2024届浙江省Z20名校联盟（名校新高考研究联盟）高三第二次联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2浙江省Z20名校联盟（名校新高考研究联盟）2024届高三第二次联考数学试题第I卷一､单项选择题1.若集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，解得，则，故，故选：C2.已知是关于的实系数一元二次方程的一个根，则（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗D〖解析〗因为是关于的实系数一元二次方程的一个根，所以，整理得到:即，故选：D.3.已知向量，向量在向量上的投影向量（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为向量，所以向量在向量上的投影向量，故选：C4.已知直线交圆于两点，设甲：，乙：，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件〖答案〗A〖解析〗圆的圆心为，半径为，当时，直线，则到直线的距离为，此时，而，即为正三角形，故；当时，为正三角形，则C到的距离为，即圆心C到直线距离为，解得或，即当时，不一定推出，故甲是乙的充分条件但不是必要条件，故选：A5.已知数列满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，所以，，所以为等差数列，且公差为1，首项为1，故，即，故选：B6.函数的单调递增区间是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗函数的定义域为，且，令，解得，所以的单调递增区间为.故选：D.7.已知，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由于，则，而，故，由，可得，则，故，故选：D.8.假设变量与变量的对观测数据为，两个变量满足一元线性回归模型.要利用成对样本数据求参数的最小二乘估计，即求使取最小值时的的值，则（）A. B.C D.〖答案〗A〖解析〗因为，上式是关于的二次函数，因此要使取得最小值，当且仅当的取值为.故选：A.二､多项选择题9.为了了解某公路段汽车通过的时速，随机抽取了200辆汽车通过该公路段的时速数据，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），绘制成频率分布直方图，“根据直方图，以下说法正确的是（）A.时速在的数据有40个B.可以估计该组数据的第70百分位数是65C.时速在的数据的频率是0.07D.可以估计汽车通过该路段的平均时速是〖答案〗AD〖解析〗对于A，，即时速在的数据有40个，故A正确；对于B，，所以该组数据的第70百分位数位于不妨设为，则，解得，故B错误；对于C，时速在的数据的频率是，故C错误；对于D，可以估计汽车通过该路段的平均时速是，故D正确.故选：AD.10.函数是定义在上的奇函数，满足，以下结论正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗由条件，可知，所以，所以函数是周期为4的函数，，故A错误；，故B正确；由条件，可知，所以，故C正确；由函数的周期为4，且，，所以，故D错误.故选：BC11.曲线的法线定义：过曲线上的点，且垂直于该点处切线的直线即为该点处的法线.已知点是抛物线上的点，是的焦点，点处的切线与轴交于点，点处的法线与轴交于点，与轴交于点，与交于另一点，点是的中点，则以下结论正确的是（）A.点的坐标是B.的方程是C.D.过点的的法线（包括）共有两条〖答案〗BCD〖解析〗对A，将点代入，得，则，当时，故的方程为，令，则点的坐标是，故A错误；对B，的方程为，整理得，故B正确；对C，易得与轴的交点的坐标为，与轴的交点的坐标为，联立，解得或.与的另一个交点的坐标为，则，故C正确；对D，易得点的坐标为，设点为抛物线上一点，当是原点时，处的法线为轴，显然不过点，当点不是原点时，则处的法线方程为，将点代入得，，又，则，故或过点的的法线（包括）共有两条，故D正确.故选：BCD12.已知棱长为1的正方体是空间中一个动平面，下列结论正确的是（）A.设棱所在的直线与平面所成的角为，则B.设棱所在的直线与平面所成的角为，则C.正方体的12条棱在平面上的射影长度的平方和为8D.四面体的6条棱在平面上的射影长度的平方和为8〖答案〗ACD〖解析〗对于A，以点坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则,得，，设的法向量为，则，同理可得，，故A正确；对于B，则，故B错误；对于C，这3条棱在平面上的射影长度的平方和为，条棱在平面上的射影长度的平方和为8，故C正确；对于D，，设与平面所成角为与平面所成角为，则，，在平面上的射影长度的平方和为，则四面体的6条棱在平面上的射影长度的平方和为，故D正确.故选：ACD.第II卷三､填空题13.的展开式中的系数是__________.〖答案〗8〖解析〗展开式的通项公式为，(其中)，令，解得，即二项式展开式中的系数为.故〖答案〗为：8.14.已知正方形的四个顶点均在椭圆上，的两个焦点分别是的中点，则的离心率是__________.〖答案〗〖解析〗不妨设为椭圆的左、右焦点，由题意知轴，轴，且经过椭圆焦点，，则，将代入椭圆方程，得，故，由，得，结合，得，即，解得（负值舍），故的离心率是，故〖答案〗为：15.设函数，若存在使成立，则的取值范围是__________.〖答案〗〖解析〗由于函数，当时，，根据正弦函数的性质可知当时，离最近且使得的x值为,故存在，使成立，需满足，即的取值范围为，故〖答案〗为：16.已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是__________.〖答案〗〖解析〗由得，显然，所以有解，令，则，令，则，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以，则，即最小值是.故〖答案〗为：.四､解答题17.记等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.解：（1）得：，或，同理：或，是等差数列，，是等比数列；（2）令，其前项和为，当为偶数时，当为奇数时，.综上所述，.18.如图，已知三棱锥平面，点是点在平面内的射影，点在棱上，且满足.（1）求证：；（2）求与平面所成角的正弦值.（1）证明：连结，平面平面，又两两垂直，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：不妨设，可得，.，所以是正三角形，点为正三角形的中心，所以，,所以.，又，.（2）解：，，，设平面的一个法向量为，由，得：，则，设与平面所成角为，则.故直线与平面所成角的正弦值为.19.在中，角所对边分别为，.（1）求的值；（2）若，点是的中点，且，求的面积.解：（1）由正弦定理得：，，则，，不等于0，.（2），，所以，联立，，在中，由余弦定理得：①在中，由余弦定理得：②由①②式得：，故，.20.已知双曲线的左右焦点分别为，点在的渐近线上，且满足.（1）求的方程；（2）点为的左顶点，过的直线交于两点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，证明：线段的中点为定点.（1）解：设，，由，得，解得，即，而曲线的渐近线方程为，由点在的渐近线上，得，即，因此，所以的方程为.（2）证明：由（1）知，设直线为，由消去y得：，则，，由三点共线，得，同理，因此，所以的中点为定点.21.某商场推出购物抽奖促销活动，活动规则如下：①顾客在商场内消费每满100元，可获得1张抽奖券；②顾客进行一次抽奖需消耗1张抽奖券，抽奖规则为：从放有5个白球，1个红球的盒子中，随机摸取1个球（每个球被摸到的可能性相同），若摸到白球，则没有中奖，若摸到红球，则可获得1份礼品，并得到一次额外抽奖机会（额外抽奖机会不消耗抽奖券，抽奖规则不变）；③每位顾客获得的礼品数不超过3份，若获得的礼品数满3份，则不可继续抽奖；（1）顾客甲通过在商场内消费获得了2张抽奖券，求他通过抽奖至少获得1份礼品的概率；（2）顾客乙累计消耗3张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满3份，则他在消耗第2张抽奖券抽奖的过程中，获得礼品的概率是多少？（3）设顾客在消耗张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满3份，要获得张抽奖券，至少要在商场中消费满元，求的值.（重复进行某个伯努利试验，且每次试验的成功概率均为.随机变量表示当恰好出现次失败时已经成功的试验次数.则服从参数为和的负二项分布.记作.它的均值，方差）解：（1）由题意可知一次摸奖摸到红球的概率为，摸到白球的概率为，故甲至少获得1份礼品的概率；（2）设“顾客乙累计消耗3张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满3份”，“顾客乙在消耗第2张抽奖券抽奖的过程中，获得礼品”，，；（3）由题意可知则，.22.已知函数，（1）当时，求函数的值域；（2）若函数恒成立，求的取值范围.解：（1）因为，所以，在上单调递增又，的值域是.（2）方法一：①当时，，②当时，，在上单调递增，成立.③当时，令，则，所以上单调递增，即在上单调递增，，使得当时，故在上单调递减，则，④当时，令，则，所以在上单调递增，即在上单调递增，，即在上递增，则成立.综上所述，若函数恒成立，则.方法二当时，成立，当时，成立，当时，恒成立，令，则，又，令，，当时，，，在上单调递增.，故，，又，，故.浙江省Z20名校联盟（名校新高考研究联盟）2024届高三第二次联考数学试题第I卷一､单项选择题1.若集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，解得，则，故，故选：C2.已知是关于的实系数一元二次方程的一个根，则（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗D〖解析〗因为是关于的实系数一元二次方程的一个根，所以，整理得到:即，故选：D.3.已知向量，向量在向量上的投影向量（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为向量，所以向量在向量上的投影向量，故选：C4.已知直线交圆于两点，设甲：，乙：，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件〖答案〗A〖解析〗圆的圆心为，半径为，当时，直线，则到直线的距离为，此时，而，即为正三角形，故；当时，为正三角形，则C到的距离为，即圆心C到直线距离为，解得或，即当时，不一定推出，故甲是乙的充分条件但不是必要条件，故选：A5.已知数列满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，所以，，所以为等差数列，且公差为1，首项为1，故，即，故选：B6.函数的单调递增区间是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗函数的定义域为，且，令，解得，所以的单调递增区间为.故选：D.7.已知，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由于，则，而，故，由，可得，则，故，故选：D.8.假设变量与变量的对观测数据为，两个变量满足一元线性回归模型.要利用成对样本数据求参数的最小二乘估计，即求使取最小值时的的值，则（）A. B.C D.〖答案〗A〖解析〗因为，上式是关于的二次函数，因此要使取得最小值，当且仅当的取值为.故选：A.二､多项选择题9.为了了解某公路段汽车通过的时速，随机抽取了200辆汽车通过该公路段的时速数据，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），绘制成频率分布直方图，“根据直方图，以下说法正确的是（）A.时速在的数据有40个B.可以估计该组数据的第70百分位数是65C.时速在的数据的频率是0.07D.可以估计汽车通过该路段的平均时速是〖答案〗AD〖解析〗对于A，，即时速在的数据有40个，故A正确；对于B，，所以该组数据的第70百分位数位于不妨设为，则，解得，故B错误；对于C，时速在的数据的频率是，故C错误；对于D，可以估计汽车通过该路段的平均时速是，故D正确.故选：AD.10.函数是定义在上的奇函数，满足，以下结论正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗由条件，可知，所以，所以函数是周期为4的函数，，故A错误；，故B正确；由条件，可知，所以，故C正确；由函数的周期为4，且，，所以，故D错误.故选：BC11.曲线的法线定义：过曲线上的点，且垂直于该点处切线的直线即为该点处的法线.已知点是抛物线上的点，是的焦点，点处的切线与轴交于点，点处的法线与轴交于点，与轴交于点，与交于另一点，点是的中点，则以下结论正确的是（）A.点的坐标是B.的方程是C.D.过点的的法线（包括）共有两条〖答案〗BCD〖解析〗对A，将点代入，得，则，当时，故的方程为，令，则点的坐标是，故A错误；对B，的方程为，整理得，故B正确；对C，易得与轴的交点的坐标为，与轴的交点的坐标为，联立，解得或.与的另一个交点的坐标为，则，故C正确；对D，易得点的坐标为，设点为抛物线上一点，当是原点时，处的法线为轴，显然不过点，当点不是原点时，则处的法线方程为，将点代入得，，又，则，故或过点的的法线（包括）共有两条，故D正确.故选：BCD12.已知棱长为1的正方体是空间中一个动平面，下列结论正确的是（）A.设棱所在的直线与平面所成的角为，则B.设棱所在的直线与平面所成的角为，则C.正方体的12条棱在平面上的射影长度的平方和为8D.四面体的6条棱在平面上的射影长度的平方和为8〖答案〗ACD〖解析〗对于A，以点坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则,得，，设的法向量为，则，同理可得，，故A正确；对于B，则，故B错误；对于C，这3条棱在平面上的射影长度的平方和为，条棱在平面上的射影长度的平方和为8，故C正确；对于D，，设与平面所成角为与平面所成角为，则，，在平面上的射影长度的平方和为，则四面体的6条棱在平面上的射影长度的平方和为，故D正确.故选：ACD.第II卷三､填空题13.的展开式中的系数是__________.〖答案〗8〖解析〗展开式的通项公式为，(其中)，令，解得，即二项式展开式中的系数为.故〖答案〗为：8.14.已知正方形的四个顶点均在椭圆上，的两个焦点分别是的中点，则的离心率是__________.〖答案〗〖解析〗不妨设为椭圆的左、右焦点，由题意知轴，轴，且经过椭圆焦点，，则，将代入椭圆方程，得，故，由，得，结合，得，即，解得（负值舍），故的离心率是，故〖答案〗为：15.设函数，若存在使成立，则的取值范围是__________.〖答案〗〖解析〗由于函数，当时，，根据正弦函数的性质可知当时，离最近且使得的x值为,故存在，使成立，需满足，即的取值范围为，故〖答案〗为：16.已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是__________.〖答案〗〖解析〗由得，显然，所以有解，令，则，令，则，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以，则，即最小值是.故〖答案〗为：.四､解答题17.记等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.解：（1）得：，或，同理：或，是等差数列，，是等比数列；（2）令，其前项和为，当为偶数时，当为奇数时，.综上所述，.18.如图，已知三棱锥平面，点是点在平面内的射影，点在棱上，且满足.（1）求证：；（2）求与平面所成角的正弦值.（1）证明：连结，平面平面，又两两垂直，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：不妨设，可得，.，所以是正三角形，点为正三角形的中心，所以，,所以.，又，.（2）解：，，，设平面的一个法向量为，由，得：，则，设与平面所成角为，则.故直线与平面所成角的正弦值为.19.在中，角所对边分别为，.（1）求的值；（2）若，点是的中点，且，求的面积.解：（1）由正弦定理得：，，则，，不等于0，.（2），，所以，联立，，在中，由余弦定理得：①在中，由余弦定理得：②由①②式得：，故，.20.已知双曲线的左右焦点分别为，点在的渐近线上，且满足.（1）求的方程；（2）点为的左顶点，过的直线交于两点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，证明：线段的中点为定点.（1）解：设，，由，得，解得，即，而曲线的渐近线方程为，由点在的渐近线上，得，即，因此，所以的方程为.（2）证明：由（1）知，设直线为，由消去y得：，则，，由三点共线，得，同理，因此，所以的中点为定点.21.某商场推出购物抽奖促销活动，活动规则如下：①