2023年高考数学大题练习（新高考） 21 随机变量与分布列 含解析

专题21随机变量与分布列

一、解答题

1.(2022•全国•高考真题(理))甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个

项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠

军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.

(1)求甲学校获得冠军的概率：

(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.

【答案】(1)0.6；

(2)分布列见解析,E(X)=I3.

【解析】

【分析】

(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为AB,C,再根据甲获得冠军则至少获胜两个项

目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；

(2)依题可知，X的可能取值为0,10,20,30,再分别计算出对应的概率，列出分布列，即

可求出期望.

(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A8,C,所以甲学校获得冠军的概率为

P=尸(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

=0.5×0.4×0.8+0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2

=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.

(2)依题可知，X的可能取值为010,20,30,所以，

P(X=O)=O.5x0.4x0.8=0.16,

P(X=10)=0,5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.44,

P(X=20)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34,

p(X=30)=0.5X0.6X0.2=0.06.

即X的分布列为

X0102030

P0.160.440.340.06

期望E(X)=OXo.16+10x0.44+20x0.34+30x0.06=13.

2.(2021・北京•高考真题)在核酸检测中,7合1“混采核酸检测是指：先将％个人的样本混

合在一起进行1次检测,如果这发个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人

的检测结果都为阴性，检测结束:如果这人个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，

此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.

现对IOO人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.

(I)将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.

⑴如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数；

(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为'.设X是检测的总次数，求X的

分布列与数学期望E(X).

(II)将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是

检测的总次数，试判断数学期望E(F)与⑴中E(X)的大小.(结论不要求证明)

【答案】(1)①20次；②分布列见解析；期望为子；(2)E(K)>E(X).

【解析】

【分析】

(1)①由题设条件还原情境，即可得解；

②求出X的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；

(2)求出两名感染者在一组的概率，进而求出E(Y),即可得解.

【详解】

(1)①对每组进行检测，需要10次：再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次;

所以总检测次数为20次；

②由题意，X可以取20,30,

P(X=20)=∖,P(X=3O)=1-∖=E

则X的分布列:

X2030

110

PTTTT

LLL∕,∖CC1“10320

所以E(X)=20Xɪɪ+30×ɪɪ=[]-

(2)由题意，Y可以取25,30,

两名感染者在同一组的概率为6=强支=《，不在同一组的概率为2=照

ClOO9999

则E(y)=25χW+30χ史=生W>E(X).

v,999999v,

3.(2022•青海•海东市第一中学模拟预测(理))“民族要复兴，乡村必振兴”，为了加强乡村

振兴宣传工作，让更多的人关注乡村发展，某校举办了有关城乡融合发展、人与自然和谐共

生的知识竞赛.比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式

进行，每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3

题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为I,且相互间

没有影响.

(1)求选手甲被淘汰的概率；

(2)设选手甲在初赛中答题的个数为X,试求X的分布列和数学期望.

【答案】(1)急992

(2)分布列见解析，黑2541

625

【解析】

【分析】(1)分情况①甲答了3题都错②甲答了4个题，前3个1对2错③甲答了5个题,

前4个2对2错分别求解即可；

(2)易得X的可能取值为3,4,5,再分别求概率，得到分布列与数学期望即可

(1)设“选手甲被淘汰”为事件/，

因为甲答对每个题的概率均为13，所以甲答错每个题的概率均为2

则甲答了3题都错，被淘汰的概率为C；信丫=盘；

甲答了4个题，前3个1对2错，被淘汰的概率为CeJXgX∙∣=卷；

甲答了5个题，前4个2对2错，被淘汰的概率为U(∣J.(IJXI=急.

所以选手甲被海的概率P(A)=&+急+黑=黑•

125ozɔɔlzɔɔlZJ

(2)易知X的可能取值为3,4,5,对应甲被淘汰或进入复赛的答题个数,

则p(χ=3)=q∣'Cd3

*χ=4)=q∣jχ∣χ*232234

X—x—=--------

555625

p(χ=5)=C

X的分布列为

X345

7234216

P(X)

25625625

,,/∖ɔ72342162541

则lllEc(Xv)=3x----F4X------F5X------—

,725625625625

4.(2022•湖北•黄冈中学三模)2022世界乒乓球团体锦标赛将于2022年9月30日至10月

9日在成都举行.近年来，乒乓球运动已成为国内民众喜爱的运动之一.今有甲、乙两选手

争夺乒乓球比赛冠军，比赛采用三局两胜制，即某选手率先获得两局胜利时比赛结束.根据

以往经验，甲、乙在一局比赛获胜的概率分别为：9、1且每局比赛相互独立.

(1)求甲获得乒兵球比赛冠军的概率；

(2)比赛开始前，工作人员买来两盒新球，分别为“装有2个白球与1个黄球”的白盒与“装有

1个白球与2个黄球”的黄盒.每局比赛前裁判员从盒中随机取出一颗球用于比赛，且局中

不换球，该局比赛后，直接丢弃.裁判按照如下规则取球:每局取球的盒子颜色与上一局比

赛用球的颜色一致，且第一局从白盒中取球.记甲、乙决出冠军后，两盒内白球剩余的总数

为X,求随机变量X的分布列与数学期望.

【答案】(愣20

(2)分布列见解析，W

【解析】

【分析】(1)甲获得乒兵球比赛冠军这个事件为前两局甲全获胜，或前两局中甲胜一局第三

局甲胜，由独立事件与互斥事件概率公式计算；

(2)甲乙决出冠军共进行了y局比赛，易知y=2或y=3,记叫表示第i局从白盒中抽取的

白色球，X表示第i局从黄盒中抽取的黄色球，X的所有可能取值为1,2,3,根据卜=2和丫=3

分类讨论确定事件X=l,X=2,X=3的情形，求出概率得分布列，再由期望公式计算期

望.

⑴记事件4：“甲在第i局比赛中获胜”,(i=1,2,3),事件4甲在第i局比赛中末胜”

(/=1,2,3).

P(4)=1.[可)=1-*4)=!，(，=1，2,3).记事件上“甲夺得冠军"，

则P(A)=P(AA2)+P(AkJ+P(*A3)=《j+；x0+∣×[∣∫=∣^.

(2)设甲乙决出冠军共进行了y局比赛，易知y=2或Y=3.

贝泵故()()；

∣JP(Y=2)=P(AIA2)+P()=0+W=1,py=3=i-py-2=

记w,表示第i局从白盒中抽取的白色球，Z表示第i局从黄盒中抽取的黄色球,

X的所有可能取值为1,2,3；

P(X=I)=P(Y=2)P(Wi叼+尸(丫=3)(p(w∣V½叼+p(W]的引+P他百%))

214

52xlxl+2χιχι+ιχιχl35

—X—H---；

932932323338?

P(X=2)=P(Y=2)(P佃叼+P(而Q)+P(Y=3)(P佃匈)+P(袍孙

5(2111、4(212121A32

=——X--I--X-+——×-×-+—×-×-=—•

913233；9(323332J81,

P(X=3)=P(y=2)P(^)+Λr=3)P(⅛)=∣d×∣]+∣(∣×∣×^=⅛.

综上可得，X的分布列如下：

XI23

353214

P8?8?而

数学期望为E(X)=喘35+2若32+3x《14吟47

5.(2022・全国•南京外国语学校模拟预测)真人密室逃脱将玩家关在一间密闭的房间中，主

持人讲述相关的故事背景和注意事项，不同的主题有不同的故事背景，市面上较多的为电影

主题，宝藏主题，牢笼主题等.由甲、乙、丙三个人组成的团队参加真人密室逃脱，第一关

解密码锁，3个人依次进行，每人必须在5分钟内完成，否则派下一个人.3个人中只要有

一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否则淘汰出局.甲在5分钟内解开密码锁的概率

为0.8,乙在5分钟内解开密码锁的概率为0.6,丙在5分钟内解开密码锁的概率为0.5,各

人是否解开密码锁相互独立.

(1)求该团队能进入下一关的概率；

(2)该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目X的数学期望达到最小？

并说明理由.

【答案】⑴0.96

(2)先派出甲，再派乙，最后派丙，这样能使所需派出的人员数目的均值(数学期望)达到

最小，理由见解析.

【解

【分析】

(1)根据独立事件的乘法公式得出不能进入下一关的概率，利用对立事件的概率公式即可

得出能进入下一关的概率.

(2)设按先后顺序各自能完成任务的概率分别R,P2,P3,根据题意得出X的可能的取

值，分别计算概率，得出数学期望E(X)的表达式，判断P∣,Pi,小的大小对E(X)的影响

即可得出结论.

(1)解：记“团队能进入下一关''的事件为A,则''不能进入卜一关''的事件为N,

Pp)=(1-0.8)(1-0.6)(1-0.5)=0.04,

所以该团队能进入下一关的概率为P(A)=I-P(A)=1-0.04=0.96.

(2)解：设按先后顺序各臼能完成任务的概率分别p∣,P2,外，且Pi，小，P3互不相等，

根据题意知X的所有可能的取值为1,2,3；

则P(X=I)=PI，P(X=2)=(1-P,)A,P(X=3)=(1-PJ(I-P2)，

E(X)=R+2。一PJP2+3(I-PI)(I-P2)=3-2p∣-0+R0,

所以E(X)=3∙∙(p1+P2)+P∣P2-Pi•

若交换前两个人的派出顺序，则变为3-(月+0)+月0-，2，

由此可见，当P∣>P2时,，

交换前两人的派出顺序可增大均值，应选概率大的甲先开锁：

若保持第一人派出的人选不变，交换后两人的派出顺序，

由交换前E(X)=3-(口+2)+PiP2-Pl=3-2pl-(l-p1)p2,

所以交换后的派出顺序则变为3-2月一(1-pj小，

当P2>P3时，交换后的派出顺序可增大均值.

所以先派出甲，再派乙，最后派丙，这样能使所需派出的人员数目的均值(数学期望)达到

最小.

6.(2022・全国•模拟预测)北京时间2021年7月25日，2020东京奥运会射箭女子团体决赛

在梦之岛公园射箭场结束.决赛规则为每局比赛双方各派一名队员射击6次，6次总分高的

一方获得2分，若总分持平，双方各得1分，先得6分的一方获得比赛的胜利.韩国队提前

一局结束比赛，以6-0完胜俄罗斯奥委会队，自该项目1988年进入奥运会大家庭以来，韩

国队包揽了全部9枚金牌.在本届赛事中，韩国代表团迄今收获的两金均来于射箭项目，其

中20岁的安山有望在东京奥运会上成为三冠王,俄罗斯奥委会队连续两届摘得该项目银牌,

德国队获得季军，决赛的成绩(单位：环)统计数据如图所示.

RepublicofKorea：•：ROC

KOR6-0ROC

ANSan∞MBOEVASvetlana

JANGMinheeOSIPOVAElena

PfROVAKsenia

(1)分别求韩国队、俄罗斯奥委会队第3局比赛成绩的中位数；

(2)比较韩国队、俄罗斯奥委会队第2局比赛的平均水平和发挥的稳定性；

(3)从韩国队三局比赛成绩(每一局的总得分)中随机抽取一个，记为X,从俄罗斯奥委会队

三局比赛成绩(每一局的总得分)中随机抽取一个，记为y,设Z=X-y,求Z的数学期望.

【答案】(1)韩国队第3局比赛成绩的中位数9,俄罗斯奥委会队第3局比赛成绩的中位数8.5

(2)韩国队的平均水平高，发挥更稳定

呜

【解析】

【分析】

(I)根据图形可得到韩国和俄罗斯的比赛成绩，然后分别计算中位数即可

(2)通过计算第2局比赛韩国队和俄罗斯队的平均分和方差，根据方差的意义确定比赛成

绩的稳定性

(3)根据题意可得Z的取值是0,1,2,3,4,5,然后分别计算其对应的概率，最后计算

E(Z)即可

(1)

韩国队第3局比赛成绩的中位数叫=等=9,

俄罗斯奥委会队第3局比赛成绩的中位数%=甘=8.5

Q)

第2局比赛，韩国队的分数依次为10,9,9,10,9,9,

平均分为—玉=；1x56=2§8,

63

222222

C2-A10-^

'l^6>E号)+E号Μ。圄+(瑶)+E罔4

俄罗斯奥委会队的分数依次为9,8,8,10,8,10,

平均分为——x,=}1x53=5?3,

66

ɪ29

636

因为s；＜尺,

所以韩国队的平均水平高，发挥更稳定

(3)Z的所有可能结果有0,1,2,3,4,5,

p(z=0)=---=—,P(Z=I)=I+1=2,P(Z=2)=ɪ+ɪ=—,

v73×39'73×39173x39

1+12

P(Z=3)=p(Z=4)=-ɪp(Z=5)=-=~

3^3^9I)3x39'73×39

1222117

.*.E(Z)=0×-+l×-+2×-+3×-+4×-+5×-=-

v79999993

7.(2022•辽宁•渤海大学附属高级中学模拟预测)对于中国航天而言，2021年可以说是历史

上的超级航天年，用“世界航天看中国''来形容也不为过.2021年10月16日，神舟十三号载

人飞船将翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员送入太空，2022年4月16日安全返回地球,

返回之后他们与2名航天科学家从左往右排成一排合影留念.求：

(1)总共有多少种排法；

(2)3名宇航员互不相邻的概率；

(3)若2名航天科学家之间航天员的数量为X,求X的分布列与数学期望.

【答案】(1)120种

(3)分布列见解析；期望为1

【解析】

【分析】

(1)由全排列定义计数可得；

(2)用插入法，先排2名航天科学家，然后在3个空档插入3名航天员即可得，再用概率

公式求解即可；

(3)由题意得X的可能值为0,1,2,3,分别求得概率得分布列，再由期望公式计算期望.

⑴由全排列定义知共有A；=120种排法；

(2)用分步计数原理，先排2名航天科学家，然后插入3名航天员，方法数A；A；=12：概率

P=I⅛

(3)由题意X的可能值为O,1,2,3,

P(X=O)=攀VP(X=I)=半⅛P(X=2)/A沪y,

z*ʒD/'sɪV./√ɪʒD

121

P(X=3)=Q=G,所以X的分布列为

∕∖r1U

XOI23

23ɪ1

P

io5To

311

E(X)=1×-+2×-+3×-=1.

10510

8.(2022・全国•模拟预测(理))九连环是中国传统的有代表性的智力玩具，凝结着中国传

统文化，具有极强的趣味性九连环既能练脑又能练手，对开发人的逻辑思维能力及活动手指

筋骨大有好处.同时它还可以培养学习工作的专注精神和耐心，实为老少咸宜.据明代杨慎

《丹铅总录》记载，曾以玉石为材料制成两个互贯的圆环，“两环互相贯为一，得其关换，

解之为二，又合而为一后来，以铜或铁代替玉石.甲、乙两位同学进行九连环比赛，每

局不存在平局.比赛规则规定，领先3局者获胜.若比赛进行了7局，仍然没有人领先3

局，比赛结束，领先者也获胜.已知甲同学每局获胜的概率为：，且每局之间相互独立.现

比赛已经进行了2局，甲同学2局全输.

(1)由于某种原因，比赛规则改为“五局三胜制”，试判断新规则对谁更有利，并说明理由；

(2)设比赛总局数为X,求随机变量X的分布列及期望.

【答案】(1)对乙有利，理由见解析；

149

(2)分布列见解析，期望为下.

【解析】

【分析】

(1)利用独立事件的乘法公式及互斥概率求法求规则不变或'‘五局三胜制''情况下甲获胜的

概率，判断大小关系，即可得结论.

(2)由题设分析有Xe{3,5,7},求出对应概率，进而写出分布列，并求期望.

(1)比赛己经进行了2局，甲同学2局全输，

若规则不变，要使甲同学胜出，则第3局甲胜，后4局情况如下：

221232

2

第4、5局甲乙各胜一局，则第6、7局甲全胜，此情况概率为P1=-×(2×-×-)×(-)=^-；

第4、5局甲全胜，则第6、7局甲乙各胜一局或甲全胜，此情况概率为

C22.2.21/2d64

P)=-×(-z)^×r[2×-×-+(-)^]=——

233333243

综上，甲获胜的概率为示+干=77,故乙获胜概率为77：

243243o1o1

若改为“五局三胜制”，要使甲要胜出，后三局必须全胜，

7QIQ

所以甲获胜的概率为P=(W)3==，故乙获胜的概率为:77;

32727

显然，甲获胜的概率变小，而乙获胜概率变大，故对乙有利.

(2)比赛总局数Xe{3,5,7},且尸(X=3)=；,P(X=5)=gx(>2=曰，P(X=7)喙,

所以X的分布列如下：

X357

ɪ216

P(X)

32727

,…、51u2=16149

所cc以uE(X)=3x—h5×-----h7×—=----.

3272727

9.(2022∙黑龙江•大庆实验中学模拟预测(理))核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首

先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样

本检测会呈现阳性，否则为阴性.某检测点根据统计发现，该处疑似病例核酸检测呈阳性的

概率为1.现有4例疑似病例，分别对其取样检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也

可以将若干个样本混合在一起化验.混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳

性.若混合样本呈阳性,则再将该组中每一个备份的样本逐一进行化验;若混合样本呈阴性，

则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验.现有以下两种方案：

方案一：逐个化验；

方案二：平均分成两组，每组两个样本混合在一起，再分组化验.

在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优

(1)求4个疑似病例中至少有1例呈阳性的概率；

(2)现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二中哪个较“优”？做出判断并说明理

由.

175

【答案】⑴发

(2)方案二较“优”；理由见解析

【解析】

【分析】(1)由题意可得4个疑似病例中化验呈阳性的人数服从二项分布，由概率公式可得

答案.

(2)分别计算利用方案一、方案二进行检验的次数，进行比较可得答案.

(1)用4表示4个疑似病例中化验呈阳性的人数，则J~B卜,")，

由题意可知，设4个疑似病例中至少有1例呈阳性为事件/

P(A)=I-P(J=O)=I-11-13

I256

(2)方案一：逐个检验，检验次数为4.

方案：：每组两个样本检测时，呈阴性的概率为=2,

I4)16

设方案二的检测次数为随机变量匕则丫的可能取值为2,4,6,所以

97126

p(y=4)=C×--

1616256

p(y=6)=Y,

所以随机变量丫的分布列为:

Y24()

8112649

P

256256256

所以方案二检测次数y的期望为E(y)=2xy+4x空+6x当=婆15

256256256256T

则采取方案二较“优”.

10.(2022•全国•模拟预测)某紫砂壶加工工坊在加工一批紫砂壶时，在出窑过程中有的会

因为气温骤冷、泥料膨胀率不均等原因导致紫砂壶出现一定的瑕疵而形成次品，有的直接损

21

毁.通常情况下，一把紫砂壶的成品率为不，损毁率为对于烧窑过程中出现的次品，会

通过再次整形调整后入窑复烧，二次出窑，其在二次出窑时不出现次品，成品率为3;.已知

4

一把紫砂壶加工的泥料成本为500元/把，每把壶的平均烧窑成本为50元/次，复烧前的整形

工费为100元/次，成品即可对外销售，售价均为1500元.

(1)求一把紫砂壶能够对外销售的概率；

(2)某客户在一批紫砂壶入窑前随机对一把紫砂壶坯料进行了标记，求被标记的紫砂壶的最

终获利X的数学期望.

7

【答案】⑴6

(2)440.

【解析】

【分析】

(1)计算出第一次为次品，经过复烧，二次出窑为成品的概率，加上第一次即为正品的概

率，求出答案：(2)求出X的可能取值及相应的概率，求出分布列，计算出期望.

(1)

2I?

设一把紫砂壶第一次出窑为次品为事件4则尸(A)=I-M-1=《，

则第一次为次品，经过复烧，：次出窑为成品的概率为I=(X2M3=点3，

则一把紫砂壶能够对外销售的概率g=g2+R3=而7，

(2)

X的可能取值为1500-500-50=950,1500-500-50-100-50=800,-500-50=-550,

-500-50-100-50=-700,

则P(X=950)=(,P(X=8。0)=(I-M-SXW=5，

P(X75。)4P(X=WHl-捐尺寸，

则X的分布列为：

X950800-550-700

23ɪ1

P

W5Io

2311

所以最终获利X的数学期望为：EX=950×-+800×-^-550×--700×-=440

11.(2022∙山东•德州市教育科学研究院三模)某学校对男女学生是否喜欢长跑进行了调查,

调查男女生人数均为10"("eN"),统计得到以下2x2列联表，经过计算可得K=4.040.

男生女生合计

喜欢6/7

不喜欢5n

合计IOnIOn

(I)完成表格求出〃值，并判断有多大的把握认为该校学生对长跑的喜欢情况与性别有关；

(2)①为弄清学生不喜欢长跑的原因，采用分层抽样的方法从调查的不喜欢长跑的学生中随

机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，求“至少抽到一名女生”的概率；

②将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对长跑喜

欢的人数为X,求X的数学期望.

附表:

2

P(κ>k0)0.100.050.0250.0100.001

k。2.7063.8415.0246.63510.828

n(^ad-bc∖

(α+⅛)(c+J)(α+c)(⅛+

【答案】(1)列联表答案见解析，〃=20,有95%的把握认为该校学生对长跑喜欢情况与性

别有关；

⑵①余吟

【解析】

【分析】

(1)利用给定数据完善2/2列联表，计算K,的观测值即可求出〃，再与临界值表比对作答.

(2)①利用分层抽样求出抽取的9人中男女生人数，再利用古典概型结合对立事件概率求

解作答；②利用二项分布的期望公式计算作答.

(1)

2×2列联表如下表所示：

男生女生合计

喜欢6〃5nIIn

不喜欢4〃5n9〃

合计10«107720n

“220n×(6n×5n-4n×5n)220〃，…八

K~=-----------------------------—=-----≈4.040.而〃eN'，「是个"=20.

10n×10>ι×llπ×9n99

又K晨4.040>3.841,

所以有95%的把握认为该校学生对长跑喜欢情况与性别有关.

(2)①采用分层抽样的方法从调查的不喜欢长跑的学生中随机抽取9人，这9人中男生的人

数为4,女生的人数为5,

再从这9人中抽取3人进行面对面交流，”至少抽到一名女生”的概率为

②由(1)知，任抽1人喜欢长跑的概率P=*,

依题意，X~8(10,分)，所以X的数学期望是E(X)=IOX，=，.

12.(2022•河南•平顶山市第一高级中学模拟预测(理))已知某射击运动员射中固定靶的概

率为e4，射中移动靶的3概率为每次射中固定靶、移动靶分别得1分、2分，脱靶均得0

分，每次射击的结果相互独立，该射击运动员进行3次打靶射击；向固定靶射击2次，向移

动靶射击1次.

(1)求“该射击运动员没有射中移动靶且恰好射中固定靶1次”的概率；

(2)若该射击运动员的总得分为X,求X的分布列和数学期望.

【答案】⑴言

(2)分布列见解析：期望为京

【解析】

【分析】

(1)根据独立事件概率乘法公式P(AB)=P(4)P(B)计算；(2)根据题意X的所有可能取值

为0,1,2,3,4,分别求其概率，进而求期望.

(1)

(1)记“该射击运动员没有射中移动靶且恰好射中固定1次”为事件4

……1411142

则P(A)=-×-×-+-×-×-=

45545525

(2)

X的所有可能取值为0，1,2,3,4,

贝IJp(X=O)=(I141-1

100

P(X=I)=L-

45545525

31114419

P{X=2)=—X—X—+—×—X—二，

455455100

3413146

P(X=3)×-×+—x-x—=

45545525

34412

P(X=4)=-×-×-=-,

45525

所以X的分布列为：

X0I234

1219612

P

Ioo25Ioo2525

所以X的数学期望E(X)=OX-!-+Iχ2+2χ^+3χ9+4x”=卫.

'10025100252510

13.(2022•湖北•模拟预测)第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，于

2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕，该奥运会激发了大家对冰雪运动的热

情，某冰雪运动品商店对消费达一定金额的顾客开展了“冬奥”知识有奖竞答活动，试题由若

干选择题和填空题两种题型构成，共需要回答三个问题，对于每一个问题，答错得0分；答

对填空题得30分答对选择题得20分现设置了两种活动方案供选择,方案一：只回答填空题；

方案二：第一题是填空题，后续选题按如下规则：若上一题回答正确，则下一次是填空题，

若上题回答错误，则下一次是选择题.某顾客获得了答题资格，已知其答对填空题的概率均

为答对选择题的概率均为P,且能正确回答问题的概率与回答次序无关

(1)若该顾客采用方案一答题，求其得分不低于60分的概率；

(2)以得分的数学期望作为判断依据，该顾客选择何种方案更加有利？并说明理由.

【答案】⑴T

333

(2)0</?<-,选方案一；P=:,方案一、方案二均可；:选方案二.

444

【解析】

【分析】

(I)根据题意得分不低于60分的情况为至少答对两道填空题,结合二项分布概率公式求解;

(2)根据题意分别求E(X)=45,E(K)=-IOp2+y/2+^,作差比较大小.

(1)

采用方案一答题，得分不低于60分的情况为至少答对两道填空题

.∙.其概率为CC+eɜfɪl=∣+∣=i

(2)

若采用方案一，设其答对题数为九得分为X

则X=3034"回，

.∙.E(X)=30E(⅞)=30∙3∙∣=45

若采用方案二，设其得分为匕则y=0,20,30,50,60,90

尸(y=0)=g(JP)1尸(y=20)=J∙p]+g(l-p)∙p=当空

P(y=30)=g∙g(I-P)=一

P(y=50)=gP(y=60)=(Kp(y=90)=©=:

E(y)=θ∙°-p)+20∙*-2/+30.1z£+50.e+602+90」

v7244288

65105

=-1ι0np2+ɪp+-^-

E(X)-E(X)=IOp2

35

令E(X)—E(y)>O,则8∕-26p+15>0,解得p<j或p>j(舍去)

3

即°<P<['选方案一数学期望大

3

E(X)-E(K)=O,则〃=：,方案一、方案二数学期望一样

3

E(x)-f(y)<o,则∖<p<ι,选方案二数学期望大

333

综上所述：。<7选方案一；PW方案一、方案二均可；VX选方案二

14.(2022•辽宁•东北育才学校模拟预测)下围棋既锻炼思维又愉悦身心，有益培养人的耐

心和细心，舒缓大脑并让其得到充分休息现某学校象棋社团为丰富学生的课余生活，举行象

棋大赛，要求每班选派一名象棋爱好者参赛.现某班有12位象棋爱好者，经商议决定采取

单循环方式进行比赛，(规则采用“中国数目法“，没有和棋)即每人进行11轮比赛，最后靠

积分选出第一名去参加校级比赛积分规则如下(每轮比赛采取5局3胜制，比赛结束时，取

胜者可能会出现3:0,3:1,3:2三种赛式).

3:0或3:13:2

胜者积分3分2分

负者积分0分1分

9轮过后，积分榜上的前两名分别为甲和乙，甲累计积分26分，乙累计积分22分.第10

轮甲和丙比赛，设每局比赛甲取胜的概率均为I,各局比赛结果相互独立.

(1)①在第10轮比赛中，甲所得积分为X,求X的分布列；

②求第10轮结束后，甲的累计积分丫的期望；

(2)已知第10轮乙得3分，判断甲能否提前一轮获得累计积分第一，结束比赛.(“提前一轮”

即比赛进行10轮就结束，最后一轮即第U轮无论乙得分结果如何，甲累计积分最多)？若

能，求出相应的概率；若不能，请说明理由.

2290

【答案】（1）①分布列见解析；②冬

【解析】

【分析】

（I）①X可能取值为：0、1、2、3,分别求出甲得0分（丙3：0、3：1）、甲得1分（丙

3：2）、甲得2分（甲3：2）、甲得3分（甲3：0、3：1）的概率即可得出分布列；②Y可

能取值为：26、27、28、29,与①的概率对应，用定义求期望即可；

（2）甲要提前一轮获得累计积分第一，第10轮结束后，甲的累计积分需比乙的累计积分至

少多4分，即29分，由（1）可得对应的概率

（1）

①第10轮比赛的可能情况如下：

丙3：0胜，甲得0分，P=fl↑=X;丙3：1胜，甲得0分，P=cj1]2=Z;丙

（3）27313）327

3：2胜,甲得I分，P=C噌J（IJ哈

甲3：0胜，甲得3分，P=I2]=色；甲3：1胜，甲得3分，P=Ci/2][=色；甲

27ʌɜj327

3：2胜，甲得2分，P=c；GJ；

X可能取值为：0、1、2、3,故P（X=O）=导—J,P（X=I）=?P（χ=2）吟，

16

P(X=3)=

27

X的分布列为

X0I23

ɪ81616

P

9818127

②第10轮结束后，丫可能取值为：26、27、28、29,由①得，甲的累计积分Y的期望:

r-∕s“1C-,8CC16CC162290

E(Y\=26×—F27×F28X----F29X—=-------

'J981812781

（2）如题，甲要提前一轮获得累计积分第一，第10轮结束后，甲的累计积分需比乙的累计积

分至少多4分，即甲至少29分，由（1）得，概率为M

15.（2022•江西・上高二中模拟预测（理））冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行

的第24届冬季奥运会的比赛项目之一.冰壶比赛的场地如图所示，其中左端(投掷线MN的

左侧)有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行,

冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心。的远近决定胜负，甲、

乙两人进行投掷冰壶比赛,规定冰壶的重心落在圆。中，得3分,冰壶的重心落在圆环A中，

得2分，冰壶的重心落在圆环B中，得1分，其余情况均得O分.已知甲、乙投掷冰壶的结

果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为g,；；甲、乙得2分的概率分别为I,3；甲、

乙得1分的概率分别为：，ɪ

56

(1)求甲所得分数大于乙所得分数的概率；

(2)设甲、乙两人所得的分数之差的绝对值为X,求X的分布列和期望.

【答案】⑴,

169

(2)分布列见解析，期望为：—

180

【解析】

【分析】

(I)根据题意先求出甲乙分别得0分的概率，甲所得分数大于乙所得分数分为：甲得3分

乙得2或1或0分，甲得2分乙得1或0分，甲得1分乙得0分，再分析求解概率即可；(2)

根据题意得X可能取值为0,1，2,3,再分别求概率，再画出分布列，求解期望即可.

(ɪ)

1211

由题意知甲得0分的概率为“鸟一弓-》一百，

乙得0分的概率为1—1—:一!=L,

甲所得分数大于乙所得分数分为：甲得3分乙得2或1或0分，甲得2分乙得1或0分，甲

得1分乙得O分

所以所求概率WX（IT+∣4+A+3分M

（2）

X可能取值为O,1,2,3,

II21I11129

P(X=O)=—X—+—×-+—X—H---X—

345256151290

11212111111183

P(X=I)=—X—+—X—+—X—+—X—+—X--1---X—=

32545652512156180

1111211131

P(X=2)=­X—+—x—+—X---F-X—

3645512215?80

11112

P(X=3)=—X------F-

31241545

所以，随机变量X的分布列为:

X0123

2983312

P

90Tso18045

ɔoSTO169

所以E(X)=0x-+lx——+2×—+3×-

',9018018045-T80

16.（2022•北京•北大附中三模）北京市某区针对高三年级的一次测试做调研分析，随机抽

取同时选考物理、化学的学生330名，下表是物理、化学成绩等级和人数的数据分布情况：

物理成绩等级ABC

化学成绩等级ABCABCABC

人数（名）11053255701531210

（I）从该区高三年级同时选考物理、化学的学生中随机抽取1人，已知该生的物理成绩等级为

A,估计该生的化学成绩等级为A的概率：

（2）从该区高三年级同时选考物理、化学的学生中随机抽取2人，以X表示这2人中物理、化

学成绩等级均为A的人数，求X的分布列和数学期望（以上表中物理、化学成绩等级均为A

的频率作为每名学生物理、化学成绩等级均为A的概率）；

（3）记抽取的330名学生在这次考试中数学成绩（满分150分）的方差为S?,排名前50%的

成绩方差为s；,排名后50%的成绩方差为sj,则S?不可能同时大于父和sj,这种判断是否

正确.（直接写出结论）.

【答案】（1）|

(2)分布列答案见解析，数学期望为:

(3)不正确

【解析】

【分析】

(1)由表可知，样本中物理成绩等级为A的人数为165,在该群体中化学成绩等级为A的

人数为110,即可估计该生的化学成绩等级为A的概率；

(2)从该区高三年级同时选考物理、化学的学生随机选取一名，物理、化学成绩等级均为A

的概率估计为g,可知随机变量X的取值范围{0,1,2},分别求出相应概率即可得到X分布

列及其数学期望；