2022-2023学年上海市杨浦区九年级（上）期末数学试卷（一模）（含详细答案解析）

2022-2023学年上海市杨浦区九年级（上）期末数学试卷（一模）

一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列各组图形一定相似的是（）

A.两个菱形B.两个矩形C.两个直角梯形D.两个正方形

2.在RtAABC中，ZC=90°,如果4C=8,BC=6,那么NB的余切值为（）

A4B-3C-|D-5

3.抛物线丫=一3（>:+1）2+2的顶点坐标是（）

A.（1,2）B.（1,-2）C.（-1,2）D.（-1,-2）

4.已知不为非零向量，a=3c,b=-2c，那么下列结论中错误的是（）

\.a//bB.|a|=||K|C.3与3方向相同D.方与3方向相反

5.单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建

立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：机）与水平距离工（单

位：机）近似满足函数关系丫=以尤+M）2+做（1<0）.某运动员进行了两次训练.第一次训练时，该运动员

的水平距离尤与竖直高度y的几组数据如图.根据上述数据，该运动员竖直高度的最大值为（）

第一次训练数据

水平距离x/m02581114

竖直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40

A.23.20cmB.22.75cmC.21.40cmD.23cm

6.如图，在△ABC中，点。、E分别在A5和AC边上且DE〃BC,点”为

边上一点（不与点5、。重合），联结AM交OE于点N,下列比例式一定成立

的是（）

竺="

,ANAE

口DN_BM

'~NE~~CM

「DN_AE

DNNE

nD.--=---

MCBM

二、填空题:本题共12小题，每小题4分，共48分。

7.已知？=,,则名;的值为___.

b4a+b

8.已知线段AB=8czn,点C在线段AB上，S.AC2=BC-AB,那么线段AC的长cm.

9.若两个相似三角形的面积比为3：4,贝沱们的相似比为.

10.小杰沿坡比为1：2.4的山坡向上走了130米.那么他沿着垂直方向升高了米.

11.若点4（—3,月）、B（0,%）是二次函数y=2（%-I）2-1图象上的两点，那么乃与治的大小关系是

（填为>昌2、71=兆或为<y2）-

12.如果将抛物线y=X2+2X-1先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，那么所得的新抛物线的顶点

坐标为.

13.如图，△力BC中，NB4C=90。，点G是AABC的重心，如果4G=4,那么BC的长为.

15.如图，已知4D〃EF〃BC,AE=3BE,AD=2,EF=5,那么BC=.

R

16.如图，在△力BC中，AD1BC,sinB=BC=13,AD=12,则tanC的值

17.如图，已知tan/。=$点P在边。4上，0P=5,点M,N在边上，PM=PN,如果MN=2,

那么PM=.

18.如图，已知在中，NC=90。，AC=BC=1,点。在边BC上，将小

ABC沿直线AQ翻折，使点C落在点C'处，联结力C',直线4C'与边CB的延长线相交

于点尸.如果NDA8=^BAF,那么BF=.

三、计算题：本大题共1小题，共10分。

1。斗筲sin60°+3tan30o-cos60o

以什舁：(2cos45°-l)-cot30°,

四、解答题：本题共6小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

20.(本小题10分)

如图，在梯形ABC。中，AD/IBC,BC=2AD,对角线AC、8。相交于点O,设而=五，四=石，试用

a,3的式子表示向量同.

21.（本小题10分）

如图，已知AABC是等边三角形，力B=6,点。在AC上，AD=2CD,CM是N4CB的外角平分线，连接

3。并延长与CM交于点E.

⑴求CE的长；

（2）求NE8C的正切值.

22.（本小题10分）

如图，高压电线杆垂直地面，测得电线杆A8的底部A到斜坡C的水平距离AC长为15.2米，落在斜坡

上的电线杆的影长C。为5.2米，在。点处测得电线杆顶8的仰角为37。.已知斜坡C£）的坡比i=1：2.4,

求该电线杆A8的高.（参考数据：sin370=0.6）

23.（本小题12分）

如图，RtAABC^,A.ACB=90°,。是斜边AB上的中点，E是边BC上的点，AE与C。交于点R且

AC2=CE-CB.

(1)求证：AE1CD-,

(2)连接BF,如果点E是8C中点，求证：Z.EBF=^EAB.

24.(本小题12分)

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=aK2久过点人(_1,0)、B(3,0),C(2,3)三点，且与y轴交

于点D.

(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴；

(2)分别联结A。、DC,CB,直线y=4x+m与线段。C交于点E,当此直线将四边形ABC。的面积平分

时，求机的值；

(3)设点尸为该抛物线对称轴上的一点，当以点A、B、C、F为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有

满足条件的点尸的坐标.

1234

25.(本小题14分)

如图，在RtaABC中，AACB=90°,AB=13,CD〃4B,点E为射线C。上一动点(不与点C重合)，联结

AE,交边BC于点尸,NB4E的角平分线交8c于点G.

(1)当CE=3时，求SACEF：SA“F的值；

(2)设CE=x,AE=y,当CG=2G8时，求y与尤之间的函数关系式；

(3)当2C=5时，联结EG,若△AEG为直角三角形，求8G的长.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：4任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不合题意;

员任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；

C.任意两个直角梯形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不合题意；

D任意两个正方形的对应角对应相等、边的比相等，一定相似，本选项符合题意；

故选：D.

形状相同的图形称为相似图形.结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可.

本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同.

2.【答案】A

【解析】解：如图，在Rt△48c中，rNC=90。，AC=8,BC=6,

故选：A.

根据余切函数的定义解答即可.

本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

3.【答案】C

【解析】解：•••>=-3。+1)2+2,

••・顶点为(-1,2),

故选：C.

由函数解析式直接可得顶点坐标.

本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数由解析式求顶点坐标的方法是解题的关键.

4.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.根据平面向量的性质一一判断

即可.

【解答】

解：va=3c,b=-2c，

•••a=—|K,

：.a//b，\a\^l\b\,五与另方向相反，

・•.4B,。正确，C错误.

5.【答案】A

【解析】解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：（8,23.20）,

•••k=23.20,

即该运动员竖直高度的最大值为23.20小，

故选：A.

根据表格中数据求出顶点坐标即可.

本题考查二次函数的应用，关键是根据表格中数据求出顶点坐标.

6.【答案】B

【解析】解：••・DE〃BC,

••.AABM,△ANE^^AMC,

_DN_ANNE_AN

"~BM~AM'~MC—AM'

.DN_NE

"'BM~记

即”=吗

NECM

故选：B.

根据相似三角形的判定和性质分析即可.

此题考查了相似三角形的判定和性质，牢记定理是解决此题的关键.

7.【答案】1

【解析】解：•.《=',

b4

,4

•••b=-a,

2a2a6

故答案为：号

用a表示出6,然后代入比例式进行计算即可得解.

本题考查了比例的性质，用。表示出6是解题的关键.

8.【答案】4V-4

【解析】"AC2=BC-AB,

.••点C是线段AB的黄金分割点，AC>BC,

：.AC=存。B=告x8=(4A<5-4)cm-

故答案为：475-4.

根据黄金分割的定义得到点C是线段A8的黄金分割点，根据黄金比值计算得到答案.

本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值为小是解题的关键.

2

9.【答案】气2

【解析】【分析】

根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算.

本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键.

【解答】

解：•••两个相似三角形的面积比为34,

•••它们的相似比为2,

故答案为：V-3：2.

10.【答案】50

【解析】解：设他沿着垂直方向升高了x米，

・••坡比为1：2.4,

•••他行走的水平宽度为2.4x米，

由勾股定理得，%2+(2.4%)2=1302,

解得,刀=50,即他沿着垂直方向升高了50米，

故答案为：50.

设他沿着垂直方向升高了x米，根据坡度的概念用尤表示出他行走的水平宽度，根据勾股定理计算即可.

本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度〃和水平宽度/的比是解题

的关键.

11.【答案】为>为

【解析】解：•••点4(—3,月)、8(0,%)是二次函数y=2Q-1)2-1图象上的两点，

22

.­.%=2(x-1)2—1=2(-3-1)2—1=31；y2=2(x-l)-1=2(0-l)-1=1,

•••yi>y2-

故答案为为>y2.

分别计算出自变量为-3和o所对应的函数值，然后比较函数值的大小即可.

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式.

12.【答案】(0,0)

【解析】解：y=/+2久一1=(%+1)2-2,

••・抛物线y=x2+2x-1的顶点坐标为(一1,一2),

把点(-1,-2)先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点的坐标为(0,0),

即新抛物线的顶点坐标为(0,0).

故答案为：(0,0).

先求出抛物线的顶点坐标，再根据平移的规律得出平移后抛物线顶点坐标即可.

本题考查了二次函数图象与几何变换，利用平移规律：左加右减，上加下减是解题关键.

13.【答案】12

【解析】解：如图，延长AG交于点D.

•.•点G是AABC的重心，AG=4,\

.•.点。为8C的中点，且4G=2DG=4,\

DG=2,B---------------------------------’

AD=AG+DG=6,

中，/.BAC=90",是斜边的中线，

BC=2AD=12.

故答案为12.

延长AG交2C于点。，根据重心的性质可知点。为BC的中点，且4G=2DG=4,贝以。=6,再根据直

角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解.

本题考查了三角形重心的定义及性质，三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心

到对边中点的距离之比为2：1,同时考查了直角三角形的性质.

14.【答案］2VI0

【解析】解：-：AD//BC,

/-DAC—Z-ACB,

•••Z-BAC=乙D,

・•・△/£)—△CAB,

AC_AD

•t•,

BCAC

,AC_±_

**To-7c,

解得：AC=2/10.

故答案为：2，IU.

根据平行线的性质得出口"=乙4CB,根据相似三角形的判定得出△ADCs^cZB,得出比例式，代入求

出即可.

本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能求出是解此题的关键.

15.【答案】y

【解析】解：延长BA与CD相交于点G,§

t

iI1

♦：ADI回IIBC,：\

r»

4t

；△GADs工GEF,△GAD^AGBC,:•

»।

»।

*«

#AD_GA_AD\

''~EF='GB=~BC".：\

/--------------fn

•••AD=2,EF=,AE=9,/\

.2^GA/\

5

G4+9，EL--------------------\p

解得：GA—6,/\

GB=GA+AE+BE=18,BC

__6___2_

“话一前‘

解得：BC=6.

故答案为：6.

首先延长54与C。，相交于点G,由2D〃£T〃BC,可得AGADS^GEF,AGAD^AGBC,又由A。=

2,EF=5,根据相似三角形的对应边成比例，即可求得8C的长.

此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理.此题难度适中，注意掌握辅助线的作

法，注意数形结合思想的应用.

16.【答案】3

【解析】解：ADIBC,AD=12,sinB=^,

,AD_4

・'AB=5f

解得48=15,

BD=JAB2-AD2=J152-122=9.

•・•BC=13,

DC=BC-BD=4,

AD12

•・"=配=彳=3.

故答案为：3.

先在母△ABD中利用三角函数求出A8,再根据勾股定理求出8。，进而可得出。C的值，即可求出tan/C

的值.

本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是利用勾股定理求出BD的值.

17.【答案】717

【解析】【分析】

本题考查锐角三角函数的定义，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练应用锐角三角函数的定义及勾股定理

是解本题的关键.

过尸作PD10B于点。，在直角AP。。中，利用锐角三角函数定义及勾股定理求出尸。的长，再由PM=

PN,PD1OB,利用三线合一得到3为MN中点，根据MN求出的长，然后由勾股定理可求PM的

值.

【解答】

解：过P作PD10B于点，

..pn4

•.•在RtAPOD中，tanzo=器=导

.♦.设PD=4久，则0P=3%,

0P=5,由勾股定理得：(3x)2+(4x)2=52,

X=1,

・•.PD=4,

•••PM=PN,PD1OB,MN=2,

MD=ND=|MW=1,

在RtAPMD中，由勾股定理得：PM=VMD2+PD2=

故答案为：V17.

18.【答案】

【解析】解：,••在中，ZC=90°,AC^BC=1,

.­.NCAB=4ABC=45",

•■•A4DC'是将AABC沿直线翻折得到的，

.­./.CAD="'AD,

•••乙DAB=/.BAF,

11

•­,NBA。=^DAC=^/.BAC=15°,

•••^ABF=135°,

ZF=30",

BF=CF-BC=6-1,

故答案为：V~3—1.

在RtAABC中，NC=90。，AC^BC=1,得到/CAB=/ABC=45。，由△4DC'是将△48C沿直线A。翻

折得到的，求出Nd。=NC%。，于是得到N4BF=135。，求得NF=30。，根据直角三角形的性质即可得

到结果.

本题考查了翻折变换-折叠问题，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，正确的作出图形是解题的关键.

原式=卓尧£

19.【答案】解:

(2xY-l)x/3

V3

-(AA2-1)X/3

1

-71-1

=+1.

【解析】此题主要考查了实数运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键.

直接将特殊角的三角函数值代入求出答案

20.【答案】解：-：AD//BC,BC=2AD,

AO_AD_1

'OC=~BC=2'

喋=［即。4

•••AD^a,AB=K（就与而同向，

BC=2a.

■■■AC=AB+BC=b+2a.

AO=-/?+-a.

【解析】根据平面向量定理即可表示.

本题考查了梯形、平面向量定理，解决本题的关键是掌握三角形法则.

21.【答案】解：（1）在BC延长线上取一点F

•••△ABC是等边三角形，

.­.乙ABC=^ACB=60°,AB=BC=6,AACF=120",

•••CM是乙4cB的外角平分线，

1

・•・乙ECF=RACF=60°,

•••Z-ECF=Z.ABC,

CE//AB,

.剪_丝

•'AB=ADf

XvAD=2CD,AB=6,

,CE_1

*'-6"=2?

・•.CE=3.

(2)过点E作E”1BC于点儿

vZECF=60°,£.EHC=90°,CE=3,

•••CH=3,EH=浮,

又：BC=6,

BH=BC+CH=专

•・•乙EHB=90°,

+，口_EH

••tSLXlZ-EBC=TTT-=—T-.

DH5

【解析】（1）首先证明CE〃4B,贝IUABDSACED,根据相似三角形的对应边的比相等即可求解；

（2）过点E作E”1BC于点X,在直角ACE”中，利用三角函数求得CH和利的长度，即可求得28的大

小，即可求得三角函数值.

本题考查了相似三角形的判定与性质，以及三角函数值的求法，求三角函数值的问题常用的方法是转化为

求直角三角形的边的问题.

22.【答案】解：过点。作。E垂直AC的延长线于点E,DF垂直

AB于点F,

则四边形AEOF为矩形，AF^DE,AE=DF,I

・•,斜坡CD的坡比:1：2.4,CD=5.2米，|

...........卫汉

:设DE=x,CE=2.4%,Iz=l.-2^xz*

CD=yjCE2+DE2=2.6久=5.2米，ACE

解得：久=2,

则DE=AF=2,CE=4.8,

AE=DF=AC+CE=15.2+4.8=20（米），

在小BDF中，

Z.BDF=37°,DF=20米，sin37°=0.6,

cos37°=J1-（0,6）2=o.8,

BF=DFtan37°==20x感=15（米），

AB=AF+BF=2+15=17（米）.

答：该电线杆AB的高为17米.

【解析】过点。作DE垂直AC的延长线于点E,垂直于点孔根据斜坡CD的坡比i=1：2.4,

CD=5.2米，求出CE、OE的长度，然后求出AE和。尸的长度，在ABOF中，求出3尸的长度，即可求出

AB的长度.

本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡度和仰角构造直角三角形，利用三角函数的知

识求解，难度一般.

23.【答案】证明：(1)AC2=CE-CB,

,AC=CB\\\

"CE~AC\J\D

又：乙ACB=^ECA=90°少

•••△ACBsAECA,\

CEB

・•・Z-ABC=Z-EAC.

・・•点。是AB的中点，

.・.CD=AD,

・••Z-ACD=乙CAD

•・•ACAD+乙ABC=90°,

・•・"CD+^EAC=90°

•・.AAFC=90°,

**-AEJ_CD；

(2)•・•AE1CD,

・・・乙EFC=90°,

・••Z-ACE=乙EFC

又・・•/.AEC=乙CEF,

•••△ECFs>EAC

EC_EF

：'~EA=~EC

■.•点E是3C的中点，

•••CE=BE,

.蛙_竺

・'~EA=~BE，

•••Z-BEF=Z-AEB,

••・△BEFs/^AEB

•••Z-EBF=Z-EAB.

【解析】(1)先根据题意得出△4CBSAEC4再由直角三角形的性质得出CD=AD,由4c4。+乙4BC=

90°可得出NACO+/.EAC=90°,进而可得出N4FC=90°；

(2)根据AE_LC。可得出AETC=90。，乙ACE=LEFC,故可得出△ECFs^R4C,再由点E是BC的中点可

知CE=BE,故胃=ff，根据NBEF=N4EB得出△BEFs^AEB,进而可得出结论.

本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键.

24.【答案】解:⑴・••抛物线y=ax2+bx+c过点4(—1,0),B(3,0),C(2,3)三点,

(CL-b+c=0a=-1

•••j9a++c=0解得：b=2,

(4a+2b+c=3L=3

・•.所求抛物线的表达式为y=-/+2%+3,其对称轴是直线1=1,

(2)由题意,得：。(0,3),

•••DC//AB,AB=4,CD=3,

•・•直线y=4%+血与线段DC交于点E,且将四边形ABCD的面积平分，

・・.直线y=4%+租与边A5相交，设交点为点G,

・・•点E的纵坐标是3,点G的纵坐标是0,

・•・可求得E(竿,3),G(-pO),

由题意，得：S四边形ABCD=2s四边形AG£D，

：.AB+CD2(4G+DE)

...4+2=2(—/+1+空，

解得:m=—|.

(3)当CF〃A8时，点厂在线段CD上，

当明Z/BC时，

直线的解析式为；y=-3%+9,

・•・直线A尸的解析式为y=—3x—3,

当％=1时，y=—6,

・•・F(L—6),

当