2022-2023学年吉林省长春市市第三十中学高二数学文月考试题含解析

2022-2023学年吉林省长春市市第三十中学高二数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设a=70.3，b=0.37，c=log70.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a参考答案：B考点： 对数值大小的比较；有理数指数幂的化简求值．

专题： 函数的性质及应用．分析： 利用对数函数、幂函数及指数函数的单调性即可比较出大小．解答： 解：∵log70.3＜log71=0，0＜0.37＜0.30=1，1=70＜70.3，∴c＜b＜a，故选B．点评： 熟练掌握对数函数、幂函数及指数函数的单调性是解题的关键．注意与0、1的比较．2.设随机变量，若，则a的值为（

）A．4

B．3

C．2

D．1参考答案：B由正态分布的对称性可知，正态分布的图像关于直线x=a对称，结合可知：.本题选择B选项.

3.已知

，猜想的表达式为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D4.已知等差数列和等比数列，它们的首项是一个相等的正数，且第3项也是相等的正数，则与的大小关系为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略5.在等差数列{an}中，，，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为A.

B.

C.或

D.参考答案：A6.已知函数f（x）=x2﹣cos（π+x）+l，f′（x）为f（x）的导函数，则y=f′（x）的函数图象大致为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】3O：函数的图象．【分析】求出f′（x）的解析式，判断奇偶性，再根据f″（x）的单调性得出f′（x）的增长快慢变化情况，得出答案．【解答】解：f′（x）=x+sin（x+π）=x﹣sinx，∴f′（﹣x）=﹣x+sinx=﹣f′（x），∴f′（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D；∵f″（x）=1﹣cosx在（0，π）上是增函数，∴f′（x）在（0，π）上的增加速度逐渐增大，排除C，故选A．7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，从而求两个体积之和即可．【解答】解：这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，半个圆锥的体积为××π×1×=；四棱锥的体积为×2×2×=；故这个几何体的体积V=；故选D．8.已知集合，若，则实数a的值为（

）A.1或2 B.0或1C.0或2 D.0或1或2参考答案：D【分析】就和分类讨论即可.【详解】因为当时，，满足；当时，，若，所以或.综上，的值为0或1或2.故选D.【点睛】本题考查集合的包含关系，属于基础题，解题时注意利用集合中元素的性质（如互异性、确定性、无序性）合理分类讨论.9.若函数满足，设，，则与的大小关系为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略10.已知△ABC的三边长分别为，，，其中x,y,z∈(0,+∞)，则△ABC是（

）A.钝角三角形

B.直角三角形

C.锐角三角形

D.以上三种情况均有可能参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的导数为_________________参考答案：略12.已知点是椭圆上的在第一象限内的点，又、，是原点，则四边形的面积的最大值是

参考答案：略13.已知椭圆方程为，则它的离心率为_____．参考答案：14.在平面直角坐标系中，若圆上存在，两点关于点成中心对称，则直线的方程为

.参考答案：15.某货轮在处看灯塔在北偏东方向,它向正北方向航行24海里到达处,看灯塔在北偏东方向.则此时货轮到灯塔的距离为___________海里.参考答案：16.设集合,集合,则_______________.参考答案：略17.若点三点共线，则的值为_____________.参考答案：4三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.一缉私艇发现在方位角45°方向，距离12海里的海面上有一走私船正以10海里/小时的速度沿方位角为105°方向逃窜，若缉私艇的速度为14海里/小时，缉私艇沿方位角45°+α的方向追去，若要在最短的时间内追上该走私船，求追及所需时间和α角的正弦.（注：方位角是指正北方向按顺时针方向旋转形成的角）.参考答案：解：设缉私艇与走私船原来的位置分别为A、B，在C处两船相遇，由条件知∠ABC=120°，AB=12（海里），设t小时后追及，，由正弦定理得由正弦定理得；再由余弦定理得但当，不合，19.（本题满分12分）已知函数（）．(Ⅰ)当时，求在区间[1，e]上的最大值和最小值；(Ⅱ)求的极值．参考答案：（Ⅰ）当时，，

对于[1，e]，有，∴在区间[1，e]上为增函数，∴，.-----4分（Ⅱ）（x>0）1

当,即时,＞0,所以，在（０，＋∞）是单调递增函数．故无极值点.②当，即时．令＝０，得，，（舍去）当变化时，，的变化情况如下表：（０，（，＋∞）↗极大值↘由上表可知，=时,=－－．--------12分20.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．（1）求证：PO⊥平面ABCD．（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值．参考答案：（）证明如下．（）．（）证明：中，，为中点，∴，又∵侧面底面，侧面底面，面，∴面．（）如图，连接，在直角梯形中，，，由（）可知，为锐角，∴为异面直线与所成的角，∵，∴在中，，在中，，在中，，∴．21.如图，在△ABC中，D是边AC的中点，且AB=AD=1，BD=．（1）求cosA的值；（2）求sinC的值．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】三角函数的求值．【分析】（1）由余弦定理列出关系式，将AB，AD，BD的长代入求出cosA的值即可；（2）由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，根据D为AC中点，得到AC=2AD，求出AC的长，利用余弦定理表示出cosA，将AB，AC代入求出BC的长，再由AB，BC，sinA的值，利用正弦定理即可求出sinC的值．【解答】解：（1）在△ABD中，AB=AD=1，BD=，∴cosA===；（2）由（1）知，cosA=，且0＜A＜π，∴sinA==，∵D是边AC的中点，∴AC=2AD=2，在△ABC中，cosA===，解得：BC=，由正弦定理=得，sinC==．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．22.已知函数在时取得极值且有两个零点.（1）求k的值与实数m的取值范围；（2）记函数f(x)两个相异零点，求证：.参考答案：（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）先对函数求导，根据极值点求出，得到函数解析式，再由有两个零点，得到方程有2个不同实根，令，根据导数的方法研究单调性与最值，即可求出的取值范围；（2）利用函数零点的性质，结合函数单调性和导数之间的关系，进行转化即可证明不等式.【详解】（1）因为，所以，又在时取得极值，所以，即；所以，因为有两个零点，所以方程有2个不同实根，令，则，由得；由得；所以函数在上单调递增；在上单调递减，所以，又时，；时