初中八年级数学课件-勾股定理【全国一等奖】

勾股定理——数形结合之美相信自己是最棒的CBA学习目标1、掌握《勾股定理》的内容（重点）2、经历探索和验证勾股定理的过程，发展对图形性质或数量关系猜想及检验能力，感受解决同一个问题方法的多样性。（难点）3、能应用勾股定理进行简单的计算，感受勾股定理的应用价值。y=0关于直角三角形,你知道哪些方面的知识?ABCacb1.直角三角形叫Rt△2.两锐角互余∠A+∠B=90°3.三角形的面积s=1/2ab=1/2hc4.30°所对的直角边等于斜边的一半5.证明两个直角三角形全等有“HL”活动一：温故而知新h本节课我们再来探索直角三角形新的知识

毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家，相传2500年前,一次,毕达哥拉斯去朋友家作客.在宴席上,其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论,只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地而发起呆来．原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方．主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他．谁知毕达哥拉斯突破恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了．

同学们，你想知道大哲学家发现了什么吗？活动二听故事情景导入:

毕达哥拉斯发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系，我们一起来观察图中的地面，看看能发现什么.A、B、C的面积有什么关系？等腰直角三角形三边有什么关系？SA+SB=SC两直角边的平方和等于斜边的平方ABC毕达哥拉斯发现了勾股定理后高兴异常，命令他的学生宰了一百头牛来庆祝这个伟大的发现，因此勾股定理又叫做“百牛定理”．勾股定理流传最广的证明载于欧几里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）的《几何原本》中，欧几里德在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了．

1955年希腊发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成．这张邮票也是为了纪念勾股定理这个伟大的发现．1955年希腊发行的印有勾股定理图案的邮票

百牛定理这个会徽的设计基础是1700多年前，中国古代数学家赵爽的弦图，是为了证明勾股定理而绘制的。经过设计变化成为含义丰富的2002年国际数学家大会的会标。勾股弦定理商高定理

中国是最早发现研究勾股定理的国家之一，我国古代著名的数学著作《周髀算经》中曾记载，早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了：勾三，股四，弦五。勾股史话

商高定理：

商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”，所以在我国人们就把这个定理叫作“商高定理”。

商高定理就是勾股定理哦！

自学导读（自学课本P52--P53）1、观察P52一起探究，小组合作交流并展示自学成果你发现图形中的三边存在什么关系？2、自己动手利用4个全等的直角三角形模仿18–2拼图利用拼出图形的面积关系，验证a2+b2=c2小组成员到台前展示拼图，并写出说理验证过程3、勾股定理的内容是什么？如何用符号表示？ABCA的面积(单位面积)B的面积(单位面积)C的面积(单位面积)图2图3A、B、C面积关系直角三角形三边关系图2图3491392534sA+sB=sC两直角边的平方和等于斜边的平方探究与猜想是不是所有的直角三角形的三边都满足这种关系呢?ABC想一想：我们怎样用面积计算的方法来证明勾股定理呢？

已知：如图，在Rt△ABC中，，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b，求证：a2+b2＝c2.ccccabababababcACBA1B1C1D1EFGH证法一：P53证明：由拼图可知：大正方形的边长为(a+b),小正方形的边长为c，∵大正方形EFGH的面积减去4个△ABC的面积等于中间的小正方形A1B1C1D1的面积.化简，得：a2+b2＝c2这是2002年国际数学家大会会标赵爽弦图

∵ab×4+(b-a)²=c²

∴a²+b²=c²abc2ab+（b²-2ab+a²）=c²证法二：S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形

现在我们一起来探索“赵爽弦图”的奥妙吧！赵爽弦图赵爽东汉末至三国时代吴国人为《周髀算经》作注，并著有《勾股圆方图说》。动手操作数学实验：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b,斜边长为c，那么a2+b2=c2.

以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方形，把两个正方形如图（左）连在一起，通过剪、拼把它拼成图（右）的样子,你能做到吗？试试看.cbaba

美国总统证法1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国共和党议员加菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是加菲尔德便问他们在干什么？证法三：

美国总统证法那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”加菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。加菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。abcbacABCDE1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统．后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统证法”．能只用这两个直角三角形说明a2+b2=c2吗？拼一拼试一试如图，把火柴盒放倒，在这个过程中，也能验证勾股定理，你能利用这个图验证勾股定理吗？把你的想法与大家交流一下。议一议试一试出入相补刘徽（生于公元三世纪）三國魏晋时代人。魏景元四年（即263年）为古籍《九章算术》作注释。在注作中，提出以「出入相补」的原理来证明「勾股定理」。后人称该图为「青朱入出图」。割补法、黄色部分面积为a2绿色部分面积为b2边长为c勾股定理的证明勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。现在在网络上看到较多的是16种,包括前面的6种,还有:

欧几里得证明、利用相似三角形性质证明、

杨作玫证明、李锐证明、

利用切割线定理证明、利用多列米定理证明、

作直角三角形的内切圆证明、利用反证法证明、

辛卜松证明、陈杰证明。走进数学史勾股定理（gou-gutheorem)如果直角三角形两直角边分别为a、b，

斜边为c，那么a2+b2=c2

即

：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．abc勾股弦在西方又称毕达哥拉斯定理！结论：勾股勾股弦

我国早在三千多年就知道了这个定理，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．因此就把这一定理称为勾股定理．辉煌发现通过这种方法，可以把一个正方形的面积分成若干个小正方形的面积的和，不断地分下去，就可以得到一棵美丽的勾股树．归纳探究11美丽的勾股树

课堂练习：.在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.(1)已知：a=6，ｂ=8，求c；

(2)已知：a=40，c=41，求b；

(3)已知：c=13，b=5，求a；

(4)已知:a:b=3:4,c=15,求a、b.练一练(1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边;(2)可用勾股定理建立方程.方法小结在用勾股定理时，需要知道直角三角形中的两条边长，才能求出第三边长.cba公式变形a2+b2=c2c2=a2+b2a2=a2=c2-b2c2－b2b2b2=c2-a2=c2-a2

在准备好的方格纸上，分别画三个顶点都在格点上且两直角边分别为6和8，5和12，9和12的直角三角形，并测量出这三个直角三角形的斜边长，然后验证你的猜想！动手操作数学实验abc16825123912151310225100169225169100勾股小常识：勾股数

1.基本勾股数如：大家一定要熟记

2.如果a,b,c是一组勾股数，则ka、kb、kc（k为正整数）也是一组勾股数，如：6、8、10；9、12、15；10、24、26；15、36、39……１、如图:一个高3米,宽4米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木板,则木板的长为()A.3米B.4米C.5米D.6米C试一试:３４２、隔湖有两点A、Ｂ，从与ＢA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=13米,CB=12米,则AB为()ABCA.5米B.12米C.10米D.13米1312?A试一试:３、一个直角三角形的三边长为三个连续偶数,则它的三边长分别为()A2、4、6Ｃ4、6、8B试一试:Ｂ6、8、10Ｄ8、10、125或４、已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，AC＝３,则BC的长为

.试一试:43ACB43CAB比一比看看谁算得快！2.求下列直角三角形中未知边的长:可用勾股定理建立方程.方法小结:8x171620x125x做一做

如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了(

)步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．走进生活:例3现在一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人。已知最多只能伸长10m，消防车高3m.救人是云梯伸至最长，在完成从9m高处救人后，还要从12m高处救人，这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近多少米？（精确到0.1m）例题讲解》：P54DBE图１８－３CAO分析：如图18-3，设A是云梯的下端点，AB是伸长后的云梯，B是第一次救人的地点，D是第二次救人的地点，过点A的水平线与楼房ED的交点为O。则OB=9-3=6（m），OD=12-3=9（m）.根据勾股定理，得解方程，得设AC=X，则OC=8-x，于是根据勾股定理，得请根据上述分析写出解题过程1．已知:如图,等边△ABC的边长是6cm.(1)求高AD的长;(2)求S△ABC.ABCD课堂练习36?2已知:如图,等边△ABC的高AD是cm.(1)求边长;(2)求S△ABC.ABCD练一练1、一个门框尺寸如下图所示．①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，能否通过此门？②若薄木板长3米，宽1.5米呢？③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？对角线=∴能通过此门.应用知识回归生活探究:生活中的数学问题

在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题:今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？ACB讲授新课问题探究:(古代问题）这个问题意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少尺？DABC解:设水池的深度AC为X尺,则芦苇高AD为(X+1)尺.根据题意得:BC2+AC2=AB2∴52+X2=(X+1)225+X2=X2+2X+1X=12∴X+1=12+1=13(尺)答:水池的深度为12尺,芦苇的长度为13尺.问题探究:如图,折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边，使点D落在BC边上的点F处，若AB=8，AD=10.（1）你能说出图中哪些线段的长?（2）求EC的长.问题与思考1046810xEFDCBA8-x8-x试一试1.请你在作业纸上画图，在数轴上表示的点2.请同学们归纳出如何在数轴上画出表示的点的方法？3.你能在数轴上表示的点吗？试一试！数学园地P56“数学海螺”

数学园地P56数学探索：观察下列表格：……列举猜想3、4、532=4+55、12、1352=12+137、24、2572=24+25……13、b、c132=b+c请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值.即b=

，c=

8485聪明的葛藤葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了得到阳光的沐浴，常常会选择高大的树木为依托，缠绕其树干盘旋而上。如图(1)所示。葛藤又是一种聪明的植物，它绕树干攀升的路线，总是沿着