第三章导数及其应用 教案

第三章导数及其应用§3.1.1变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念；2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；教学难点：平均变化率的概念．教学过程：一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．二．新课讲授（一）问题提出问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是SKIPIF1<0如果将半径r表示为体积V的函数,那么SKIPIF1<0分析:SKIPIF1<0，hto当V从0增加到1时,气球半径增加了SKIPIF1<0hto气球的平均膨胀率为SKIPIF1<0当V从1增加到2时,气球半径增加了SKIPIF1<0气球的平均膨胀率为SKIPIF1<0可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?SKIPIF1<0问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速SKIPIF1<0度粗略地描述其运动状态?思考计算：SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的平均速度SKIPIF1<0在SKIPIF1<0这段时间里，SKIPIF1<0；在SKIPIF1<0这段时间里，SKIPIF1<0探究：计算运动员在SKIPIF1<0这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，虽然运动员在SKIPIF1<0这段时间里的平均速度为SKIPIF1<0，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．（二）平均变化率概念:1．上述问题中的变化率可用式子SKIPIF1<0表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率2．若设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0(这里SKIPIF1<0看作是对于x1的一个“增量”可用x1+SKIPIF1<0代替x2,同样SKIPIF1<0)则平均变化率为SKIPIF1<0SKIPIF1<0思考：观察函数f(x)的图象平均变化率SKIPIF1<0SKIPIF1<0表示什么?f(x2)f(x2)y=f(x)y△△y=f(x2)-f(x1) f(x1f(x1)△x=x2△x=x2-x1x2x2x1xOxO1．质点运动规律为SKIPIF1<0，则在时间SKIPIF1<0中相应的平均速度为．2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.3.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q(1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.五．回顾总结1．平均变化率的概念2．函数在某点处附近的平均变化率六．布置作业§3.1.2导数的概念教学目标：1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3．会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；教学难点：导数的概念．教学过程：一．创设情景（一）平均变化率（二）探究：计算运动员在SKIPIF1<0这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，SKIPIF1<0，hto所以SKIPIF1<0，hto虽然运动员在SKIPIF1<0这段时间里的平均速度为SKIPIF1<0，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．二．新课讲授1．瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，SKIPIF1<0时的瞬时速度是多少？考察SKIPIF1<0附近的情况：思考：当SKIPIF1<0趋近于0时，平均速度SKIPIF1<0有什么样的变化趋势？结论：当SKIPIF1<0趋近于0时，即无论SKIPIF1<0从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度SKIPIF1<0都趋近于一个确定的值SKIPIF1<0．从物理的角度看，时间SKIPIF1<0间隔无限变小时，平均速度SKIPIF1<0就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在SKIPIF1<0时的瞬时速度是SKIPIF1<0为了表述方便，我们用SKIPIF1<0表示“当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0趋近于0时，平均速度SKIPIF1<0趋近于定值SKIPIF1<0”小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。2导数的概念从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:SKIPIF1<0我们称它为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0出的导数，记作SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率（2）SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0三．典例分析例1．（1）求函数y=3x2在x=1处的导数.分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx)2再求SKIPIF1<0再求SKIPIF1<0解：法一定义法（略）法二：SKIPIF1<0（2）求函数f(x)=SKIPIF1<0在SKIPIF1<0附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第SKIPIF1<0时，原油的温度（单位：SKIPIF1<0）为SKIPIF1<0，计算第SKIPIF1<0时和第SKIPIF1<0时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解：在第SKIPIF1<0时和第SKIPIF1<0时，原油温度的瞬时变化率就是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0根据导数定义，SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0同理可得:SKIPIF1<0在第SKIPIF1<0时和第SKIPIF1<0时，原油温度的瞬时变化率分别为SKIPIF1<0和5，说明在SKIPIF1<0附近，原油温度大约以SKIPIF1<0的速率下降，在第SKIPIF1<0附近，原油温度大约以SKIPIF1<0的速率上升．注：一般地，SKIPIF1<0反映了原油温度在时刻SKIPIF1<0附近的变化情况．四．课堂练习1．质点运动规律为SKIPIF1<0，求质点在SKIPIF1<0的瞬时速度为．2．求曲线y=f(x)=x3在SKIPIF1<0时的导数．3．例2中，计算第SKIPIF1<0时和第SKIPIF1<0时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．五．回顾总结1．瞬时速度、瞬时变化率的概念2．导数的概念六．布置作业§3.1.3导数的几何意义教学目标：1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2．理解曲线的切线的概念；3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；教学难点：导数的几何意义．教学过程：一．创设情景（一）平均变化率、割线的斜率（二）瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况，导数SKIPIF1<0的几何意义是什么呢？二．新课讲授（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当SKIPIF1<0沿着曲线SKIPIF1<0趋近于点SKIPIF1<0时，割线SKIPIF1<0的变化趋势是什么？图3.1-2图3.1-2我们发现,当点SKIPIF1<0沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线SKIPIF1<0趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.问题：⑴割线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0与切线PT的斜率SKIPIF1<0有什么关系？⑵切线PT的斜率SKIPIF1<0为多少？容易知道，割线SKIPIF1<0的斜率是SKIPIF1<0,当点SKIPIF1<0沿着曲线无限接近点P时，SKIPIF1<0无限趋近于切线PT的斜率SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质—函数在SKIPIF1<0处的导数.（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.（二）导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点SKIPIF1<0处的切线的斜率，即SKIPIF1<0说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P点的坐标;②求出函数在点SKIPIF1<0处的变化率SKIPIF1<0，得到曲线在点SKIPIF1<0的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.（二）导函数：由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,SKIPIF1<0是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即:SKIPIF1<0注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．（三）函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的导数SKIPIF1<0、导函数SKIPIF1<0、导数之间的区别与联系。（1）函数在一点处的导数SKIPIF1<0，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。(2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f(x)的导函数(3）函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的导数SKIPIF1<0就是导函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的函数值，这也是求函数在点SKIPIF1<0处的导数的方法之一。三．典例分析例1:（1）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.（2）求函数y=3x2在点SKIPIF1<0处的导数.解：（1）SKIPIF1<0,所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为SKIPIF1<0即SKIPIF1<0（2）因为SKIPIF1<0所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为SKIPIF1<0即SKIPIF1<0（2）求函数f(x)=SKIPIF1<0在SKIPIF1<0附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0例2．（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数SKIPIF1<0，根据图像，请描述、比较曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0附近的变化情况．解：我们用曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0处的切线，刻画曲线SKIPIF1<0在上述三个时刻附近的变化情况．当SKIPIF1<0时，曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线SKIPIF1<0平行于SKIPIF1<0轴，所以，在SKIPIF1<0附近曲线比较平坦，几乎没有升降．当SKIPIF1<0时，曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，所以，在SKIPIF1<0附近曲线下降，即函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0附近单调递减．当SKIPIF1<0时，曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，所以，在SKIPIF1<0附近曲线下降，即函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0附近单调递减．从图3.1-3可以看出，直线SKIPIF1<0的倾斜程度小于直线SKIPIF1<0的倾斜程度，这说明曲线在SKIPIF1<0附近比在SKIPIF1<0附近下降的缓慢．例3．（课本例3）如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度SKIPIF1<0(单位：SKIPIF1<0)随时间SKIPIF1<0（单位：SKIPIF1<0）变化的图象．根据图像，估计SKIPIF1<0时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到SKIPIF1<0）．解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度SKIPIF1<0在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线SKIPIF1<0在此点处的切线的斜率．如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．作SKIPIF1<0处的切线，并在切线上去两点，如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则它的斜率为：SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：SKIPIF1<00.20.40.60.8药物浓度瞬时变化率SKIPIF1<00.40-0.7-1.4四．课堂练习1．求曲线y=f(x)=x3在点SKIPIF1<0处的切线；2．求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线．五．回顾总结1．曲线的切线及切线的斜率；2．导数的几何意义六．布置作业§3.2.1几个常用函数的导数教学目标：1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的导数公式；2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．教学重点：四种常见函数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的导数公式及应用教学难点：四种常见函数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的导数公式教学过程：一．创设情景我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数SKIPIF1<0，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．二．新课讲授1．函数SKIPIF1<0的导数根据导数定义，因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0函数导数SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0表示函数SKIPIF1<0图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若SKIPIF1<0表示路程关于时间的函数，则SKIPIF1<0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．2．函数SKIPIF1<0的导数因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0函数导数SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0表示函数SKIPIF1<0图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若SKIPIF1<0表示路程关于时间的函数，则SKIPIF1<0可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．3．函数SKIPIF1<0的导数因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0函数导数SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0表示函数SKIPIF1<0图像（图3.2-3）上点SKIPIF1<0处的切线的斜率都为SKIPIF1<0，说明随着SKIPIF1<0的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当SKIPIF1<0时，随着SKIPIF1<0的增加，函数SKIPIF1<0减少得越来越慢；当SKIPIF1<0时，随着SKIPIF1<0的增加，函数SKIPIF1<0增加得越来越快．若SKIPIF1<0表示路程关于时间的函数，则SKIPIF1<0可以解释为某物体做变速运动，它在时刻SKIPIF1<0的瞬时速度为SKIPIF1<0．4．函数SKIPIF1<0的导数因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0函数导数SKIPIF1<0SKIPIF1<05．函数SKIPIF1<0的导数因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0函数导数SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）推广：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0三．课堂练习1．课本P13探究12．课本P13探究2四．回顾总结函数导数SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0五．布置作业§3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学目标：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用教学过程：一．创设情景五种常见函数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的导数公式及应用函数导数SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0二．新课讲授（一）基本初等函数的导数公式表函数导数SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（二）导数的运算法则导数运算法则1．SKIPIF1<02．SKIPIF1<03．SKIPIF1<0（2）推论：SKIPIF1<0（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）三．典例分析例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为SKIPIF1<0，物价SKIPIF1<0（单位：元）与时间SKIPIF1<0（单位：年）有如下函数关系SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为SKIPIF1<0时的物价．假定某种商品的SKIPIF1<0，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？解：根据基本初等函数导数公式表，有SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0（元/年）因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0；（5）SKIPIF1<0．（6）SKIPIF1<0；（7）SKIPIF1<0解：（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（4）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。（5）SKIPIF1<0SKIPIF1<0（6）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。（7）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0。SKIPIF1<0【点评】①求导数是在定义域内实行的．②求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为SKIPIF1<0时所需费用（单位：元）为SKIPIF1<0求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以，纯净度为SKIPIF1<0时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．因为SKIPIF1<0，所以，纯净度为SKIPIF1<0时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．函数SKIPIF1<0在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，SKIPIF1<0．它表示纯净度为SKIPIF1<0左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为SKIPIF1<0左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．四．课堂练习1．课本P92练习2．已知曲线C：y＝3x4－2x3－9x2＋4，求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；（y＝－12x＋8）五．回顾总结（1）基本初等函数的导数公式表（2）导数的运算法则六．布置作业§3.3.1函数的单调性与导数（2课时）教学目标：1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学过程：一．创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用．二．新课讲授1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度SKIPIF1<0随时间SKIPIF1<0变化的函数SKIPIF1<0的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度SKIPIF1<0随时间SKIPIF1<0变化的函数SKIPIF1<0的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：运动员从起点到最高点，离水面的高度SKIPIF1<0随时间SKIPIF1<0的增加而增加，即SKIPIF1<0是增函数．相应地，SKIPIF1<0．从最高点到入水，运动员离水面的高度SKIPIF1<0随时间SKIPIF1<0的增加而减少，即SKIPIF1<0是减函数．相应地，SKIPIF1<0．2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图3.3-3，导数SKIPIF1<0表示函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线的斜率．在SKIPIF1<0处，SKIPIF1<0，切线是“左下右上”式的，这时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0附近单调递增；在SKIPIF1<0处，SKIPIF1<0，切线是“左上右下”式的，这时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0附近单调递减．结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间SKIPIF1<0内，如果SKIPIF1<0，那么函数SKIPIF1<0在这个区间内单调递增；如果SKIPIF1<0，那么函数SKIPIF1<0在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果SKIPIF1<0，那么函数SKIPIF1<0在这个区间内是常函数．3．求解函数SKIPIF1<0单调区间的步骤：（1）确定函数SKIPIF1<0的定义域；（2）求导数SKIPIF1<0；（3）解不等式SKIPIF1<0，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式SKIPIF1<0，解集在定义域内的部分为减区间．三．典例分析例1．已知导函数SKIPIF1<0的下列信息：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0试画出函数SKIPIF1<0图像的大致形状．解：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0在此区间内单调递增；当SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；可知SKIPIF1<0在此区间内单调递减；当SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．综上，函数SKIPIF1<0图像的大致形状如图3.3-4所示．例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0解：（1）因为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0因此，SKIPIF1<0在R上单调递增，如图3.3-5（1）所示．（2）因为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0单调递减；函数SKIPIF1<0的图像如图3.3-5（2）所示．（3）因为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0因此，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，如图3.3-5（3）所示．（4）因为SKIPIF1<0，所以．当SKIPIF1<0，即时，函数SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，即时，函数SKIPIF1<0；函数SKIPIF1<0的图像如图3.3-5（4）所示．注：（3）、（4）生练例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度SKIPIF1<0与时间SKIPIF1<0的函数关系图像．分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．解：SKIPIF1<0思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图3.3-7所示，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0或SKIPIF1<0内的图像“陡峭”，在SKIPIF1<0或SKIPIF1<0内的图像“平缓”．例4．求证：函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内是减函数．证明：因为SKIPIF1<0当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内是减函数．说明：证明可导函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内的单调性步骤：（1）求导函数SKIPIF1<0；（2）判断SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内的符号；（3）做出结论：SKIPIF1<0为增函数，SKIPIF1<0为减函数．例5．已知函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是增函数，求实数SKIPIF1<0的取值范围．解：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是增函数，所以SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，解之得：SKIPIF1<0所以实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0．说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则SKIPIF1<0；若函数单调递减，则SKIPIF1<0”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．例6．已知函数y=x+SKIPIF1<0，试讨论出此函数的单调区间.解：y′=(x+SKIPIF1<0)′=1－1·x－2=SKIPIF1<0 令SKIPIF1<0＞0.解得x＞1或x＜－1.∴y=x+SKIPIF1<0的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞).令SKIPIF1<0＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.∴y=x+SKIPIF1<0的单调减区间是(－1，0)和(0，1)四．课堂练习1．求下列函数的单调区间1.f(x)=2x3－6x2+72.f(x)=SKIPIF1<0+2x3.f(x)=sinx,xSKIPIF1<04.y=xlnx2．课本练习五．回顾总结（1）函数的单调性与导数的关系（2）求解函数SKIPIF1<0单调区间（3）证明可导函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内的单调性六．布置作业§3.3.2函数的极值与导数（2课时）教学目标：1.理解极大值、极小值的概念；2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤；教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.教学过程：一．创设情景观察图3.3-8，我们发现，SKIPIF1<0时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数SKIPIF1<0在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？放大SKIPIF1<0附近函数SKIPIF1<0的图像，如图3.3-9．可以看出SKIPIF1<0；在SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0；这就说明，在SKIPIF1<0附近，函数值先增（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）后减（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）．这样，当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的附近从小到大经过SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0先正后负，且SKIPIF1<0连续变化，于是有SKIPIF1<0．对于一般的函数SKIPIF1<0，是否也有这样的性质呢？附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的.从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号二．新课讲授1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度SKIPIF1<0随时间SKIPIF1<0变化的函数SKIPIF1<0的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度SKIPIF1<0随时间SKIPIF1<0变化的函数SKIPIF1<0的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：运动员从起点到最高点，离水面的高度SKIPIF1<0随时间SKIPIF1<0的增加而增加，即SKIPIF1<0是增函数．相应地，SKIPIF1<0．从最高点到入水，运动员离水面的高度SKIPIF1<0随时间SKIPIF1<0的增加而减少，即SKIPIF1<0是减函数．相应地，SKIPIF1<0．2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图3.3-3，导数SKIPIF1<0表示函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线的斜率．在SKIPIF1<0处，SKIPIF1<0，切线是“左下右上”式的，这时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0附近单调递增；在SKIPIF1<0处，SKIPIF1<0，切线是“左上右下”式的，这时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0附近单调递减．结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间SKIPIF1<0内，如果SKIPIF1<0，那么函数SKIPIF1<0在这个区间内单调递增；如果SKIPIF1<0，那么函数SKIPIF1<0在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果SKIPIF1<0，那么函数SKIPIF1<0在这个区间内是常函数．3．求解函数SKIPIF1<0单调区间的步骤：（1）确定函数SKIPIF1<0的定义域；（2）求导数SKIPIF1<0；（3）解不等式SKIPIF1<0，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式SKIPIF1<0，解集在定义域内的部分为减区间．三．典例分析例1．（课本例4）求SKIPIF1<0的极值解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0。SKIPIF1<0下面分两种情况讨论：（1）当SKIPIF1<0>0,即SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0时；（2）当SKIPIF1<0<0,即SKIPIF1<0时.当x变化时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的变化情况如下表：SKIPIF1<0SKIPIF1<0-2(-2,2)2SKIPIF1<0SKIPIF1<0+0－0+SKIPIF1<0↗极大值SKIPIF1<0↘极小值SKIPIF1<0↗因此，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有极大值，并且极大值为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有极小值，并且极小值为SKIPIF1<0。函数SKIPIF1<0的图像如图所示。例2求y=(x2－1)3+1的极值解：y′=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2令y′=0解得x1=－1，x2=0，x3=1当x变化时，y′，y的变化情况如下表SKIPIF1<0SKIPIF1<0-1(-1,0)0(0,1)1SKIPIF1<0SKIPIF1<0－0－0+0+SKIPIF1<0↘无极值↘极小值0↗无极值↗∴当x=0时，y有极小值且y极小值=01.极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点2.极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点3.极大值与极小值统称为极值注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，SKIPIF1<0是极大值点，SKIPIF1<0是极小值点，而SKIPIF1<0>SKIPIF1<0（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点4.判别f(x0)是极大、极小值的方法:若SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且在SKIPIF1<0的两侧SKIPIF1<0的导数异号，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极值点，SKIPIF1<0是极值，并且如果SKIPIF1<0在SKIPIF1<0两侧满足“左正右负”，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极大值点，SKIPIF1<0是极大值；如果SKIPIF1<0在SKIPIF1<0两侧满足“左负右正”，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极小值点，SKIPIF1<0是极小值5.求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)(2)求方程f′(x)=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f(x)在这个根处无极值如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点四、巩固练习：1．求下列函数的极值.(1)y=x2－7x+6(2)y=x3－27x(1)解：y′=(x2－7x+6)′=2x－7令y′=0，解得x=SKIPIF1<0.当x变化时，y′，y的变化情况如下表.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0－0+SKIPIF1<0↘极小值SKIPIF1<0↗∴当x=SKIPIF1<0时，y有极小值，且y极小值=－SKIPIF1<0.(2)解：y′=(x3－27x)′=3x2－27=3(x+3)(x－3)令y′=0，解得x1=－3，x2=3.当x变化时，y′，y的变化情况如下表.SKIPIF1<0SKIPIF1<0-3(-3,3)3SKIPIF1<0SKIPIF1<0+0－0+SKIPIF1<0↗极大值54↘极小值-54↗∴当x=－3时，y有极大值，且y极大值=54.当x=3时，y有极小值，且y极小值=－54五、教学反思：函数的极大、极小值的定义以及判别方法.求可导函数f(x)的极值的三个步骤.还有要弄清函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在整个定义区间可能有多个极值，且要在这点处连续.可导函数极值点的导数为0，但导数为零的点不一定是极值点，要看这点两侧的导数是否异号.函数的不可导点可能是极值点六、课后作业：书本P343.4.5§3.3.3函数的最大（小）值与导数（2课时）教学目标：⒈使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数SKIPIF1<0在闭区间SKIPIF1<0上所有点（包括端点SKIPIF1<0）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．教学过程：一．创设情景我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是说，如果SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的极大（小）值点，那么在点SKIPIF1<0附近找不到比SKIPIF1<0更大（小）的值．但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小．如果SKIPIF1<0是函数的最大（小）值，那么SKIPIF1<0不小（大）于函数SKIPIF1<0在相应区间上的所有函数值．二．新课讲授观察图中一个定义在闭区间SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0的图象．图中SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是极小值，SKIPIF1<0是极大值．函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值是SKIPIF1<0，最小值是SKIPIF1<0．1．结论：一般地，在闭区间SKIPIF1<0上函数SKIPIF1<0的图像是一条连续不断的曲线，那么函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上必有最大值与最小值．说明：⑴如果在某一区间上函数SKIPIF1<0的图像是一条连续不断的曲线，则称函数SKIPIF1<0在这个区间上连续．（可以不给学生讲）⑵给定函数的区间必须是闭区间，在开区间SKIPIF1<0内连续的函数SKIPIF1<0不一定有最大值与最小值．如函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内连续，但没有最大值与最小值；⑶在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，⑷函数SKIPIF1<0在闭区间SKIPIF1<0上连续，是SKIPIF1<0在闭区间SKIPIF1<0上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（可以不给学生讲）2．“最值”与“极值”的区别和联系⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个⑷极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3．利用导数求函数的最值步骤:由上面函数SKIPIF1<0的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．一般地，求函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内的极值；⑵将SKIPIF1<0的各极值与端点处的函数值SKIPIF1<0、SKIPIF1<0比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最值三．典例分析例1．（课本例5）求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的最大值与最小值解：由例4可知，在SKIPIF1<0上，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有极小值，并且极小值为SKIPIF1<0，又由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因此，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的最大值是4，最小值是SKIPIF1<0．上述结论可以从函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的图象得到直观验证．例2．求函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<