(1)因为cos/ADB=,所以sinNADB=J1-,血.

10丫(10J10

7TTT

因为NC4D=2,所以NC=NAD3—上，

44

所以sinC=sin(NA£>5—M]=sinNA£>B-cos^—cosNAO8-sinH=2^乂立+立乂立=士.

I4；44io21025

74

_x_

ADAC,得的JC•朝C="=20,

(2)在AACD中，由

sinCsinZADCsinZADC772

1(T

在中，由余弦定理可得

AB2=BD2+AD2-2BD-ADcosZADB=52+(242^-2x5x2y/2x^-^=37,

所以A3=J方.

【点睛】

本题考查两角差的正弦公式，考查正弦定理和余弦定理，属于中档题.

20、(1)a“=22"T("cN*)(2)-20000

【解析】

(1)由公比q表示出生，。3,52，由。2,2S2，生成等差数列可求得4,从而数列的通项公式;

(2)求(1)得以，然后对和式牙-后+以-，+公-h+…+韬9-说)0两两并项后利用等差数列的前〃项和公式可

求解.

【详解】

(1)•・•{%}是等比数列，且％，2s2,%成等差数列

2

:.4s2=%+/，即43+%q)=%q+aYq

J4+4q=q+q2,解得：g=T或q=4

*：q>0,:・q=4

•/ax=2

.•.a“=2.4"T=22"T("cN*)

(2)Vbn=log2an=2n-l

•••I2-32+52-72+…+1972-1992

=(