江苏省南通学科基地2021届高三高考数学全真模拟试题（九）（解析版）

江苏省南通学科基地2021届高三高考数学全真模拟试卷(九)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知集合A={yly=f+2x+3}，B=<s\y=-^==1,则4nB=()

A.[2,3]B,[2,3)C.(2,3]D.(2,3)

【答案】B

【解析】

【分析】分别化简集合A,集合8,然后取交集即可.

【详解】A=y=x24-2x+3=(x+l)2+2|={y|y..2],By=1={x|x<3},

所以AcB=[2,3).

故选：B.

2.若复数z满足iz=4—3z•中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】由给定等式求出复数z的，进而求得结论.

【详解】因为iz=4—3i,所以z=±3=-4i—3,

i

从而z在复平面内对应的点(-3,-4)位于第三象限.

故选：C

3.哈六中开展劳动教育，决定在5月12日植树节派小明、小李等5名学生去附近的两个植树点去植树,

若小明和小李必须在同一植树点，且各个植树点至少去两名学生，则不同的分配方案种数为()

A.8B.10C.12D.14

【答案】A

【解析】

【分析】根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解即可.

【详解】当小明和小李单独去一个植树点时，有2种不同的分配方案

当小明和小李与另外一人去一个植树点时，有2x3=6种不同的分配方案

则共有6+2=8种不同的分配方案

故选：A

【点睛】本题主要考查了分类加法计数原理和分步乘法计数原理的综合应用，属于中档题.

4.17世纪初，约翰•纳皮尔在研究天文学的过程中，为简化计算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重

大事件，恩格斯曾经把对数的发明和解析几何的创始、微积分的建立称为17世纪数学的三大成就.在进行数

据处理时，经常会把原始数据取对数后再进一步处理，之所以这样做是基于对数函数在其定义域内是增函

数，且取对数后不会改变数据的相对关系，也可以将乘法运算转换成加法运算，将乘方运算转化为乘法运

算，据此可判断数2#(取电2B03010)的位数是()

A.108B.109C.308D.309

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，选令"=2严，再两边取对数化筒、计算、分析后就可以确定其位数.

【详解】记N=2*.因为=1024，

所以怆％=怆2/=1g21024=10241g2»1024x0.3010=308.224.

于是N=103°&224e(l03°8,K)3<»),又因为1()3。8是一个309位数，1()309是最小的31()位数，且N为整数，

所以数22m的位数是309.

故选：D.

【点睛】方法点睛：事实上，任何一个正实数N都可以表示成N=axlO"(L,a<10,〃eZ)的形式，此时

lgN=〃+lga(0,,lga<l)).当〃>0时，N是”+1位数.

5.在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y-5=0与圆》2+丁2=/(7>0)相交于人，〃两点若

AB=2及，则圆的半径广为()

A.3B.2C.>/3D.五

【答案】C

【解析】

【分析】求出圆心到直线的距离，再由垂径定理列式求解圆的半径.

【详解】圆f+y2=r”>0)的圆心为0(0,0),

1-51

圆心。到直线3x+4y-5=0的距离d=J,=1,

V3+4-

又AB=2&，；♦/=『+(应『=3，

则r=G,(r>0).

故选：C.

6.为了估计加工零件所花费时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下表:

零件数X(个)1357

加工时间y(分

0.5a22.5

钟)

若零件数x与加工时间p具有线性相关关系，且线性回归方程为》=0.36x+0.()l,则)?=()

A.1

B.0.8

C.1.09

D.1.5

【答案】B

【解析】

【分析】将样本中心点代入回归直线方程，解方程求得。的值.

_,._,.—I+3+5+7-0.5+42+2+2.55+a

【详o解】依题意x=--------------=4,y=---------------------=——，

444

将(4,空］代入$=0.36x+0.01得号@=0.36x4+0.01,解得a=0.8.

故选：B

【点睛】本小题主要考查回归直线方程过样本中心点，属于基础题.

7.在矩形ABCD中AC=1,AE±BD,垂足为E，则（而•通）•（丽・区）的最大值是（）

A.—B.-C.在D.—

27363

【答案】A

【解析】

【分析】设=AD=b,则。2+6=1，AE=ah,将（而•荏）•（行•再）用b表示，再利用导数

即可得到最大值.

【详解】设AD=b,则Q2+/=I，AE=ab,

于是（而•荏）•（而・再）=（亚兴丽y=a2b4=b4（l-b2）.

令t=〃，则0</<1，/（I—。?）=*（］_）

2

令/«）=r则/''«）=2，_3/.由/'Q）=o,得f=§.

当时,当住时,.故=/（|）=段.

fe（o,g）/（0>0；,1）f'（f）<0/«）1rax

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题引入边作为变量，合理利用一元表示（而•女）•（函是解题的关键，求最

值即可利用导数，亦可利用三元均值不等式.

8.若函数/（x）为定义在R上的偶函数，当》》0时，/（x）=2,-2,则不等式/*-1）22/（为的解集为

【答案】B

【解析】

【分析】由偶函数定义写出Ax）的解析式，然后分类讨论解不等式.分三类：x<0,0<x<l,x>l.

【详解】由题意得/（x）=2w-2,

所以不等式/(xT)..2/(x)即2|v-"-2..2(2w-2),亦即-2|t|+l+2..0.

当X,0时,不等式为2-一2-,+2..0,显然成立.

当。时，不等式为户-2%2一。，即2-2'+1.。令/=23则V<2,4T,。，即

「T-L,O,解得1<%，上叵，所以o〈苍，log,上叵.

22

4

当X..1时，不等式为21-2,+2..0,即2',,—,显然不成立.

3

综上，不等式/(x-l)..2/(x)的解集为—,log2

故选：B.

【点睛】方法点睛：本题考查函数的奇偶性，考查解绝对值不等式.解题方法是分类讨论，根据绝对值里

面式子的正负分类去掉绝对值符号，然后求解.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9,已知数列｛4｝,｛4｝均为等比数列，则下列结论中一定正确的有()

A.数列｛。也｝是等比数列B.数列｛4,+〃｝是等比数列

C.数列1g匕是等差数列D.数列｛1g(建/“)｝是等差数列

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据等比数列和等差数列的定义或通项公式判断.

【详解】设数列｛吗的公比为9,数列也｝的公比为%,所以q="4"T,b“=b靖.

对于A，anbn=%姐「"=。自(2％)"T，从而数列｛a„bn｝的公比为qg,故A正确.

对于B,%+「=*1+姑尸,多与%不一定相等，所以数列｛4+"｝不是等比数列，故B错误.

对于C,1g义b

,从而数列〈lgj的公差为lg.故c正确.

a„T翳卜q

对于D,lg（a»；）=21g|a也|=21g|a闺+2（"-1）咽[%],从而数列｛lg（q%；）｝的公差为,D

正确.

故选：ACD.

【点睛】结论点睛：本题考查等差数列和等比数列的判断.掌握等差数列和等比数列的定义是关键.判断

方法有：（1）定义法；（2）通项公式法；（3）等差中项、等比中项法；（2）前"项和公式.特别注意等比

数列中各项均不为0.

22

10.已知方程』-----匚=l/eR）,则下列说法中正确的有（）

16+Z9-k

A.方程=1可表示圆

16+Z9^1

22

B.当2>9时，方程一三-----匚=1表示焦点在X轴上的椭圆

16+Z9-k

C.当一16〈人<9时，方程」------匚=1表示焦点在x轴上的双曲线

16+Z9-k

D.当方程』-----匚=1表示椭圆或双曲线时，焦距均为10

16+左9-k

【答案】BCD

【解析】

【分析】分别将人的值代入各个命题，根据圆锥曲线方程的特点即可作出判断.

22

【详解】对于A,当方程上-----匚=1可表示圆时，16+%=々一9>0,无解，故A错误.

16+&9-k

对于8,当左>9时，—-----匚=」~+上二=1,l6+k>k-9,表示焦点在x轴上的椭圆，故8

16+Z9-k16+kk—9

正确.

对于C,当一16<9时-------工一=1,16+左>0,9-2>0,表示焦点在X轴上的双曲线，故C

16+Z9-k

正确.

对于。，当方程工-----匚=1表示双曲线时,。2=16+女+9—攵=25；当方程工-----匚=1表示

16+Z9-k16+A9-k

椭圆时，/=16+4—（&-9）=25,所以焦距均为10,故。正确.

故选：BCD

11.已知函数/(x)=2sin2x与g(x)=-2cos2x,则下列结论中正确的有()

7T

A.将尸/⑴的图像向右平移屋个单位长度后可得到尸g。)的图像

B.将发/3+g⑺的图像向右平移:个单位长度后可得到//⑴一g(x)的图像

C.丁=/(幻的图像与丁=8(幻的图像关于直线1=9对称

O

7F

D.>=/(x)+g(x)的图像与y=/(%)一g(x)的图像关于直线x=一对称

4

【答案】AD

【解析】

【分析】由题意利用函数>=4而(5+夕)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论.

【详解】对于A,/(x-3)=2sin2(x-?J=-2cos2x=g(x),A正确；

对于B,y=/(x)+g(x)=2sin2x-2cos2x=2式sin(2x-£),

y=f(x)-g(x)=2sin2x+2cos2x=2血sin[2x+?),

f^x-^+f(x)-g(x),故B错误；

对于c,y=/(x)的图像关于直线x=g对称的图像为/(f-x)=2夜sin(-2x+f),

844

显然/(?-x)Kg(x)，故c错误；

对于D,函数y=/(x)+g(x)关于直线》二]对称的图象为y=/(,-x)+g(5-幻，

即y=2及sin2f--xl--=272sin2x+—=/(x)—g(x),故D正确.

_(2J4」I\)

故选：AD

【点睛】方法点睛：函数/(x)关于直线x=a的对称图象为“2a-x),函数〃x)关于点(。⑼的对称

图象为y=2h-/(2a—x).

12.若非负实数。，b,。满足〃+b+c=l,则下列说法中一定正确的有()

A./十^十^的最小值为§B.(〃+b)c的最大值为］

1LL4

C.ac+bc+ca的最大值为§D.ajb+Z?Jc的最大值为,

【答案】ACD

【解析】

【分析】由已知条件结合基本不等式及相关结论，即可作出判断.

【详解】对于A,由/+。2..246,h2+c2..2hc,c2+a2..2ca,Wlei1+2b2+2c2,.lab+2bc+lea>两

边同时加上^+从十/,可得3(/+〃2+。2).,所以/+62+。2…“当且仅当

Q=〃=C=，时取等号，所以A正确.

3

2

fl-c+cY1

对于8,易得。+匕=1一C,所以(Q+力)C=(l一C)C,,I2J=4

当且仅当。+力=,，。=工时取等号，所以8不正确.

22

对于C,由a2+b2+c2..ab^-bc+ca，两边同时加上2"+2Z?c+2ca，得1=(a-^b+c)2..3(ab+bc+ca)，

所以，必+6c+c“，,，当且仅当”=0=c=，时取等号，所以C正确.

33

对于。，易得a=l-b-c,令&=x，&=y，所以

a^b+h\[c=(l—h—c)\[b+hy/c=(l—x2-y2^x+x2y=x—xi+xy(x-y),

3(y+x-y)3x3

„X-X+X•-------X-X4-X=XX3

I2)44

3(2、4

记/(x)=x—43,O^ijt1,利用导数易求得了(x),,/彳=人，所以。正确.

故选：ACD

【点睛】方法点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各

项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均

相等，取得最值.

三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.《墨子•经说上》上说：“小故，有之不必然，无之必不然，体也，若有端，大故，有之必然，若见之成

见也这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想，那么文中的“小故”指的是逻辑中的(选”充分条

件”.必要条件”“充要条件”既不充分也不必要条件'’之一填空)

【答案】必要条件

【解析】

【分析】通过理解古文，知“小故”是导致某个结果出现的几个条件中的一个或一部分条件，结合必要条

件的定义可得答案.

【详解】由“小故，有之不必然，无之必不然也”，知“小故”是导致某个结果出现的几个条件中的一个或

一部分条件，故“小故”指的是逻辑中的必要条件.

故答案为：必要条件

92

14.已知抛物线G：V=-2Px(p>0)的准线恰好与双曲线C,:与-马=1(4>0/>0)的右准线重合，双曲

ab

线a的左准线与抛物线G交于P，Q两点，且双曲线的右顶点到左准线的距离等于线段PQ的长，则

双曲线c2的离心率为.

【答案】3

【解析】

【分析】根据抛物线与双曲线的准线方程以及抛物线的通径长列式可得c=3a,再根据双曲线的离心率公式

可得结果.

222

【详解】抛物线y2=—2内(〃>0)的准线为x=K,双曲线［一］=1的右准线为％=土，左准线为

2矿厅c

2

x=--,在抛物线V=一2〃尢(〃>0)中，|PQ|=2p,

c24〃rr

所以<.,消去，得上一=。+幺，即3a2=〃c，所以c=3a,

八acc

2P=a+—

所以双曲线的离心率e=-=3.

a

故答案为：3

【点睛】关键点点睛：求双曲线离心率的关键是得到关于A,c的等量关系，通过抛物线与双曲线的准线方

程以及抛物线的通径长列式可得所要的等量关系.

15.《掷铁饼者》取材于希腊现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在挪铁饼的过程中最

IT

具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为im,

s/?

掷铁饼者双手之间的距离约为*m，"弓''所在圆的半径约为1.25m,则挪铁饼者的肩宽约为

m.（精确到0.01m）

【答案】0.39

【解析】

【分析】由求出圆弧所对圆心角大小，再由弧长公式即可求得.

【详解】如图，=OA=OB=1.25,△AOB中，过。作。于M,

572

则M是弦A8中点，AM=—，sinNAOM=处=-？-=史，NAOM=冬,

52

4

7FTT

则NAOB=2NAOM=一，“弓”所在的弧长/=—

2248

5乃714

所以其肩宽为土•一2x2=2,0.39.

848

故答案为：0.39

16.已知正三棱柱ABC-A4G的各条棱长均为2,则以点A为球心、2为半径的球与正三棱柱各个面的交

线的长度之和为.

【答案】3兀

【解析】

【分析】分别考虑球与各个面的相交情况，并根据三棱锥棱长求得交线弧的半径，从而求得交线长.

由图知：球与口48。和△A4G，没有交线；与四边形和四边形446。的交线是以点A为圆心

、2为半径的,圆弧，故长为万；与四边形的交线是以8。长为直径的半圆，故长为7.因此，交线

4

的长度之和为3万.

故答案为：37t.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在①A,B,C成等差数列，②。，b,c成等差数列，③sinA=cosC这三个条件中任选一个，补

充到下面的问题中并作答.

问题：在口ABC中，角A,B,C的对边分别为“，b,c,若5sinA=3sin3,且,求sinA

的值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】答案见解析

【解析】

【分析】选①A,C,B成等差数列可得8=120。一A,然后结合5sinA=3sin/?=3sin(12O。—A)，然

后结合差角正弦公式展开即可求解；

选②。，h,c成等差数列，2b=a+c,由sinA=3sin3,结合正弦定理及余弦定理可求；

选③sinA=cosC=sinT(T1-C),进而可得A,C的关系，然后结合5sinA=3sin6及和差角公式展开可求.

【详解】选择条件①：在DABC中，因为A,C,8成等差数列，所以2C=A+B.又A+B+C=180°,

所以3c=180。，解得C=60°,所以8=120°—A.

因为5sinA=3sin6,所以5sinA=3sin(120°-A).

)

从而5sinA=3--cosA---sinA,即7sinA=3gcosA.

_2\2)

又sin?A+cos2A=1，且sinA>0,

所以sinA=±£7,即sinA的值为之巨.

3838

选择条件②：因为5sinA=3sin6,所以由正弦定理得5。=3乩

即sinA的值为豆1

14

选择条件③：因为sinA=cosC=sin—C）>0,所以。e（。，万"）,从而f—

JT7TTTTT

又AG(0,»),所以4=二一。或A+J-C=TT,即A+C=2或A=C+勺.

2222

71713

右A+C=—,则5=—,所以5sinA=3sin5=3,即sinA=—.

225

TT37r

若4=。+—,又A+B+C=〃，所以5="-2A,

22

所以5sinA=3sin6=3sin已-2A=-3cos2A=6sin?A-3,即6sin2A—5sinA—3=0,

解得sinA=-----<0（舍去）或sinA=>1（舍去）.

1212

3

综上，sinA的值为己.

5

【点睛】方法点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵

活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：

第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.

第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.

第三步：求结果.

已知等差数列的前〃项和为“，且外+邑=

18.｛q｝S20，S6=2S4,

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）设数列也｝满足伉=4,且％—勿=4凡，求数列〈彳一了的前〃项和7；

/7

【答案】（1）。“=2〃+1；（2）T=——.

n2n+l

【解析】

【分析】设等差数列的公差为由可得

（1）｛q｝d,4+S3=20,S6=2S4,q+d+3q+3d=20,

64+寸4=2（44+号^4）,解得q,d.即可得出见；

（2）设数列｛2｝满足乙=4,且〃用一2=4%=8“+4,可得

ba-）+也h）+……+（打-幻+4=4〃2,£=而匕=；（止7一七），利用裂项求和方

法即可得出.

【详解】（1）设数列｛为｝的首项为为,公差为

因为。

2+§3=20,S6=2s4,

(%+d)+(3q+3d)=20,q=3,

所以《解得《

6q+15。=2(4q+6d),d=2.

所以数列的通项公式为

｛an｝4=2〃+1.

当几时,1=a+卜

(2).2bn—h[={h2-h^-\-(h3-^)"-----~^n-\)^\-----4a1，

所以仇=力2

1+4q+4a2+…+4an_j=4(1+3+5+・・・+2〃-1)=4n

当〃时，2所以勿

=1b]=4=4xl,=4/,

于是-二—!—

_L=_1=lf_L_

2

bn-\4W-1(2n-l)(2n+l)2<2n-l2/?+l

111

所以（,=-------1---------F

"1—1%-I

1"I"1"I1"...11

3352〃-12〃+1

一4__1]_〃

512n+lJ2«+1'

【点睛】方法点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这

一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：

11(11A1

⑴;比.马；(2)+k一册);(3)

<n+k+«k

11<11>11ii

此外,

(2n-l)(2n+l)2(2〃-12/?+1J'〃(〃+1)(〃+2)2〃(〃+1)(〃+1)(〃+2)

需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.

19.近年来，手机行业的竞争已经进入白热化阶段，各大品牌手机除了靠不断提高手机的性能和质量来提

升品牌竞争力，在广告投放方面的花费也是逐年攀升，用"烧钱”来形容毫不为过小明对某品牌手机近5年的

广告费投入（单位：亿美元）进行了统计，具体数据见下表.

年份代号X12345

广告费投入y5.86.67.28.896

并随机调查了300名市民对该品牌手机的喜爱情况，得到的部分数据见下表

喜欢不喜欢

50岁以下市民5()

50岁以上市民6040

（1）求广告费投入y与年份代号x之间的线性回归方程；

（2）是否有99%的把握认为市民的年龄与对该品牌手机的喜爱度具有相关性？

（3）若以这300名市民的年龄与对该品牌手机的喜爱度的情况估计整体情况，则从这300名市民中随机选

取3人，记选到喜欢该品牌手机且50岁以上的市民人数为X.求X的分布列及数学期望E（X）.

za-可(/-歹)2

附：①回归直线中，=鼠+B，b=上―------------，a=y—/x;②％?=-~〜叱”)K3

f(x.—可2)(a+Z?)(c+d)(a+c)S+d)

1=1

其中n—a+b+c+d.

k2.7063.8416.63510.828

P(/叫0.1000.050.0100.001

【答案】(1)y=0.98x+4.66；(2)有99%的把握认为市民的年龄与对该品牌手机的喜爱度具有相关性;

3

(3)分布列答案见解析，数学期望：-

【解析】

【分析】(1)先求出年代号x及广告投入费用)，的平均数，再利用公求出分和&而得解;

(2)根据题设及表格中的信息完善2x2列联表，算出72的观测值并回答得解;

(3)求出随机抽取1人，喜欢该品牌手机且50岁以上市民的概率，再求出随机变量X的各个取值的概率

而得解.

【详解】(1)依题意知元=1x(l+2+3+4+5)=3,y=-(5.8+6.6+7.2+8.8+9.6)=7.6,

5

所以Z(%-元)=4+1+0+1+4=10,

/=1

^.-%)(^.-7)=(-2)-(-1.8)+(-1)-(-1)+0-(-0.4)+1-1.2+2-2=9.8,

于是b=————=辞=。98,

一可一

/=1

所以4=歹一放=7.6—0.98x3=4.66,

故广告费投入y与年份代号X之间的线性回归方程为y=0.98X+4.66；

(2)补充完整的2x2列联表如下:

喜欢不喜欢

50岁以下市民15050200

50岁以上市民6040100

总计21090300

由.2300x(150x40—50x60)2300x3000x3000一一。/

所以力2=------------------------------L.=----------------------------«7.143>6.635,

200x100x210x90200x100x210x90

故有99%的把握认为市民的年龄与对该品牌手机的喜爱度具有相关性；

（3）依题意知随机变量X的可能取值为0，I，2,3.

从这300名市民中随机抽取1人，是喜欢该品牌手机且50岁以上的市民的概率为㈣=」,

3005

所以p（x=o）=1—；）

P(X=1)=C；(\1?148

]-----一~----,

5)5125

P(X=2)=C；.)哈，

Tj1

P(X=3)=C；-Jj-125

故X的分布列如下：

X0123

6448121

P

125125125125

因为X~Bp,(),所以E(X)=3x[=|.

【点睛】判断随机变量是否服从二项分布：一是要看在一次试验中是否只有两种试验结果，且两种试验结

果发生的概率分别为。，1-〃；二是看是否为〃次独立重复试验，且随机变量是否为某事件在这〃次独立

重复试验中发生的次数.

20.如图，在四棱锥P—A6CD中，24,平面ABC。，AD//BC,BC=2AD,

AP=AB=AD=CD=2.

（1）求证：平面PAC_L平面Q4B；

（2）若E为棱PB上一点（不与P，3重合），二面角E—CD—P的余弦值为区，求生的值.

14PB

【答案】（1）证明见解析；（2）

3

【解析】

【分析】（1）通过线面垂直证明面面垂直；

（2）先设方=几方，然后两个平面的法向量用；I表示，由二面角的余弦值建立方程，然后通过换元计算

可得.

【详解】（1）证明：取BC的中点/，连接AM.

因为AD/ABC,BC=2AD，

所以AO//MC,AD=MC,

从而四边形AMC。为平行四边形,

所以AM=OC=2,

于是所以AB1AC.

2

因为R4J_平面ABC。，ACu平面ABC。，所以P4_LAC.

又AB，Q4u平面Q46，ABr>PA=A，所以AC,平面。钻.

又ACu平面PAC,所以平面H4C_L平面RW.

(2)由(1)知AB，AC,A尸两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系A-孙z,

所以8(2,0,0),。(0,26,0),D(-l,V3,0),尸(0,0,2).

设屋=2万，0<A<1,则成=(1,6,0)，PC=(0,273,-2),厘=4方=(22,0,-2%),

于是比=定—而=(一2%2月2+24).

令弘=1,得］=（一G,1,6）.

设平面ECD的一个法向量为々=(x,,y2,z2)

n^DC=0x2+6y2=0，

则即《

%•EC-0-22x,+2^\/3y2+（2丸-2）z?=0.

令必=1，得〃2=(一6，1，6・三5)

.1+4.

令1=------,则，＞1.

1-2

因为二面角E—CD—P的余弦值为受互

14

|4+3/|5s

所以cos(〃|,〃2

币."+3/

化简得13f2—32f+12=0,即。-2)(13/-6)=0,

解得，=2或/=?(舍去)，

解得力=一，因此——PE值为上|.

3PB3

21.在平面直角坐标系中，已知椭圆£+《=l（a＞。＞0）的离心率为且，两条准线之间的距离为

a~b~2

8百

"V

（1）求椭圆C的方程；

（2）设椭圆。的上顶点为8,过点的直线/与椭圆。相交于"，N两点（点M,N分别位于第

一、第三象限），若直线与BN的斜率分别为勺，k2,求仁山2的取值范围.

【答案】（1）—+y2=1：（2）f——,0.

4-I4J

【解析】

【分析】（1）根据离心率及准线距离求得参数。，4c,从而写出椭圆方程.

（2）联立直线方程与椭圆方程，得到韦达定理，用交点坐标表示出匕•七，代入韦达定理，可以求得关于左

的表达式，根据单调性判断范围即可.

【详解】（1）设椭圆。的焦距为2c.

由题意得£=走，竺=述，解得。=2,c=5所以匕=1，

a2c3

2

因此椭圆C的方程为r二+/=1.

（2）设N（x2,y2）,直线/的方程为y+1=©x+l）,即丁="+人一1,

将它代入椭圆C的方程，整理得f+4(日+女—1)2-4=0,

即（1+4&2）/+（842—8左）*+422—8左=0,

8k-8k2止-8k

所以王+々=

1+4公1+4公•

因为点M，N分别位于第一、第三象限，由图易知，该直线的边界点应取到上顶点(0/)及右顶点(2,0),

易求得，＜女＜2,所以之一2/0,

3

于是jT%T_M》+1)2MV+1)-2

k~XyX-,+k（k—2）（X]+/）+（左一2）~

%尤2

,4k2-8k..c、Sk-Sk2.c、

k2-------丁+k（zk-2）------丁+（z%-2）

1+4公1