2019年辽宁省葫芦岛市中考数学试卷

2019年辽宁省葫芦岛市中考数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目）

1.（3分）-6的绝对值是（）

A.6B.-6C.AD.-A

66

2.（3分）下列运算正确的是（）

A.x'x=xB.x+x=lx

C.-2（x3）2=4X6D.孙4+（-移）=-J

3.（3分）甲、乙、丙、丁四位同学都参加了5次数学模拟测试，每个人这5次成绩的平均

2

数都是125分，方差分别是S甲2=0.65,S乙2=0.55,S丙2=0.50,ST=0.45,则这5

次测试成绩最稳定的是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

4.（3分）如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（）

5.（3分）某校女子排球队12名队员的年龄分布如下表所示:

年龄（岁）13141516

人数（人）1254

则该校女子排球队12名队员年龄的众数、中位数分别是（）

A.13,14B.14,15C.15,15D.15,14

r3x<2x+2

6.（3分）不等式组，x+1』的解集在数轴上表示正确的是（）

--X<1

B.~~2^

7.（3分）某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计

划的2倍，因此提前5天完成任务.设原计划每天生产零件尤个，根据题意，所列方程

正确的是（）

A.300_300=5B300_300=?

xx+22xx

c300_300=5D300_300=5

x2xx+2x

8.（3分）二次函数的图象如图所示，则一次函数y=or+b的图象大致是（

D.

9.（3分）如图，在（DO中，ZBAC=\5°,/AOC=20°,则/AB。的度数为（）

A.70°B.55°C.45°D.35°

10.（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC,8。相交于点。，点E在8。上由点8向点

D运动（点E不与点8重合），连接AE,将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF,

连接8P交于点G.设BE的长为无，OG的长为y,下列图象中大致反映y与x之间

的函数关系的是（）

二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）

11.（3分）太阳的半径大约为696000000,将数据696000000用科学记数法表示为

12.（3分）分解因式：彳力-盯3=.

13.（3分）若关于尤的一元二次方程/+（2+a）x=0有两个相等的实数根，则a的值是.

14.（3分）在一个不透明的袋子中只装有九个白球和2个红球，这些球除颜色外其他均相

同.如果从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是工，那么”的值为.

3

15.（3分）如图，河的两岸a,b互相平行，点A,B,C是河岸6上的三点，点尸是河岸a

上的一个建筑物，某人在河岸b上的A处测得NB48=30°,在8处测得/P8C=75°,

若AB=80米，则河两岸之间的距离约为米.（炳-1.73,结果精确到0.1米）

16.（3分）如图，8。是nABCQ的对角线，按以下步骤作图：①分别以点8和点。为圆心,

大于皂。的长为半径作弧，两弧相交于E,尸两点；②作直线ER分别交A。，BC于

2一

点、M,N,连接BM,DN.若BD=8,MN=6,贝1|口488的边BC上的高为.

17.（3分）如图，在Rt^ABC的纸片中，ZC=90°,AC=5,AB=13.点。在边BC上,

以A。

为折痕将△A£>8折叠得到△A。"，AB'与边BC交于点E.若△DEB，为直角三角形

,则8D的长是.

18.（3分）如图，点尸是正方形ABC。的对角线延长线上的一点，连接E4,过点尸作

交BC的延长线于点E,过点E作EFL8P于点E则下列结论中：

①B4=PE；@CE=42PD；@BF-PD=1£D；@SAPEF=SAADP

2

正确的是（填写所有正确结论的序号）

p

2

19.（10分）先化简，再求值：&+a.其中。=（1）-1-（-2）°,

a2-2a+la-1a3

20.（12分）某学校为了解学生“第二课堂”活动的选修情况，对报名参加A.跆拳道，B.声

乐，C.足球，D.古典舞这四项选修活动的学生（每人必选且只能选修一项）进行抽样

调查.并根据收集的数据绘制了图①和图②两幅不完整的统计图.

‘第二课堂”活动的选修情况条形统计图“第二课堂”活动的选修情况条形统计图

图①图②

根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）本次调查的学生共有人；在扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度

数是;

（2）将条形统计图补充完整；

（3）在被调查选修古典舞的学生中有4名团员，其中有1名男生和3名女生，学校想从

这4人中任选2人进行古典舞表演.请用列表或画树状图的方法求被选中的2人恰好是1

男1女的概率.

四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）

21.（12分）在平面直角坐标系中，△A8C的三个顶点坐标分别是A（-1,1）,8（-4,1）,

C（-3,3）

（1）将△ABC向下平移5个单位长度后得到△43Ci，请画出△A/iCi；并判断以O,

Ai，8为顶点的三角形的形状（直接写出结果）；

（2）将△ABC绕原点。顺时针旋转90°后得到282c2，请画出△A2&C2，并求出点

C旋转到C2所经过的路径长.

22.（12分）如图，一次函数y=Ax+6的图象与x轴、y轴分别交于A,8两点，与反比例

函数＞=组的图象分别交于C,。两点，点C（2,4）,点8是线段AC的中点.

X

kc

（1）求一次函数y=kix+b与反比例函数y=_2的解析式；

X

（2）求△COD的面积；

23.（12分）某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售.其销售单

价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于90%,市场调研发现，在一段时

间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示：

（1）根据图象，直接写出y与x的函数关系式；

（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元

（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？

24.（12分）如图，点M是矩形ABC。的边A。延长线上一点，以AM为直径的O。交矩形

对角

线AC于点R在线段CD上取一点E,连接ER使EC=ER

（1）求证：是。。的切线；

（2）若cos/CAO=&,AF=6,MD=2,求FC的长.

5

七、解答题（满分12分）

25.（12分）如图，ZVIBC是等腰直角三角形，ZACB=9Q°,。是射线CB上一点（点。

不与点B重合），以为斜边作等腰直角三角形AOE（点E和点C在AB的同侧），连

接CE.

（1）如图①，当点D与点C重合时，直接写出CE与的位置关系；

（2）如图②，当点。与点C不重合时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请写出证

明过程；若不成立，请说明理由；

（3）当NEAC=15°时，请直接写出的值.

AB

图①

八、解答题（满分14分）

26.（14分）如图，直线y=-x+4与x轴交于点8,与y轴交于点C,抛物线＞=-/+灰+。

经过2,C两点，与x轴另一交点为4点尸以每秒加个单位长度的速度在线段BC上

由点B向点C运动（点尸不与点8和点C重合），设运动时间为f秒，过点尸作x轴垂

线交无轴于点E，交抛物线于点

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N,连接MN交8C于点Q,当西=工时,

NQ2

求t的值；

（3）如图②，连接AM交于点。，当是等腰三角形时，直接写出/的值.

2019年辽宁省葫芦岛市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目）

1.（3分）-6的绝对值是（）

A.6B.-6C.AD.-A

66

【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得负数的绝对值.

【解答】解：|-6|=6,

故选：A.

【点评】本题考查了绝对值，负数的绝对值是它的相反数.

2.（3分）下列运算正确的是（）

2,26

A.xx=xB.X4+X4=2X8

263

C.-2（/）=4%D.孙4+（-孙）=-y

【分析】根据同底数幕的乘除法的运算方法，塞的乘方与积的乘方的运算方法，以及合

并同类项的方法，逐项判断即可.

【解答】解：―匕

；・选项A不符合题意；

.X+尤一2X,

选项8不符合题意；

,?-2（x3）2=-lx,

选项C不符合题意；

Vxy44-（-xy）=-y3,

.•.选项D符合题意.

故选：D.

【点评】此题主要考查了同底数塞的乘除法的运算方法，塞的乘方与积的乘方的运算方

法，以及合并同类项的方法，要熟练掌握.

3.（3分）甲、乙、丙、丁四位同学都参加了5次数学模拟测试，每个人这5次成绩的平均

数都是125分，方差分别是S甲2=0.65,S乙2=0.55,S丙2=0.50,S丁2=0.45,则这5

次测试成绩最稳定的是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

【分析】直接利用方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离

散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，进

而分析即可.

2

【解答】解：甲2=0.65,S乙2=0.55,S丙2=0.50,ST=0.45,

丁2Vs丙2cs乙2<s甲2,

...成绩最稳定的是丁.

故选：D.

【点评】此题主要考查了方差，正确理解方差的意义是解题关键.

4.（3分）如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（）

【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案.

【解答】解：从上面看是四个小正方形，如图所示：

故选：B.

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，解题时注意从上面看得到的图形是俯视图.

5.（3分）某校女子排球队12名队员的年龄分布如下表所示:

年龄（岁）13141516

人数（人）1254

则该校女子排球队12名队员年龄的众数、中位数分别是（）

A.13,14B.14,15C.15,15D.15,14

【分析】根据众数和中位数的定义求解可得.

【解答】解：：这组数据中15出现5次，次数最多，

众数为15岁，

中位数是第6、7个数据的平均数，

...中位数为15+15=15岁,

2

故选：C.

【点评】此题考查了众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新

排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位

数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次

数最多的数.

’3x<2x+2

6.（3分）不等式组，x+1,的解集在数轴上表示正确的是（）

I—X<1

二.1A----三

A.-102B.-102

C.-10

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中

间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.

【解答】解：解不等式3x<2尤+2,得：尤<2,

解不等式三包-xWl,得:

3

则不等式组的解集为-1«2,

故选：A.

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知

“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

7.（3分）某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计

划的2倍，因此提前5天完成任务.设原计划每天生产零件尤个，根据题意，所列方程

正确的是（

A.300_300=5B300_300=?

xx+22xx

300_300=5

c300_300=5D

x+2x

【分析】根据实际每天生产零件的数量是原计划的2倍，可以提前5天完成任务可以列

出相应的分式方程，本题得以解决.

【解答】解：由题意可得，

故选：C.

【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应

的分式方程.

8.（3分）二次函数y=a?+6x的图象如图所示，则一次函数y=ox+b的图象大致是（）

【分析】可先根据二次函数的图象判断“6的符号，再判断一次函数图象与实际是否相

符，判断正误.

【解答】解：由二次函数图象，得出a<0,-且<0,b<0,

A、一次函数图象，得。>0,b>0,故A错误;

B、一次函数图象，得a<0,b>0,故B错误;

C、一次函数图象，得a>0,b<0,故C错误;

D、一次函数图象，得b<0,故。正确;

故选：D.

【点评】本题考查了二次函数图象，应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象

限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等.

9.（3分）如图，在。。中，ZBAC=15°,ZADC=20°,则/A8。的度数为（）

C.45°D.35

【分析】根据圆周角定理可得出/A08的度数，再由04=08,可求出的度数

【解答】解：连接04、OC,

15°,/AOC=20°,

/.ZA0B^2CZADC+ZBAC)=70°,

,：OA^OB(都是半径)，

：.ZAB0=Z0AB=l-(180°-ZAOB)=55°.

2

故选：B.

【点评】本题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角

等于这条弧所对的圆心角的一半.

10.（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC,3。相交于点。，点E在BD上由点8向点

。运动（点E不与点2重合），连接AE,将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AR

连接8尸交A。于点G.设8E的长为无，0G的长为y,下列图象中大致反映y与x之间

的函数关系的是（）

【分析】连接打），证明0△ZMF,得到歹=/A8E=45°,FD=BE,再说明

G。为尸的中位线OG=NZ）,则y=L,且无＞0,是在第一象限的一次函数图象.

22

【解答】解：连接灯,

VZBAE+ZEAD=90°,ZFAD+ZEAD=90°,

：.ZBAE=ZFAD.

XBA^DA,EA^FA,

:.ABAE咨ADAF(SAS).

AZADF=ZAB£=45°,FD=BE.

：.ZFDO=450+45°=90°.

VGOLBD,FD±BD,

：.GO//FD.

•：O为BD中点，

GO为&BDF的中位线.

OG^l-FD.

2

.•.y=L,且无>0,是在第一象限的一次函数图象.

2

故选：A.

【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象、全等三角形的判定和性质、中位线的性

质定理，解题的关键是通过辅助线构造全等三角形而后转化线段.

二、填空题(本题共8小题，每小题3分，共24分)

11.(3分)太阳的半径大约为696000000,将数据696000000用科学记数法表示为』

108.

【分析】科学记数法的表示形式为aXIO"的形式，其中lW|a|<10,n为整数.确定n

的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相

同.当数绝对值大于10时，”是正数；当原数的绝对值小于1时，”是负数.

【解答】解：将数据696000000用科学记数法表示为6.96XIO®.

故答案为：6.96X108.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为“X10”的形式，其

中〃为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

12.(3分)分解因式：13丫-灯3=xv(x+y)(x-y).

【分析】首先提取公因式孙，再对余下的多项式运用平方差公式继续分解.

【解答】解：孙3,

z22、

=xy(%-y),

=xy(x+y)(x-y).

【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式，要首

先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解

为止.

13.（3分）若关于尤的一元二次方程/+（2+°）x=0有两个相等的实数根，则a的值是-

2.

【分析】根据根的判别式得出△=（2+。）2-4XlX0=0,求出即可.

【解答】解：•••关于尤的一元二次方程/+（2+a）x=0有两个相等的实数根，

；.△=（2+。）2-4X1X0=0,

解得：a=-2,

故答案为：-2.

【点评】本题考查了根的判别式和一元二次方程的解，能根据根的判别式和已知得出^

=（2+a）2-4X1X0=0是解此题的关键.

14.（3分）在一个不透明的袋子中只装有"个白球和2个红球，这些球除颜色外其他均相

同.如果从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是工，那么”的值为4.

3

【分析】根据概率公式得到‘一=上，然后利用比例性质求出〃即可.

n+23

【解答】解：根据题意得上_=工，

n+23

解得"=4,

经检验：〃=4是分式方程的解，

故答案为：4.

【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除

以所有可能出现的结果数.

15.（3分）如图，河的两岸°,6互相平行，点A,B,C是河岸。上的三点，点尸是河岸。

上的一个建筑物，某人在河岸6上的A处测得/物8=30°,在8处测得NPBC=75°,

若AB=80米，则河两岸之间的距离约为54.6米.结果精确到0.1米）

【分析】过点A作于点E,过点8作3D，抬于点。，然后锐角三角函数的定义

分别求出A。、尸。后即可求出两岸之间的距离.

【解答】解：过点A作于点E,过点B作2。，建于点D

VZPBC=75°,ZPAB=30°,

：.ZDPB^45°,

"：AB=80,

：.BD=40,A£)=40A/3，

：.PD^DB=40,

：.AP=AD+PD=40百MO,

'：a//b,

：.ZEPA^ZPAB=30°,

：.AE=XAP=20后20q54.6,

2

故答案为：54.6

【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用含30度角的直角三角形性质以

及锐角三角函数的定义，本题属于中等题型.

16.（3分）如图，3D是口ABC。的对角线，按以下步骤作图：①分别以点2和点。为圆心,

大于的长为半径作弧，两弧相交于E,尸两点；②作直线ER分别交A。，BC于

2

点M,N,连接DN.若BD=8,MN=6,贝心A8CD的边8C上的高为21.

—5―

【分析】由作法得垂直平分瓦），则NB=ND,再证明为等腰三

角形得到8M=BN,则可判断四边形为菱形，利用菱形的性质和勾股定理计算出

BN=5,然后利用面积法计算口ABC。的边BC上的高.

【解答】解：由作法得MN垂直平分BD,

:.MB=MD,NB=ND,

•・,四边形ABCD为平行四边形,

J.AD//BC,

：.NMDB=NNBD,

而MB=MD,

：.NMBD=NMDB,

：.NMBD=NNBD,

而BDLMN,

为等腰三角形，

：.BM=BN,

：.BM=BN=ND=MD,

・•・四边形为菱形，

••,BN=4^7^=5,

^ABCD的边8c上的高为h,

•：MN・BD=2BN",

.^6X8=24,

2X55

即nABCZ）的边BC上的高为2支.

故答案为处.

【点评】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；

作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知

直线的垂线）.也考查了平行四边形的性质.

17.（3分）如图，在Rt^ABC的纸片中，ZC=90°,AC=5,AB=13.点。在边8C上,

以A。

为折痕将△AO8折叠得到△AOS',AB'与边8C交于点E.若△QEB'为直角三角形

,则8£）的长是7或空.

【分析】由勾股定理可以求出BC的长，由折叠可知对应边相等，对应角相等，当△。跖'

为直角三角形时，可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出8。的长.

【解答】解：在RtZkABC中，VAB2-AC2=V132-52=12,

(1)当/EDB'=90°时，如图1,

过点作2,F1AC,交AC的延长线于点R

由折叠得：AB=AB'=13,BD=B'D=CF,

设8O=x,贝U"D=CF=x,B'F=CD=n-x,

在中，由勾股定理得：

(5+无)2+(12-%)2=132,

即：x-7x=0,解得：xi=0(舍去)，X2=7,

因此，BD=7.

(2)当NDEB'=90°时，如图2,此时点E与点C重合,

由折叠得：AB=AB'=13,则B'C=13-5=8,

设8O=x,则8'D=x,CD=\2-x,

在RtZXB'CO中，由勾股定理得：(12-x)2+8?=，，解得：了=空,

3

因此8£>=坦.

3

故答案为：7或空.

3

(E)

B邺

【点评】考查轴对称的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，分类讨论思想的应

用注意分类的原则是不遗漏、不重复.

18.(3分)如图，点尸是正方形ABC。的对角线8。延长线上的一点，连接E4,过点尸作

PEL也交8C的延长线于点E,过点E作EFLB尸于点F,则下列结论中：

①B4=PE；②CE=yp^D；③BF-PD=1BD；④S&PEF=S&ADP

2

正确的是①②⑶(填写所有正确结论的序号)

【分析】①解法一：如图1,作辅助线，构建三角形全等和平行四边形，证明

△EFP(SAS),得BG=PE,再证明四边形A8G尸是平行四边形，可得结论；

解法二：如图2,连接AE,利用四点共圆证明△APE是等腰直角三角形，可得结论；

②如图3,作辅助线，证明四边形QCGP是平行四边形，可得结论；

③证明四边形OCG尸是矩形，可作判断；

④证明△AOP四八叩£(A4S),则SAAOP=SAPEF，可作判断.

【解答】解：①解法一：如图1,在EF上取一点G,使EG=BP,连接BG、PG,

BE

图1

9

：EFLBP,

：.ZBFE=90°,

•・•四边形ABC。是正方形，

：.ZFBC=ZAB£>=45°,

：・BF=EF,

在43尸G和△£7/中，

'BF二EF

；ZBFG=ZEFP，

FG=FP

••・△BFG会/\EFP(SAS),

：.BG=PE,ZPEF=ZGBF,

VZABD=ZFPG=45°,

J.AB//PG,

VAP±PE,

・•・ZAPE=NAPF+NFPE=ZFPE+ZPEF=90°,

・•・ZAPF=ZPEF=ZGBF,

J.AP//BG,

：.四边形ABGP是平行四边形，

：.AP=BG,

：.AP=PE；

解法二：如图2,连接AE,VZABC=ZAPE=90°,

・・・A、B、E、尸四点共圆,

：.ZEAP=ZPBC=45°,

9：AP±PE,

：.ZAPE=90°,

AAPE是等腰直角三角形，

：.AP=PE,

故①正确；

②如图3,连接CG,由①知：PG//AB,PG=AB,

图3

'：AB=CD,AB//CD,

：.PG//CD,PG=CD,

.••四边形DCGP是平行四边形，

:.CG=PD,CG//PD,

\'PD±EF,

：.CG±EF,即/CGE=90°,

VZCEG=45°,

CE=42CG=42PD；

故②正确；

③如图4,连接AC交8。于O,由②知：ZCGF=ZGFD=90°,

图4

:四边形ABC。是正方形,

：.AC±BD,

：.ZCOF=90°,

四边形OCGP是矩形,

CG=OF=PD,

：.1.BD=OB=BF-OF=BF-PD,

2

故③正确；

④如图4中，在△AOP和△PFE中，

rZAOP=ZEFP=90°

••••ZAPF=ZPEF，

LAP=PE

^AOP^APFE(44S),

••SAA0P=S4PEF，

：•SAADP<SAAOP=S"EF，

故④不正确；

本题结论正确的有：①②③，

故答案为：①②③.

【点评】此题属于四边形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，正方形的

性质，平行四边形和矩形的判定和性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练

掌握判定与性质是解本题的关键.

三、解答题(第19题10分，第20题12分，共22分)

2

19.(10分)先化简，再求值：a+a-4-(2-工)，其中(1)-1-(-2)°,

a2-2a+la-1a3

【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式

子即可解答本题.

2

【解答】解：:+&>

a-2a+la-1a

=a(a+l).2a-(a-1)

(a-1)2a(a-l)

=a(a+l)/(a-l)

(a-1)22a-a+l

=a(a+l).a

a-la+1

*

a-f

2

当a=(A)-1-(-2)°=3-1=2时，原式=-？—=4，

32-1

【点评】本题考查分式的化简求值、零指数累、负整数指数累，解答本题的关键是明确

分式化简求值的方法.

20.（12分）某学校为了解学生“第二课堂”活动的选修情况，对报名参加A.跆拳道，B.声

乐，C.足球，D.古典舞这四项选修活动的学生（每人必选且只能选修一项）进行抽样

调查.并根据收集的数据绘制了图①和图②两幅不完整的统计图.

‘第二课堂"活动的选修情况条形统计图‘第二课堂”活动的选修情况条形统计图

图①图②

根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）本次调查的学生共有200人;在扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度

数是144。；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）在被调查选修古典舞的学生中有4名团员，其中有1名男生和3名女生，学校想从

这4人中任选2人进行古典舞表演.请用列表或画树状图的方法求被选中的2人恰好是1

男1女的概率.

【分析】（1）由A活动的人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以B活动人数所

占比例即可得；

（2）用总人数减去其它活动人数求出C的人数，从而补全图形；

（3）列表得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的

概率.

【解答】解：（1）本次调查的学生共有30・15%=200（人），

扇形统计图中，8所对应的扇形的圆心角的度数是360。义型=144。，

200

故答案为：200、144；

（2）C活动人数为200-（30+80+20）=70（人）,

补全图形如下：

第二课堂”活动的选修情况条形统计图

（3）画树状图为:

男女1女2女3

男---（女，男）（女，男）（女，男）

女1（男，女）---（女，女）（女，女）

女2（男，女）（女，女）---（女，女）

女3（男，女）（女，女）（女，女）---

..•共有12种等可能情况，1男1女有6种情况，

•••被选中的2人恰好是1男1女的概率g=工.

122

【点评】本题考查了扇形统计图，条形统计图，树状图等知识点，解题时注意：概率=

所求情况数与总情况数之比.

四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）

21.（12分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A（-1,1）,3（-4,1）,

C（-3,3）

（1）将△ABC向下平移5个单位长度后得到△4SG，请画出△AiSCi；并判断以0,

Ai，8为顶点的三角形的形状（直接写出结果）；

（2）将△ABC绕原点。顺时针旋转90°后得到AA222c2，请画出282c2，并求出点

C旋转到C2所经过的路径长.

【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出4、81、C1的坐标，则描点即可得到4

A/1G；然后利用勾股定理的逆定理判断以O,Ai，B为顶点的三角形的形状；

（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点人2、历、C2，从而描点得到△

A222c2,然后利用弧长公式计算出点C旋转到C2所经过的路径长.

【解答】解：（1）如图，△421。为所作，

,*OB=yj|2+^2=>/17>OAi=yj|2+^2=^/17，BA\=2+2=>\/34，

.•.OB2+OA12=BA12,

...以O,A1，8为顶点的三角形为等腰直角三角形；

（2）如图，△A2&C2为所作，点C旋转到C2所经过的路径长=9。"兀、料=理21T.

1802

【点评】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转

角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法,

找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形.

22.（12分）如图，一次函数>=0计6的图象与x轴、y轴分别交于A,8两点，与反比例

函数>=组的图象分别交于C,。两点，点C（2,4）,点8是线段AC的中点.

X

kc

（1）求一次函数y=kix+b与反比例函数y=_2的解析式；

（2）求△C。。的面积；

（3）直接写出当x取什么值时，kiX+b<

y

XT

【分析】(1)把点c的坐标代入反比例函数，利用待定系数法即可求得反比例函数的解

析式，作CEJ_x轴于E,根据题意求得8的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的

解析式；

(2)联立方程求得D的坐标，然后根据SMOD=SABOC+&BOD即可求得△或»£»的面积;

(3)根据图象即可求得后x+b<丝时，自变量尤的取值范围.

X

k

【解答】解：(1)...点C(2,4)在反比例函数y=_4的图象上，

X

・••近=2X4=8,

X

如图，作CE_Lx轴于E,

VC(2,4),点8是线段AC的中点，

：.B(0,2),

；B、C在月=狂什》的图象上，

(2k+b=4

••<19

lb=2

解得所=1，b=2,

一次函数为力=x+2；

y=x+2

⑵由，g，

y-

X

解得卜=2或卜I,

ly=4ly=-2

：.D(-4,-2),

S^COD—SABOC^S^BOD=—X2X2+—X2X4=6；

22

【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和二次

函数的解析式，方程组的解以及三角形的面积等，求得8点的坐标是解题的关键.

五、解答题（满分12分）

23.（12分）某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售.其销售单

价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于90%,市场调研发现，在一段时

间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示：

（1）根据图象，直接写出y与x的函数关系式；

（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元

（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？

J（个,

160……、

100I...............!.L

O5080X（兀）

【分析】（1）由待定系数法可得函数的解析式；

（2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列方程可解；

（3）设每天获得的利润为w元，由题意得二次函数，写成顶点式，可求得答案.

【解答】解：（1）设Y=履+6（左W0,6为常数）

将点（50,160）,（80,100）代入得

[160=50k+b

I100=80k+b

解得上2

lb=260

与x的函数关系式为：y=-2x+260

（2）由题意得：（%-50）（-2x+260）=3000

化简得：X2-180A+8000=0

解得：无i=80,无2=1。0

：xW50义(1+90%)=95

.-.X2=100>95(不符合题意，舍去)

答：销售单价为80元.

(3)设每天获得的利润为w元，由题意得

w=(x-50)(-2x+260)

=-2/+360尤-13000

=-2(%-90)2+3200

,：a=-2<0,抛物线开口向下

有最大值，当x=90时，w最大值=3200

答：销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元.

【点评】本题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程的应用、二次

函数的应用等知识点，难度中等略大.

六、解答题(满分12分)

24.(12分)如图，点M是矩形ABC。的边延长线上一点，以AM为直径的O。交矩形

对角

线AC于点R在线段C£>上取一点E,连接ER使

(1)求证：跖是。。的切线；

(2)若COS/CAO=3,AF=6,MD=2,求PC的长.

【分析】(1)根据等腰三角形的性质和直角三角形两锐角互余证得NEFC+N。吊=90°,

即可证得/EFO=90°,即EFLOF,从而证得结论；

(2)根据圆周角定理得出NAFM=90°,通过解直角三角形求得10,得出A£>=8,

进而求得4。=也，即可求得尸。=也-6=殁.

333

【解答】(1)证明：连接OR

:四边形ABC。是矩形，

AZADC=90°,

：.ZCAD+ZDCA=9Q°,

,:EC=EF,

：.ZDCA^ZEFC,

'：OA^OF,

：.ZCAD=ZOFA,

：.ZEFC+ZOFA=90°,

AZ£F6>=90°,

J.EF1OF,

厂是半径，

.••EF是。。的切线；

(2)连接MR

YAM是直径，

/.ZAFM=90°,

在Rt/VIFM中，cosZCAD=^-=^-

AM5

"：AF=6,

•6=3

"AMT

：.AM=10,

"：MD=2,

：.AD=8,

在Rt^ADC中，cosNCAZ)=蛙=3

AC5

•A=3_,

"ACT

.,.AC=12,

3

.*.FC=-^l-6=^±-

33

【点评】本题考查了切线的判定和性质，矩形的性质，圆周角定理的应用以及解直角三

角形等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键.

七、解答题（满分12分）

25.（12分）如图，ZkABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,。是射线C8上一点（点。

不与点8重合），以为斜边作等腰直角三角形AOE（点E和点C在AB的同侧），连

接CE.

（1）如图①