初中数学九年级上册 圆周角-“江南联赛”一等奖

2.4圆周角

你喜欢踢足球吗？你知道足球队员之间踢球的关键是什么？配合

足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈，进行无人防守的射门训练，如图，小明、小强两名同学分别站在圆上A、D两地，他们争论不休，都说自己所在位置，射门角度大，射门的机率高。如果你是教练，请评一评他们两个人，如果仅从射门角度的大小考虑，谁的位置射门更有利？ADBCO比较∠BAC的∠BDC大小？小明小强一、课前准备初中数学九年级上册（苏科版）沭阳如东实验学校初三备课组2.4圆周角(1)学习目标1.掌握圆周角的概念2.体验并掌握圆周角定理的探究过程3.感悟圆周角定理中数学思想方法.把圆心角∠POQ的顶点移到点A、B1、B2、C处，形成了不同于圆心角的一些角，图中∠B1、∠B2的顶点位置有什么共同特征？问题：PQOAB1B2C圆周角的定义OBCA

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。⑴顶点在圆上⑵角的两边和圆相交特征：二、合作探究请大家画出一个错误的圆周角。1.找找新朋友①．②．③．⑤．④．——圆周角2.图中有几个圆周角？（）（A）2个，（B）3个，（C）4个，（D）5个C探究一：2、量一量你所画的圆周角的度数，发现了什么？同弧所对的圆周角相等1、请在⊙O中，OB⊥OC,画出所对的圆心角和圆周角，你能画出多少个符合条件的圆心角和圆周角?∠BOC=600?3、观察你所画图形，思考圆心与圆周角之间有几种位置关系？BCO.90°∟圆心O与∠BAC的位置关系圆心O在∠BAC的一边上圆心O在∠BAC的内部圆心O在∠BAC的外部探究二：∟O90°BACA⌒120°BCO⌒ABCn°O你发现了什么？45°60°如图，AB为⊙O的直径，∠BOC、∠BAC分别是所对的圆心角、圆周角，算一算图中∠BAC的度数.已知：⊙O中，所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC。求证：∠BAC＝∠BOC。AOBC∵OA=OC∴∠OCA=∠BAC证明：∵∠BOC是△AOC的外角∴∠BOC=∠BAC+∠OCA∴∠BOC=2∠BAC即∠BAC=∠BOC.证一证OABCOABCCOAB圆心O在∠BAC的一边上圆心O在∠BAC的内部圆心O在∠BAC的外部思考：当圆心O在∠BAC的内部或外部时，还成立吗？OABDOACDOABCD圆心O在∠BAC的内部OACDOABDOABDCOADCOAB圆心O在∠BAC的外部DCOADOABDCOADOABD结论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。===思考：若两条弧相等，则它们所对的圆心角有什么关系？所对的圆周角呢？OABCDPQ1.圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。（圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半）圆周角定理:OBCADE2.同弧或等弧所对的圆周角相等。例1、如图，点A、B、C、D在圆O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，∠BAC=35°，则（1）∠BDC=

，理由是

；（2）∠BOC=

，理由是

。35°70°同弧所对的圆周角相等。同弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。三、个性展示例2.如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点E，∠AOD=150°,BC为70°。求∠ABD、∠AED的度数。三、个性展示？？150°

35°70°

足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈，进行无人防守的射门训练，如图，小明、小强两名同学分别站在圆上A、D两地，他们争论不休，都说自己所在位置，射门角度大，射门的机率高。如果你是教练，请评一评他们两个人，如果仅从射门角度的大小考虑，谁的位置射门更有利？ADBCO比较∠BAC的∠BDC大小？小明小强ADBCO例1：站在点D的小强向后退了几步，退到了圆外，此时从射门角度大小考虑，小明A、小强D谁的位置射门更有利？FE例3：如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外，CD、BD分别交⊙O于点E、F，比较∠BAC与∠BDC的大小，并说明理由。例题解析小明三、个性展示例3：如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外，CD、BD分别交⊙O于点E、F，比较∠BAC与∠BDC的大小，并说明理由。解：∠BAC＞∠BDC∵∠BFC是△CDF的一个外角∴∠BFC＞∠BDC∵∠BAC＝∠BFC∴∠BAC＞∠BDC（同弧所对的圆周角相等）连接CFADBCOFE变式：站在点D的小强向前进了几步，进到了圆内，仅从射门角度大小考虑，此时小明A、小强D谁的位置射门更有利？例题解析

小明变式：如图，移动点D到圆内，其它条件不变，此时∠BAC与∠BDC的大小又如何？并说明理由。延长BD交⊙O于点E，连接CE∵∠BDC是△CDE的一个外角∴∠BDC＞∠BEC∵∠BAC＝∠BEC∴∠BDC＞∠BAC解：∠BDC＞∠BAC。理由是：（同弧所对的圆周角相等）E三、个性展示1．如图，D是弧AC的中点，与∠ABD相等的角的个数是（）．A．4个B．3个C．2个D．1个B==四、整合提升

2.如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=42°，则∠ACD的度数为

.四、整合提升4804201、数学知识（2）圆周角定理：五、课堂小结（1）圆周角的概念：分类讨论OABCOABCCOAB由特殊到一般2、数学思想与方法OABCDCOABDOABC转化由一般到特殊2、数学思想与方法E化转转化转化思想2、数学思想与方法1．如图，△ABC的3个顶点都在⊙O上，∠ACB=40°，则∠AOB=_______，∠OAB=_____。

2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，在这8个角中，有几对相等的角？请把它们分别表示出来：六、反馈训练：3.如图，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（）A.∠4<∠1<∠2<∠3B.∠4<∠1=∠3<∠2C.∠4<∠1<∠3<∠2D.∠4<∠1<∠3=∠24.如图，已知圆心角∠AOC的度数为100°，求圆周角∠ABC的度数．5．在半径为r的圆中有一条长度为r的弦，则该弦所对的圆周角的度数是

6.在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻。当甲带球到A点时,乙随后冲到B点，如图所示，此时甲是自己直接射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢?为什么?(不考虑其他