数学培优竞赛新方法(九年级)-第13讲-旋转变换

第13讲旋转变换知识纵横在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的角度，这样的图形变换称为旋转，这个定点叫旋转中心，旋转的角度叫旋转角。旋转变换不改变图形的形状和大小，通过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动同样大小的角度，旋转变换前后的图形有以下性质：对应点到旋转中心的距离相等对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角对应线段相等，对应线段的夹角等于旋转角，对应线段的垂直平分线都经过旋转中心。例题求解【例1】如图，在中，,点D在边BC上，BD=2CD,把绕着点D逆时针旋转m〔0<m<180〕度后，如果点B恰好落在初始的边上，那么m=。(2011上海市中考题)思路点拨因B点所落得边未确定，故需分类讨论。【例2】如图，P是等边内部一点，的大小之比是5:6:7，那么PB.PA.PC为边的三角形的三个角的大小〔从小到大〕之比是〔〕A2：3：4B3：4：C4：5：6D不确定(全国初中数学竞赛题)思路点拨由于PA.PB,PC没有构成三角形，所以需要作辅助线构造以它们为边的三角形，不妨实施旋转变换。【例3】点B,C,E在同一直线上，点A,D在直线CE的同侧，AB=AC,EC=ED,,直线AE,BD交于点F，如图，假设_____________;如图，假设__________________如图，假设___________(用含的式子表示)将图中的绕点C旋转〔点F不与点A,B重合〕，得图=4\*GB3④或=5\*GB3⑤，在图=4\*GB3④中，的数量关系是_________;在图=5\*GB3⑤中，的数量关系是__________请你任选其中一个结论证明。〔武汉市中考题〕思路点拨从特殊到一般，在动态的旋转过程中，有两组不变的关系：~~,这是解此题的关键。【例4】如图，在中，AB=AC=2，,将直角三角板EPF的直角顶点P放在线段BC的中点上，以点P为旋转中心，转动三角板并使三角板的两直角边PE,PF分别与AC,AB相交于点N,M,链接MN,AP,交于点D.求证：PN=PM设线段AM的长为，的面积为，求的函数关系式。当三角板旋转到时，求的长。思路点拨对于〔1〕，从探寻与的关系入手；对于〔2〕，对于〔3〕，可证明【例5】中，AB=AC,在中，AD=DE，链接EC,取EC中点M，连接DM和BM.假设点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图。求证：BM=DM且BMDM如图中的绕点A逆时针转小于的角，那么〔1〕中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立请给予证明。〔广州市中考题〕分析对于〔2〕，由〔1〕可猜测BM,DM之间关系，由中点可从以下方面联想与探索；〔1〕构造中位线，取AC,AE中点F,G，连DG.GM.BF.FM;(2)构造中心对称全等三角形，延长DM至F点，使MF=DM,连接BD,BF.正方形中的费马点【例6】如图，正方形ABCD内一动点E到A,B,C三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长。〔广东省竞赛题〕分析本例是费马点相关的问题的变形，解题的关键是确定最小值时E点的位置，通过旋转变换，把EA,EB,EC连接起来。学力训练根底夯实如图，正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=2，EC=1，把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，那么F、C两点的距离为。〔上海市中考题〕如图，P是正内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，假设将绕点A逆时针旋转后，得到,那么点P与P’之间的距离为，。〔青岛市中考题〕如图，直角梯形ABCD中，,将CD以点D为中心逆时针旋转至ED，连接AE,那么的面积是___________(泰州市中考题)如图，将绕点A顺时针方向旋转角度到的位置，设BC与DE交于M点，连接AM，以下结论：=1\*GB3①BC=DE;=2\*GB3②,=3\*GB3③，=4\*GB3④MA平分.其中正确的结论只有()A.①②B.①③C.=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④D.①③④如图，将绕点旋转得到,设点的坐标为，那么点A的坐标为〔〕〔河南省中考题〕6.如图，直线与轴、轴分别交于A,B两点，把绕点A顺时针旋转后得到,那么点的坐标是〔〕(丽水市中考题)ABCD：如图=1\*GB3①，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F,OD到点E，使OF=2OA,OE=2OD,连接EF，将绕点O逆时针旋转角得到(如图=2\*GB3②)探究的数量关系，并给予证明；当为直角三角形〔2011年南通市中考题〕在正方形的边AB上任取一点,作交于点,取得中点,连接EG,CG,如图=1\*GB3①，易证.将绕点逆时针旋转，如图=2\*GB3②，那么线段有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜测。将绕点逆时针旋转，如图=3\*GB3③，那么线段有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜测。并加以证明。〔2011年黑龙江省中考题〕9.在和中，AB=AC,DE=DF,,点分别是的中点。〔1〕假设点A与点D重合，点〔如图=1\*GB3①〕，那么的数量关系式,的数量关系是。将图=1\*GB3①中的旋转〔如图=2\*GB3②〕，问〔1〕的两个结论是否仍成立？假设成立，请证明；假设不成立，请说明理由。能力拓展如图，设正的边长为，将绕它的中心旋转得到对应的,那么两点间的距离等于。(浙江省竞赛题)如图，四边形ABCD中，绕顶点旋转所得，顶点恰好转到上一点的位置，那么度。〔第18届江苏省竞赛题〕如图，在中，,以斜边上距离点6的点为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转至,那么旋转前后两个三角形重叠局部的面积是(黄冈市竞赛题)如图，在线段同侧作两个等边,分别是线段的中点，那么是〔〕钝角三角形直角三角形等边三角形非等腰三角形〔海南省竞赛题〕如图，边长为2的正方形的对角线交于点,把边分别绕点同时逆时针旋转，得四边形,以下结论：=1\*GB3①四边形为菱形；=2\*GB3②;=3\*GB3③线段的长为。其中正确的结论有〔〕如图，在等腰的斜边上取两点,使,记那么以线段为边长的三角形的形状是〔〕锐角三角形直角三角形钝角三角形随的变化而变化〔安徽省竞赛题〕如图，在等边中，点是边的中点，点事线段上的动点〔点与点不重合〕，连接.将绕点顺时针方向旋转角〔〕，得到,连接分别交射线,射线于点如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF与△AEP始终存在________关系〔填“相似”或“全等”〕，并说明理由；

〔2〕如图2，设∠ABP=β．当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全等？假设存在，求出α与β之间的数量关系；假设不存在，请说明理由；

〔3〕如图3，当α=60°时，点E、F与点B重合．AB=4，设DP=x，△A1BB1的面积为S，求S关于x的函数关系式．〔2011年义乌市中考题〕

如图，凸五边形中，,,求证：.(北京市竞赛题)综合创