数学问题教学的内涵特征及实践路径

【摘要】以问题解决为根本手段的数学问题教学一直都是数学教育的核心。本文通过对数学问题教学所蕴含的以情境生发问题、以互动促进问题提出、以反思贯穿问题解决等过程的内涵特征的透析，突显问题教学独特的育人特色。数学问题教学的实施有助于提高学生的抽象与概括能力，增强学生的创新意识和创新能力，提升思维品质。在遵循学生的认知发展规律的前提下，数学问题教学应遵从“发现问题—建构问题—解决问题—反思问题”的实施逻辑，为学生的数学思维发展奠基。【关键词】数学问题教学；内涵；价值；实践；反思一、引言加涅认为，学习发展是一种循序渐进的过程。学习应处于有序（知识发展逻辑有序、学生认知发展有序）且螺旋上升（知识学习的每一阶段都是促进理解的过程）的进程中。作为知识掌握的重要阶段之一，知识运用不仅能检验知识的理解与巩固水平，还能促进对原有问题的理解及新问题的发现。运用知识的过程一般要通过审题（建立问题的初步表征形式，包括问题的目的与要求、已知与未知的关系）、联想（确定解决问题所需的知识）、解析（寻找解决问题的具体思路与办法）及类化（概括当前问题与原有知识的共性、本质特征，以建构新知识结构）等四个环节来完成。知识运用过程即发现问题、分析与解决问题、理解并反思问题的问题研究全过程，因此本文聚焦数学问题教学的内涵与实践路径，以期通过问题教学发展学生的数学思维。二、数学问题教学的内涵透析数学问题教学，顾名思义，是围绕数学问题而展开的教学。苏格拉底使用问答的形式进行教学，强调师生双方共同探讨，尋求问题的正确答案，这可视作问题教学的起源。当下，问题导向下的问题链教学已成为各学科教学的重要方法之一。问题解决过程中，通过描述思维过程的心理学行为并总结规律，以发展学生的智力和能力，与马赫穆托夫所提出的问题式教学理论是高度契合的。马赫穆托夫认为教学的关键在于创设合适的问题情境，以达到对教学过程的有效控制；问题的提出要经历分析问题情境、“看出”问题的本质、用语言概述问题等三个循序渐进的阶段；问题的解决由若干环节构成，即拟订问题的解决计划，提出推测并论证假想，证明假想，检验问题的解决结果，重温和分析解决过程。（一）以问题为中心：由情境生发以问题为中心的教学模式将问题界定为一种教学设计与实施的情境，它聚焦的问题具备四项特质［1］：能统摄学科知识，贯穿学习全程；能促进能力形成，培养学习方法；能顺应学生身心发展特点，激发学习兴趣；能培养意志品质，形成质疑精神。苏霍姆林斯基认为，脱离情境的问题是难以产生情绪高昂和智力振奋的内心状态的。情境，尤其是含有真实事件或真实问题的情境，能有效影响个体的行为方式，影响他们的情感认知倾向，对于个体自主进行知识内涵理解及意义建构有特定的作用。《普通高中数学课程标准（2017年版）》着重指出，情境创设和问题设计要有利于发展数学学科核心素养。在教学活动中，教师应结合教学任务及其蕴含的数学学科核心素养设计合适的情境（如现实情境、数学情境、科学情境等），让问题能多样化、多层次地生发出来。问题情境要作为问题教学的逻辑起点，教师创设问题情境的根本目的在于以情境为载体连接学生的认知经验与外部经验，以问题为线索贯穿学生探究与思考的全过程。情境作为知识意义建构、情感积极体验的教学场，实为知识学习的明线，亦是课堂演进逻辑的暗线。因为师生共同亲历融入情境、转译情境、走出情境及反思情境的情境化步骤，认知能在无形中得到丰富和超越。数学教学的根本旨趣在于发展学生的数学思维。问题情境既外显为可迁移的学习条件，又内蕴问题的可探究性，具备发展学生思维的特质。教师从衍生性主题的设计、数学内容本质的把握、数学关系的转化以及问题结构的明确等方面去创设情境，有助于彰显问题情境对学生思维发展的教学意义［2］。（二）以问题提出为核心：因互动所致问题提出一度被视为是比解决问题更具有创新价值的研究行为，问题的提出尤其是数学问题的提出更加强调数学学科的独特属性：问题的产生一定是基于真实的疑惑，具备客观性；有价值的问题不仅能揭示知识的发生发展规律，而且能为进一步的研究指明方向或做出预测；问题提出着眼的不是单一的知识情境，涉及的数学对象较多，因而具备广泛性和联结性。问题提出作为问题学习的一种追求，它并非总能达成，因而问题提出的另一价值便是伴随这一过程的有效的数学交流。有效的数学交流依赖于独到的数学眼光、缜密的数学思维以及精准的数学语言。问题提出中构建数学交流的一般模式可分为三个阶段：（1）输入阶段。表征问题情境中元素和元素间的关系，以理解问题情境。（2）过程阶段。确定新问题中元素与元素间的关系，以建构新问题的心理结构。（3）输出阶段。表征新问题中元素与元素间的关系，以表达新问题［3］。因而，数学问题的提出可视作是问题提出者对已有问题进行加工、编码所得新问题的过程，是与问题情境或学习同伴互动的产物。师生间、生生间、生本间的互动是指多感官、全方位、全过程的参与，是促使师生自觉主动发展的有效路径。有意义的问题能激发互动，互动反过来又深化了对问题本质的探寻，故问题提出机制的精髓在于“问题互动化”。教学实践也表明，学习动机的激发源于对问题的质疑，强烈的探究欲望始于问题的提出。（三）以问题解决为旨趣：将反思贯穿问题提出后便直接指向问题解决过程。数学问题解决是以思考为内涵，以问题目标为走向的心理活动过程，其实质是运用已有的知识去探索新情境中的问题结果，使问题由初始状态达到目标状态的一种活动过程［4］。纵观学界对问题解决过程的研究，较为经典的主要有三种模型：杜威的“五步问题解决过程”，即呈现问题、定义问题、形成假设、测验假设、选择最佳的假设；波利亚的“怎样解题表”模型，即弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾解题的全过程；匈菲尔德的数学解题模式，强调数学解题的研究方向需要考虑知识基础、解题策略、自我控制、信念系统等四个因素。具体到数学领域的问题解决，除以上基本流程外，对问题解决的后续部分和反思环节也体现出了强烈的关注。数学问题得到解决后，一般要进行问题的推广和引申，方能在“成堆成长的蘑菇周围找到更多的蘑菇”，这是波利亚生动阐述的数学问题间的紧密联系性。弗赖登塔尔认为，反思是数学思维活动的核心和动力。反思是促使思维走向完备、有序的必要环节，反思的过程不仅能提升问题意识，同样也是问题解决的过程。数学问题教学实质上是一种有强烈问题意识、问题导向思维的科学探究方式，主要包括两个方面：（1）强烈的问题意识不仅要求对问题解决过程应有坚持不懈的探索精神，还应通过观察、对比、分析等一系列推理形式洞察问题的生长点并抽象出合适的数学问题，即问题意识支持并维持从问题提出到问题解决的全过程。（2）从发现问题、提出问题、分析问题到解决问题、反思问题的全过程可以映射出数学思维有序推进的过程，问题既是有效的思维训练载体，又是重要的思维工具或方式。毫无疑问，数学问题教学的各个阶段都应看作是从问题生发到问题解决，从问题意识到科学研究意识的认知进阶过程。三、数学问题教学的实践路径“问题引领学习”道出了问题教学的真谛，数学问题教学的价值伴随着问题的提出、分析与解决的整个过程，学习真正发生并达成目标，具体体现在三个方面：（1）有助于提高学生的抽象与概括能力。问题蕴含在问题情境中，需要借助抽象才能剥离出来，因而问题情境是促进学生在情境中将默会知识外显化的重要途径［5］。（2）有助于增强学生的创新意识和创新能力。能否提出问题尤其是提出高质量的问题直接制约着问题教学的价值上限。只有对数学本原性问题有了理性的判断后，有一般的观念来引领，有一定的数学思想作为指导，有一定的思维策略作为支撑，才能提出有含金量的问题［6］。问题作为教学过程中的主题，应聚焦复杂的、有意义的问题情境的创设，并导向独立探索或合作式的问题解决过程［7］，能有效地组织教师、学生等一系列教学要素有机、融洽地交互。（3）有助于提升学生的思维品质。以发现问题、建构问题、解决问题、反思问题为逻辑主线的问题化学习能提升学生的思维敏捷性、深刻性、灵活性、批判性和独创性等优良思维品质，有助于形成分析与综合、抽象与概括、比较与分类等科学基本思维方式。基于此，问题教学应满足不同层次学生的发展需求，能激发学生的质疑、联想能力，引导学生持续、多视角地理解问题和重构知识关联，从而让核心素养真正落地，彰显问题教学的诊断价值。（一）发现问题问题，作为问题教学的基点，直接决定着问题教学的有效性。问题的源头一般分为四种：教学中的重点、难点和关键点；知识的衔接点；学生学习中的疑点和盲点；教师预设的补偿点。教学中的重点、难点、关键点是共性的问题，是知识内在属性的外在表现。如对函数概念的理解就是难点问题，因为学生的思维水平（尤其是抽象思维）还不够成熟，还不能突破由结构分析（函数的“三要素”）到本质揭示（特殊的对应关系）的困境，所以需要格外关注概念的深化过程。知识的衔接点同樣也是问题教学的基点，相较而言，它更为隐蔽，需要做深刻的教材内容分析。如“导数及其应用”是体现知识应用性较广的一个重要内容，主要包含导数知识在函数问题中的应用，囿于中学生认知水平等因素，函数极限的基本概念已从新课标教材中剔去，旨在不增加学生的理解难度，但极限思想是问题解决过程中不可或缺的一种重要数学思想，因此自然要进一步追问这些有着极限背景的高等数学知识的基本可教性和可学性。在数学逻辑和认知逻辑的演进过程中，学习中的疑点和盲点不可避免。教师可以主动倾听和观察，提出引导性问题帮助学生发现问题所在，也可以创设问题情境或设计开放性问题促使学生聚焦疑点和盲点。如“二次曲线联立后为什么会出现增根？”“点差法为什么不适用于双曲线中的中点弦问题？”等。补偿性教学立足于学生已掌握的知识与教学目标的差异，旨在通过对典型问题的纠偏与强化，在问题解决的过程中加深理解和提高数学思维能力。以联系的视角审视补偿点，可以丰富学习内容，扩充学习领域。以对话与合作的方式实施补偿过程，利于破解疑难，养成乐于探究的科学品质。在正常教学活动中，补偿教学以上述问题生发源头作为出发点，也极易走向另一个极端，即完全的教师经验主义。在学生没有出现教师预设的错误前，教师的提前预警或干扰会剥夺学生犯错的权利，也相应地关闭了他们通向真知的理解之门。因此，教师应基于实况调查（或借用大数据统计手段）开展以释疑解惑、纠偏纠错为主的巩固性、补偿性教学，促进数学深度理解。值得一提的是，有目的地创设结构不良的问题或开放性的问题更能激发学生的探知欲，帮助学生多角度把握问题本质，追寻知识背后的价值，形成跨学科综合解决问题的关键能力。［8］（二）建构问题确定问题主题后，便要围绕其建构教学的策略。教学应把握问题的层次性和系统性，即注重从具体问题到一般性问题的迁移，利用结构化的视角剖析问题的内涵特征。我们首先要明确教学总目标，即培养学生的“三会”数学核心素养和运用数学的自觉意识。在数学学习中，每个人都应得到不同程度的发展，因而首先要分析学生的内在需求及发展路径。波利亚说过，学习任何知识的最佳途径是由自己发现的。因为自己发现的学习途径往往能理解得最深，也最容易掌握知识的内在规律、性质和联系。因此，教师应尽可能少告知学生知识，多创设情境激发学生探索未知知识的欲望。实践表明，学生自主、深刻的思考与探索是形成科学有效的思维方式的重要途径。思维方式决定发展上限，学生的文化知识学习中，对于知识的认知是最重要的思维方式。知识是通过建构的方式深入化和扩大化的，因而正确的知识观在本质上蕴含着在学习方式上对研究性学习的必然选择。随着知识细节的不断补充，加工知识的方式和手段趋于完备化、模式化，最终奠定思维方式的雏形，发展便成为可能。其次，育人的具体表达便是课程的制订与实施。依托课程标准导学、导教是培养学科视野、学科典型思想方法的重要举措，这属于分析问题的第二层次。课程理念是教学理念的先导，课程理念要经由课程设计转化为课程实践，我们在课程标准里可以找到充分的理据和可行的建议。具体地，要实现教、学、评一致性，就应把握好课程标准这一中轴基准。如《普通高中数学课程标准（2017版2020年修订）》在“一元函数导数及其应用”的教学提示部分指出，“学生对导数概念的理解不可能一步到位，导数概念的学习应该贯穿在一元函数导数及其应用学习的始终”［9］，并在学业要求部分提出要求：能够通过具体情境，直观理解导数概念，感悟极限思想，知道极限思想是人类深刻认识和表达现实世界必备的思维品质。因而对蕴含极限思想的高等数学知识的初等化处理和近似诠释就显得合理且必要。最后才是教，教的复杂性远甚于学。教师对课程标准、教材的理解作为教的开端，后续知识的处理、教法的选用等都影响着教的效果，故而要确定教学的侧重。知识的发生过程是知识介入认知结构的“第一印象”，也应是教学的侧重。囿于学生认知水平与知识的难度、深度的差异，发现式学习也并非适用于任何数学内容的学习，那么教学的側重便转移到了“教如何理解”上。理解是通过对事物的观察分析，将有关联的事物相互联系，通过自我消化、整合，形成新认识的心理过程。理解是指能够在给定的资讯以外有所超越，并且能够创造性地去运用自己的知识。理解可以表现为不同的程度，对于任何问题，在思考、讨论及将理论用于实践的过程中，伴随着疑问和回答，理解程度将不断深入。有学者对理解进行了层次化划分，将理解划分为工具性理解、关系性理解、创新性理解［10］。因而用复杂观念或高观念对知识进行深入浅出的介绍与点评，利用多元方法促进学生理解是打造理解性课堂的关键。（三）解决问题解决问题要讲究方式方法，步骤组成或阶段分析尤为关键。解决数学问题的认知过程包含问题表征、模式识别、解题迁移和解题监控四个步骤。［11］问题表征形式决定了问题所属领域及思考的大致范畴，模式识别是对已有相关经验的调用与确认，解题迁移是对经验的匹配、认知过程的加工以及相应解题方案的践行，解题监控则是对问题解决整个过程的回顾与反思。同样地，按“研究问题—研究对象—研究工具”［12］的程式寻求问题的解决策略，不仅可操性强，而且能加深教师对教育研究方法以及数学本身的理解。具体而言，可对照波利亚的“怎样解题表”实践解决问题的全过程。在此，本文呈现一个经典问题的解决过程。例春运期间，各车站通过增加售票窗口、检票窗口、班次等方式来减少旅客的滞留量。旅客在车站排队购票，并且排队的旅客可视为均匀增加。若只开设1个售票窗口，需要40分钟将等待购票的旅客的车票全部售出（假设每名排队旅客只能购买1张所需车票）；若只开设2个售票窗口，只需15分钟将等待购票的旅客的车票全部售出。现有一班增开客车进站运送旅客，因时间紧张，所有排队购票的旅客必须在5分钟内全部购票上车（假设等待购票的旅客都乘坐该车，并且购票后立即上车），问此时车站最少要同时开放几个售票窗口？［13］鉴于本题的变量关系具有一定的隐蔽性，故搜集信息、加工信息是解决本题过程中的一大难点。相较于以自主发现问题解决策略为特质的“问题本位”模式，以问题驱动为活动中心的“问题引领”式更能提升学生的问题研究意识和能力［14］。因此，在学生先行审题的基础上，教师搭设必要的脚手架，提出三个辅助性问题供学生思考：（1）本题要解决的问题是什么？（2）问题如何用文字语言表述？（3）文字语言中的量如何用数学符号语言表示？用表格呈现出来。（四）反思问题反思问题应是问题研究中最重要的一个环节。反思是促使知识类化、知识结构重建的实践活动，教师的专业发展及学生的认知能力的提升都离不开反思。1.回归知识教学的根本目的问题教学是借由对问题的探索以实现知识教学的根本目的，即发展并完善认知方式，实现自我全面发展。如数学思想方法的学习，意义在于促成学习者将正确方法的盲目、不自觉的应用向有意识、自觉的应用转化。某一种思想方法的领会与掌握，仅靠几节课的教学往往不能奏效，要靠教师长期有意识、有目的地启发诱导，还要靠学生不断体会、挖掘、领悟、深化。通俗地讲，数学思想方法的下沉不能是直接贯穿，而应是渗透。如何渗透？教师可对同一主题下的不同内容进行练习与强化，也可把任务投入更具针对性的作业训练中去。概言之，渗透的过程是思维借由训练得以进阶的过程。加强思维训练，要遵循以下三个基本原则。第一，序进原则。思维的严谨性和逻辑性在于思维层次一定是由低到高依次发展的。最熟悉的事物、最简单的变化是思维的开端，高等数学知识是研究受阻、方法亟待优化等前提下相机而生的，其背后的数学思想方法的学习也要经历潜意识阶段、明朗化阶段、深刻化阶段等不同阶段。如函数极限的学习中，学习者先是对函数极限有“朦朦胧胧”的感觉，接着能利用恰当的方式对它进行概括总结，最后能运用它解决问题，乃至形成方法。第二，多思维协作原则。思维的复杂性在于思维的动态变化及各种思维的交织。一般的数学思维方法有分析、综合、比较、抽象、概括、联想、想象、类比、猜想等，在进行有意识的思维训练时，它们往往是共同协作与转换的，因而以不同视角审视研究对象的内涵与外延是很有必要的。第三，不断变换问题原则。实践表明，不断变换问题能保持问题间的自然关联性，利于知识的加工、拓展与整合。此外，随着问题的不断演变，方法与思想会一次次接受检验或矫正，高阶思维也更易形成。归根结底，学生数学思维水平的提高要靠教师的数学教学视野来造就。教师要正确看待数学教学中过程与结论的辩证关系：不经历思想概括的过程，结论难以牢固；不预想可能的结论，过程也多是盲目不定。2.学会方法的演进、规律的总结数学方法论作为数学教育界的一个重要内容，在其他学科和领域都有广泛的应用。张奠宙先生