2023-2024学年安徽省县域联盟高一（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年安徽省县域联盟高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x2+A.{−1,3} B.{02.复数z=1+3A.1，1 B.1，i C.−13,3.下列结论正确的是(

)A.底面是正方形的棱锥是正四棱锥

B.绕直角三角形的一条边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥

C.有两个面是四边形且相互平行，其余四个面都是等腰梯形的几何体是四棱台

D.棱台的所有侧棱所在直线必交于一点4.在△ABC中，“A=B”是“A.必要不充分条件 B.充分不必要条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.一艘轮船从A地出发，先沿东北方向航行15海里后到达B地，然后从B地出发，沿北偏西75°方向航行10海里后到达C地，则A地与C地之间的距离是(

)A.57海里 B.103海里 C.156.已知向量a=(1,m)，b=(2,−1A.(−∞,−3)∪(17.已知函数f(x)=12x2−A.4 B.5 C.8 D.108.已知φ为第一象限角，若函数f(x)=cos(xA.73−158 B.9二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z=(1+A.z−=2−i B.|z10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+1)A.f(x)的图象关于直线x=−2对称

B.f(x)=f(x+11.对任意两个非零的平面向量a和b，定义：a⊕b=a⋅b|a|2+|b|2；a⊙A.1 B.32 C.54 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.一个棱台至少有______个面．13.已知x>0，y>0，且x+2y−z=0，则z14.如图，在扇形OAB中，半径OA=4，∠AOB=90°，C在半径OB上，D在半径OA上，

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知复数z=a2−2a−3+(a−3)i，a∈R16.(本小题15分)

已知向量a，b的夹角为2π3，且|a|=2|b|=4．

(1)求向量17.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且B≠π2，sin2A−sin2B=sin2C(18.(本小题17分)

在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且EC=2AE，BC=2BD，F是AD，BE的交点.设AB=a，19.(本小题17分)

如图，在平面四边形ABCD中，AB=1，BC=3，CD=2，AD=4．

(1)若A为锐角，且sinA=

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：A={x|x2+2x−3=02.【答案】A

【解析】解：z=1+3i2+i=(1+3i)(23.【答案】D

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，各侧面都是全等的等腰三角形，且底面为正多边形的棱锥是正棱锥，A错误；

对于B，绕直角三角形的一条直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥，B错误；

对于C，若几何体中，有两个面是四边形且相互平行，其余四个面都是等腰梯形，不能保证侧棱的延长线交于一点，该几何体不一定为棱台，C错误；

对于D，由棱台的定义，棱台的所有侧棱所在直线必交于一点，D正确．

故选：D．

根据题意，由棱锥的定义分析A，由圆锥的定义分析B，由棱台的定义分析C和D，综合可得答案．

本题考查棱柱、棱台、棱锥的结构特征，注意常见几何体的定义，属于基础题．4.【答案】B

【解析】解：A=B时，sin2A=sin2B，充分性满足，

当A+B=π25.【答案】A

【解析】解：由题意知，AB=15海里，BC=10海里，∠ABC=45°+(90°−75°6.【答案】B

【解析】解：由

θ∈(π4,π2)，得

cosθ∈(0,22)，

因为cosθ=a⋅b|7.【答案】D

【解析】解：f(x)=12x2−x+5的对称轴为x=1，

则f(1)=12×12−1+5=92≤4m，解得m≥98，

则f(x)8.【答案】A

【解析】解：由题意可得，f(x)=cosxcosφ−sinxsinφ+2sinx

=(2−sinφ)9.【答案】BD【解析】解：z=(1+2i)i5=(1+2i)i=−2+i，

z−=−2−i，故A10.【答案】AB【解析】解：因为f(x+1)=f(3−x)，则f(x)关于直线x=2对称，

则f(−x)=f(x+4)，因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，

则f(−x)=f(x)，则f(x)=f(x+4)，则B正确，

则f(−x)=f(x)=f(x−4)

则f(x)的图象关于直线x11.【答案】AC【解析】解：{n4|n∈Z,0<n≤4}={14,12,34,1}，设向量a和b的夹角为θ,θ∈[0,π2)，则：a⊕b=a⋅b|a|2+|b|2=|a||b|cosθ|12.【答案】5

【解析】解：易知面数最少的棱台是三棱台，

而三棱台有5个面，

则一个棱台至少有5个面．

故答案为：5．

由题意，根据面数最少的棱台是三棱台，即可求解．

本题考查棱台的结构特征，考查了逻辑推理能力，属于基础题．13.【答案】8

−16【解析】解：由x>0，y>0，x+2y−z=0，得z=x+2y≥2x⋅2y，

则z2xy≥8，当且仅当x=2y时取等号，

所以当x=214.【答案】(8【解析】解：连接OE、AB，设∠AOE=2θ，则∠BOE=π2−2θ，∠ABE=θ，所以∠OBE=θ+π4；

在△OBE中，由正弦定理得，BEsin(π2−2θ)=OEsin(θ+π4)，则BE=OEsin(π2−2θ)sin(θ15.【答案】解：(1)由题意可得a2−2a−3=0a−3≠0，

解得a=−1；

(2)由题意可得z【解析】(1)结合纯虚数的定义，即可求解；

(216.【答案】解：(1)由向量a，b的夹角为2π3，且|a|=2|b|=4，得a⋅b=|a||b|cos2π3=4×2×(−12)=−4【解析】(1)求出a⋅b，再利用投影向量的意义求解即可．

17.【答案】解：(1)在△ABC中，由sin2A−sin2B=sin2C(cosB−1)及正弦定理，得a2−b2=c2(cosB−1)，

整理得a2+c2−【解析】(1)利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得．

(2)由(118.【答案】解：(1)因为BC=2BD，所以D是BC的中点，

则AD=12AB+12AC=12a+12b，

因为EC=2AE，所以AE=13AC=13b，

则【解析】(1)利用向量的线性运算求解即可；

(2)利用A，F，D三点共线，可得BF=λBA+(1−19.【答案】解：(1)连接BD，

因为A为锐角，且sinA=158，所以cosA=78，

在△ABD中，由余弦定理得，BD2=AB2+AD2−2AB⋅AD⋅cosA=1+16−8cosA，即BD2=17−8cosA，

在△BCD中，由余弦定理得，BD2=BC2+CD2−2BC⋅CD⋅cosC=9+4−12cosC，即BD2=13−12co