1.1.2 空间向量的数量积运算-【课件】2023-2024学年高二数学人教版

1.1.2空间向量的数量积运算新知探究

空间向量夹角定义新知探究

新知探究

不能.向量没有除法

例题讲解

答案：×，×，×，×，×.例题讲解

例题讲解

为什么？小结运算律空间向量的数量积运算夹角数量积常见题型

垂直模长夹角

由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的夹角和数量积，都可以像平面向量来定义.

空间向量的夹角1定义

已知两个非零向量a、b,在空间任取一点O，作=a,=b,则∠AOB叫做向量a,b的夹角，记作<a,b>.

空间向量夹角的范围：[0,].π

如果<a,b>=，那么向量a、b互相垂直，记作a⟂b.说明练一练

如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'.则（1）与的夹角大小为

;（2）与的夹角大小为

;（3）与的夹角大小为

.90°135°60°

空间任意两个非零向量a和b，则|a||b|cos

叫做a与b的数量积，记作a•b，即

a•b=|a||b|cos

空间向量的数量积2

特别地，零向量与任意向量的数量积为0.

a⊥b

a•b=0

a•a=|a||a|cos0=|a|2练一练

如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'边长为1，则

(1)=

；(2)

=

.••01

空间向量的投影向量3abc

将空间向量a平移到与向量b共起点后，可作出a在b上的投影，进而得到投影向量c(如图1）.显然c=|a|cos<a,b>;

同理可以作出a在直线l上的投影向量(如图2）

alcacABB'A'

分别过空间向量a的起点A和终点B向平面α作垂线，垂足分别为A'、B',得到a在平面α上的投影向量c(如图3）.

图1图2图3练一练

如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'边长为1，则

(1)在直线AB上的投影向量为

；(2)在平面BCC’B’上的投影向量为

.(3)在上投影向量的长度为

.

空间向量数量积的运算律4

空间向量的数量积满足如下的运算律：

(λa)•b=λ(a•b),λ∈R；

a•b=b•a(交换律)；

a•(b+c)=a•b+a•c(分配律).

对于空间向量a，b，c，判断下列命题是否正确：

（1）若a≠0，则对于任意非零向量b，有a•b≠0;（2）若a≠0，且a•b=a•c，则b=c;（3）对于任意空间向量a，b，c，都有(a•b)•c=a•(b•c).练一练(1)错误！当a⊥b时也有a•b=0成立；(2)错误！只要a⊥(b-c)，就有a•b=a•c成立；(3)错误！(a•b)•c=λc

，a•(b•c)=μa(λ,

μ∈R)知识篇素养篇思维篇1.1.2空间向量的数量积

问题分析方法总结核心素养之

逻辑推理

+数学运算

因为p⊥q，所以p•q=0，即(3a-b)(λa+17b)=3λa2-17b2+(51-λ)ab=12λ-425-5(51-λ)=17λ-680=0得λ=40

将两个向量垂直这一条件转化为它们的数量积为0，也就把求值问题转化为解方程问题.1.2.正三棱台ABC-A'B'C'中，AB=4,A'B'=AA'=BB'=2,求.

问题方法核心素养之

逻辑推理

+数据分析

几何体中向量的有关运算，往往先选择一组基底将目标向量表示出来，再根据基向量的条件和运算法则求解.分析第一步，用不共面的一组向量表示：，；第二步，由已知条件知：两两夹角均为60°.从而可得

==-23.

问题分析方法核心素养之

数学建模

+逻辑推理要证l⊥α，即证l垂直于内的任意一条直线.设g为内任意一条直线，分别在l、m、n、g上任取一非零向量l、m、n、g；存在唯一实数对(x,y)使g=xm+yn,则l•g=xl•m+yl•n=0,所以l⊥α选择基底并构建数量积模型是解决问题的关键.先将几何关系先转化为向量运算结果，再回到几何中去.B知识篇素养篇思维篇1.1.2空间向量的数量积

1.正方体ABCD-A'B'C'D'边长为1，M、N分别是对角线

DA'、AC上的动点.(1)试用线性表示;(2)求MN长度的最小值.

数学思想之

函数思想

+主元思想问题解答(1)====(2)==

(0≤λ,μ≤1)1.正方体ABCD-A'B'C'D'边长为1，M、N分别是对角线

DA'、AC上的动点.(1)试用线性表示;(2)求MN长度的最小值.

数学思想之

函数思想

+主元思想问题方法总结（1）要用一组基向量表示目标向量，先将目标向量表示成首尾相连的若干向量的和，再用基向量一一表示相关向量，最后合并同类项即可.

（2）含有两个变量的二次多项式求最值，可选一变量作为主元配方，再将含另一变量的二次式配方，根据完全平方式的非负性可得最值.

2.已知P是边长为1的正方体ABCD-A'B'C'D'内部(含表面)

的动点，满足条件：，求点P轨迹的长度.数学思想之

转化与化归+交轨思想问题分析由向量AP的长度知点P在球面上，又由两向量数量积为1知向量AP在向量AC’上的投影长为，即过点P作直线AC’垂线时，垂足H为线段AC’的三等分点(靠近点A).结合已知数据知点P的轨迹为圆，结合平面图即可求其长度.2.已知P是边长为1的正方体ABCD-A'B'C'D'内部(含表面)

的动点，满足条件：，求点P轨迹的长度.

数学思想之

转化与化归+交轨思想问题分析方法总结分析空间问题时，先将符号语言翻译成图形语言、将立体语言翻译成平面语言，再结合已知数据分析判断.求解本题时用到了交轨法.由图知P的轨迹半径为PH=

,轨迹长为.课堂小结一、本节课学习的新知识：空间向量的夹角空间向量的数量积空间向量数量积的运算律用空间向量数量积求几何量用空间向量数量积证明几何命题课堂小结二、本节课提升的核心素养：逻辑推理数学运算数学建模数据分析课堂小结三、本节课训练的数学思想方法：函数思想交轨思想主元思想