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江苏省泰安市长城中学2024届数学高二下期末复习检测试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若实数满足,则的取值范围为()A. B. C. D.2.已知函数(其中)在区间上单调递减,则实数的取值范围是()A. B. C. D.3.函数在处的切线方程是()A. B. C. D.4.函数在上取得最小值时,的值为().A.0 B. C. D.5.已知集合,,在集合内随机取一个元素,则这个元素属于集合的概率为()A. B. C. D.6.已知函数,其定义域是,则下列说法正确的是()A.有最大值,无最小值B.有最大值,最小值C.有最大值,无最小值D.无最大值,最小值7.下列选项中,说法正确的是()A.命题“”的否定是“”B.命题“为真”是命题“为真”的充分不必要条件C.命题“若,则”是假命题D.命题“在中,若,则”的逆否命题为真命题8.如图,在空间四边形ABCD中,设E,F分别是BC,CD的中点,则+(-)等于A.B.C.D.9.已知抛物线(是正常数)上有两点、,焦点,甲:;乙:;丙:;丁:.以上是“直线经过焦点”的充要条件有几个()A. B. C. D.10.已知双曲线的离心率为,焦点是,,则双曲线方程为()A. B.C. D.11.若复数满足,则在复平面内,对应的点的坐标是()A. B. C. D.12.已知,,,则下列结论正确的是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺.问积几何?答曰:二千一百一十二尺,术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”,这里所说的圆堡瑽就是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而一”,就是说:圆堡瑽(圆柱体)的体积为(底面圆的周长的平方高),则由此可推得圆周率的取值为________.14.“”是“函数是上的奇函数”的__________条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中一个)15.在如图三角形数阵中,从第3行开始,每一行除1以外,其它每一个数字是它上一行的左右两个数字之和.已知这个三角形数阵开头几行如图所示,若在此数阵中存在某一行,满足该行中有三个相邻的数字之比为,则这一行是第__________行(填行数).16.给出下列4个命题:①若函数f(x)在(2015,2019)上有零点,则一定有f(2015)⋅f(2019)<0;②函数y=x+|x-4|③若函数f(x)=lg(ax2+5x+4)的值域为R④若函数f(x)满足条件f(x)-4f(1x)=x,(x∈R,x≠0),则|f(x)|其中正确命题的序号是:_____.(写出所有正确命题的序号)三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在直角坐标系中,直线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆极坐标方程为.(1)求直线的普通方程和圆的直角坐标方程;(2)若直线与圆相切,求的值.18.(12分)已知函数,.(Ⅰ)当时,求的单调区间与极值;(Ⅱ)当时,若函数在上有唯一零点,求的值19.(12分)数列的前项和为,且满足.(Ⅰ)求,,,的值;(Ⅱ)猜想数列的通项公式,并用数学归纳法证明你的结论.20.(12分)中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题,拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度,责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在15~65岁的人群中随机调查100人,调查数据的频率分布直方图如图所示,支持“延迟退休年龄政策”的人数与年龄的统计结果如表:年龄(岁)支持“延迟退休年龄政策”人数155152817(I)由以上统计数据填写下面的列联表;年龄低于45岁的人数年龄不低于45岁的人数总计支持不支持总计(II)通过计算判断是否有的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的态度有差异.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828参考公式:21.(12分)已知椭圆C:的左,右焦点分别为且椭圆上的点到两点的距离之和为4(1)求椭圆的方程;(2)若直线与椭圆交于两点,为坐标原点直线的斜率之积等于,试探求△OMN的面积是否为定值,并说明理由22.(10分)已知函数.(1)求函数在区间上的最大值和最小值;(2)已知,求满足不等式的的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】分析:作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,即可求z的取值范围.详解:作出不等式组对应的平面区域如图:设,得,平移直线,由图象可知当直线经过点时,直线的截距最小,此时z最小,为,当直线经过点时,直线的截距最大,此时时z最大,为,即.故选:C.点睛:本题主要考查线性规划的基本应用,利用目标函数的几何意义是解决问题的关键,利用数形结合是解决问题的基本方法.2、D【解题分析】
根据复合函数增减性与对数函数的增减性来进行判断求解【题目详解】,为减函数,若底数,根据复合函数同增异减的性质,可得函数在定义域内单调递增,与题不符,舍去若底数,根据复合函数同增异减的性质,可得函数在定义域内单调递减,的定义域满足,,因在区间上单调递减,故有,所以答案选D【题目点拨】复合函数的增减性满足同增异减,对于对数函数中底数不能确定的情况,需对底数进行分类讨论,再进行求解3、A【解题分析】
求导函数,切点切线的斜率,求出切点的坐标,即可得到切线方程.【题目详解】求曲线y=exlnx导函数,可得f′(x)=exlnx∴f′(1)=e,∵f(1)=0,∴切点(1,0).∴函数f(x)=exlnx在点(1,f(1))处的切线方程是:y﹣0=e(x﹣1),即y=e(x﹣1)故选:A.【题目点拨】本题考查导数的几何意义,考查学生的计算能力,属于基本知识的考查.4、D【解题分析】
根据三角函数的单调性分析求解即可.【题目详解】当时,.根据正弦函数的性质可知,当,即时,取得最小值.故选:D【题目点拨】本题主要考查了三角函数的最值问题,属于基础题.5、D【解题分析】
利用线性规划可得所在区域三角形的面积,求得圆与三角形的公共面积,利用几何概型概率公式可得结果.【题目详解】表示如图所示的三角形,求得,,点到直线的距离为,所以,既在三角形内又在圆内的点的轨迹是如图所示阴影部分的面积,其面积等于四分之三圆面积与等腰直角三角形的面积和,即为,所以在集合内随机取一个元素,则这个元素属于集合的概率为,故选D.【题目点拨】本题主要考查“面积型”的几何概型,属于中档题.解决几何概型问题常见类型有:长度型、角度型、面积型、体积型,求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积;几何概型问题还有以下几点容易造成失分,在备考时要高度关注:(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误;(2)基本事件对应的区域测度把握不准导致错误;(3)利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能性导致错误.6、A【解题分析】
先化简函数,再根据反比例函数单调性确定函数最值取法【题目详解】因为函数,所以在上单调递减,则在处取得最大值,最大值为,取不到函数值,即最小值取不到.故选A.【题目点拨】本题考查反比例函数单调性以及利用函数单调性求最值,考查分析判断求解能力,属基础题.7、C【解题分析】对于A,命题“”的否定是“”,故错误;对于B,命题“为真”是命题“为真”的必要不充分条件,故错误;对于C,命题“若,则”在时,不一定成立,故是假命题,故正确;对于D,“在中,若,则或”为假命题,故其逆否命题也为假命题,故错误;故选C.8、C【解题分析】
由向量的线性运算的法则计算.【题目详解】-=,,∴+(-).故选C.【题目点拨】本题考查空间向量的线性运算,掌握线性运算的法则是解题基础.9、B【解题分析】
设直线的方程为,将直线的方程与抛物线的方程联立,利用韦达定理验证四个选项结论成立时,实数的值,可以得出“直线经过焦点”的充要条件的个数.【题目详解】设直线的方程为,则直线交轴于点,且抛物线的焦点的坐标为.将直线的方程与抛物线的方程联立,消去得,,由韦达定理得,.对于甲条件,,得,甲条件是“直线经过焦点”的必要不充分条件;对于乙条件,,得,此时,直线过抛物线的焦点,乙条件是“直线经过焦点”的充要条件;对于丙条件,,即,解得或,所以,丙条件是“直线经过焦点”的必要不充分条件;对于丁条件,,化简得,得,所以,丁条件是“直线经过焦点”的必要不充分条件.综上所述,正确的结论只有个,故选B.【题目点拨】本题考查抛物线的几何性质,以及直线与抛物线的综合问题,同时也考查了充分必要条件的判定,解题时要假设直线的方程,并将直线方程与抛物线方程联立,利用韦达定理求解,考查运算求解能力与逻辑推理能力,属于中等题.10、A【解题分析】由题意e=2,c=4,由e=,可解得a=2,又b2=c2﹣a2,解得b2=12所以双曲线的方程为.故答案为.故答案选A.11、C【解题分析】试题分析:由,可得,∴z对应的点的坐标为(4,-2),故选C.考点:考查了复数的运算和复数与复平面内点的对应关系.点评:解本题的关键是根据复数的除法运算求出复数z,然后利用复数z所对应的点的横坐标和纵坐标分别为为复数的实部和虚部,得出对应点的坐标.12、B【解题分析】
根据指数函数、对数函数的单调性分别求得的范围,利用临界值可比较出大小关系.【题目详解】;;且本题正确选项:【题目点拨】本题考查利用指数函数、对数函数的单调性比较大小的问题,关键是能够通过临界值来进行区分.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、3【解题分析】
根据圆堡瑽(圆柱体)的体积为(底面圆的周长的平方高),可得,进而可求出的值【题目详解】解:设圆柱底面圆的半径为,圆柱的高为,由题意知,解得.故答案为:3.【题目点拨】本题主要考查了圆柱的体积公式.只要能看懂题目意思,结合方程的思想即可求出结果.14、必要不充分【解题分析】分析:先举反例说明充分性不成立,再根据奇函数性质推导,说明必要性成立.详解:因为满足,但不是奇函数,所以充分性不成立,因为函数是上的奇函数,所以必要性成立.因此“”是“函数是上的奇函数”的必要不充分条件.,点睛:充分、必要条件的三种判断方法.1.定义法:直接判断“若则”、“若则”的真假.并注意和图示相结合,例如“⇒”为真,则是的充分条件.2.等价法:利用⇒与非⇒非,⇒与非⇒非,⇔与非⇔非的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.3.集合法:若⊆,则是的充分条件或是的必要条件;若=,则是的充要条件.15、98【解题分析】
通过杨辉三角可知每一行由二项式系数构成,于是可得方程组,求出行数.【题目详解】三角形数阵中,每一行的数由二项式系数,组成.如多第行中有,,那么,解得,因此答案为98.【题目点拨】本题主要考查杨辉三角,二项式定理,意在考查学生数感的建立,计算能力及分析能力,难度中等.16、④【解题分析】
举出特例,如fx=(x-2017)2-1,即可判断①为假;根据定义域先将原函数化简,再根据奇偶性的定义,即可判断②为假;根据函数f(x)=lgax2+5x+4的值域为【题目详解】①若fx=(x-2017)2-1,则fx在2015,2019上有零点,此时②由9-x2>0得-3<x<3,所以y=所以函数y=x+③若函数f(x)=lgax当a=0时,显然成立.当a≠0时,则二次函数y=ax2+5x+4即Δ=25-16a≥0a>0解得0<a≤所以实数a的取值范围是0≤a≤2516④因为f(x)-4f1x=x,所以有f可得f(x)=-115x+所以fx当x>0时,x+4当x<0时,x+4所以fx=115故答案为④【题目点拨】本题主要考查命题真假的判定,熟记零点存在性定理、函数奇偶性的概念、对数型函数的性质、以及解方程组法求函数解析式等即可,属于常考题型.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),;(2).【解题分析】
(1)根据参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程的方法可直接得到结果;(2)利用直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径,从而构造方程求得.【题目详解】(1)由题意得:直线的普通方程为:圆的极坐标方程可化为:圆的直角坐标方程为:,即:(2)由(1)知,圆圆心坐标为;半径为与相切,解得:【题目点拨】本题考查参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程、根据直线与圆的位置关系求解参数值的问题;关键是能够明确直线与圆相切,则圆心到直线的距离等于半径,从而在直角坐标系中来求解问题.18、(Ⅰ)的单调递增区间是,单调递减区间是.极大值是,无极小值.(Ⅱ)1【解题分析】
(Ⅰ)把代入,令,求出极值点,再求出的单调区间,确定函数的极值;(Ⅱ)函数在上有唯一零点,等价于的极小值等于0,列出等式,可求得t.【题目详解】解:(Ⅰ)当时,,则,令,得,∴的单调递增区间是,单调递减区间是.∴的极大值是,无极小值.(Ⅱ)当时,,由,得,∴在上单调递减,在上单调递增,∴的极小值是,∴只要,即,令,则,∴在上单调递增.∵,∴的值是1.【题目点拨】本题主要考查利用导函数求增减区间和极值;以及根据函数零点的个数,确定参数的取值,数形结合方法的应用是解决本题的关键.19、(Ⅰ),,,;(Ⅱ)见证明【解题分析】
(Ⅰ)分别取代入计算,,,的值.(Ⅱ)猜想,用数学归纳法证明.【题目详解】解:(Ⅰ)当时,∵,∴,又,∴,同理,;(Ⅱ)猜想下面用数学归纳法证明这个结论.①当时,结论成立.②假设时结论成立,即,当时,,∴,∴即当时结论成立.由①②知对任意的正整数n都成立.【题目点拨】本题考查了数列和前项和的关系,猜测,数学归纳法,意在考查学生归纳推理能力.20、(I)列联表见解析;(II)有.【解题分析】
(I)先根据频率分布直方图算出各数据,再结合支持“延迟退休年龄政策”的人数与年龄的统计结表求解;(II)算出观测值与3.841比较.【题目详解】(I)由统计数据填写的列联表如下:年龄低于45岁的人
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