2024届福建省福州市闽侯八中数学高二第二学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析

2024届福建省福州市闽侯八中数学高二第二学期期末质量跟踪监视模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列两个量之间的关系是相关关系的为（）A．匀速直线运动的物体时间与位移的关系B．学生的成绩和体重C．路上酒后驾驶的人数和交通事故发生的多少D．水的体积和重量2．设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M(3,0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，BF=2，则△BCFA．23 B．34 C．43．已知全集，集合,，则（）A． B．C． D．4．由命题“周长为定值的长方形中，正方形的面积取得最大”可猜想：在表面积为定值的长方体中（）A．正方体的体积取得最大B．正方体的体积取得最小C．正方体的各棱长之和取得最大D．正方体的各棱长之和取得最小5．学校新入职的5名教师要参加由市教育局组织的暑期3期上岗培训，每人只参加其中1期培训，每期至多派2人，由于时间上的冲突，甲教师不能参加第一期培训，则学校不同的选派方法有()A．种 B．种 C．种 D．种6．某学校有2200名学生,现采用系统抽样方法抽取44人,将2200人按1,2,…,2200随机编号,则抽取的44人中,编号落在[101,500]的人数为（）A．7 B．8 C．9 D．107．已知，都是实数，那么“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．函数在处的切线与直线:垂直，则（）A．3 B．3 C． D．9．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，满足，，为球的直径，且，则点到底面的距离为A． B． C． D．10．将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学等三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为（）A．150种 B．180种 C．240种 D．540种11．如图，用6种不同的颜色把图中四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（）A．496种 B．480种 C．460种 D．400种12．若焦点在轴上的双曲线的焦距为，则等于（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某校生物研究社共人，他们的生物等级考成绩如下：人分，人分，人分，人分，则他们的生物等级考成绩的标准差为________.14．已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X>2)＝____________.15．若一组数据x1，x2，x3，…，xn的总体方差为3，则另一组数据2x1，2x2，2x3，…，2xn的总体方差为_____．16．，，则__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在长方体中，底面是边长为2的正方形，是的中点，是的中点.（1）求证：平面；（2）若，求二面角的正弦值.18．（12分）若的展开式中，第二、三、四项的二项式系数成等差数列．（1）求的值；（2）此展开式中是否有常数项，为什么？19．（12分）函数（1）若函数在内有两个极值点，求实数的取值范围；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．20．（12分）已知，，求；；；设，求和：.21．（12分）已知复数z=a+bi(a,b∈R)，若存在实数t，使z=(1)求证：2a+b为定值；(2)若|z-2|<a，求|z|的取值范围．22．（10分）已知函数（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若对于任意，不等式恒成立，求实数t的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

根据相关关系以及函数关系的概念，逐项判断，即可得出结果.【题目详解】A选项，匀速直线运动的物体时间与位移的关系是函数关系；B选项，成绩与体重之间不具有相关性；C选项，路上酒后驾驶的人数和交通事故发生的多少是相关关系；D选项，水的体积与重量是函数关系.故选C【题目点拨】本题主要考查变量间的相关关系，熟记概念即可，属于常考题型.2、C【解题分析】∵抛物线方程为y2∴抛物线的焦点F坐标为(12,0)如图，设A(x1,y1)由抛物线的定义可得BF=x2+将x2=32代入∴点B的坐标为(3∴直线AB的方程为y-0-3-0将x=y22代入直线AB的方程整理得y2+(∴x1=2，∴在ΔCAA1中，∴|CB||CA|∴S△BCFS△ACF点睛：与抛物线有关的问题，一般情况下都与抛物线的定义有关，特别是与焦点弦有关的问题更是这样，“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．3、B【解题分析】

试题分析：，所以．考点：集合的交集、补集运算．4、A【解题分析】

根据类比规律进行判定选择【题目详解】根据平面几何与立体几何对应类比关系：周长类比表面积，长方形类比长方体，正方形类比正方体，面积类比体积，因此命题“周长为定值的长方形中，正方形的面积取得最大”，类比猜想得：在表面积为定值的长方体中，正方体的体积取得最大，故选A.【题目点拨】本题考查平面几何与立体几何对应类比，考查基本分析判断能力，属基础题.5、B【解题分析】

由题意可知这是一个分类计数问题.一类是：第一期培训派1人；另一类是第一期培训派2人，分别求出每类的选派方法，最后根据分类计数原理，求出学校不同的选派方法的种数.【题目详解】解:第一期培训派1人时，有种方法,第一期培训派2人时，有种方法,故学校不同的选派方法有，故选B.【题目点拨】本题考查了分类计数原理，读懂题意是解题的关键，考查了分类讨论思想.6、B【解题分析】

先求出每一个小组的人数，再求编号落在[101,500]的人数.【题目详解】每一个小组的人数为220044所以编号落在[101,500]的人数为500-10050故选：B【题目点拨】本题主要考查系统抽样，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.7、D【解题分析】；，与没有包含关系，故为“既不充分也不必要条件”.8、A【解题分析】

先利用求导运算得切线的斜率，再由互相垂直的两直线的关系，求得的值。【题目详解】函数在（1，0）处的切线的斜率是，所以，与此切线垂直的直线的斜率是故选A.【题目点拨】本题考查了求导的运算法则和互相垂直的直线的关系，属于基础题．9、C【解题分析】∵三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，PA为球O的直径且PA=4，∴球心O是PA的中点，球半径R=OC=PA＝2，过O作OD⊥平面ABC，垂足是D，∵△ABC满足AB＝2,∠ACB＝90°，∴D是AB中点，且AD=BD=CD=∴OD=∴点P到底面ABC的距离为d=2OD=2,故选C.点睛：本题考查点到平面的距离的求法，关键是分析出球心O到平面ABC的距离，找到的外接圆的圆心D即可有OD⊥平面ABC，求出OD即可求出点到底面的距离.10、A【解题分析】先将个人分成三组,或,分组方法有中,再将三组全排列有种,故总的方法数有种.选A.11、B【解题分析】分析：本题是一个分类计数问题，只用三种颜色涂色时，有C63C31C21，用四种颜色涂色时，有C64C41C31A22种结果，根据分类计数原理得到结果．详解：由题意知本题是一个分类计数问题，只用三种颜色涂色时，有C63C31C21=120（种）．用四种颜色涂色时，有C64C41C31A22=360（种）．综上得不同的涂法共有480种．故选：C．点睛：本题考查分类计数问题，本题解题的关键是看出给图形涂色只有两种不同的情况，颜色的选择和颜色的排列比较简单．12、B【解题分析】分析：根据题意，由焦点的位置可得，又由焦距为，即，再由双曲线的几何性质可得，即可求得.详解：根据题意，焦点在轴上的双曲线，则，即，又由焦距为，即，则有，解得.故选：B.点睛：本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的焦点在y轴上，先求出a的范围.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【解题分析】

先求出样本的平均数，再求出其标准差.【题目详解】这八个人生物成绩的平均分为，所以这八个人生物成绩的标准差为故得解.【题目点拨】本题考查样本的标准差，属于基础题.14、0.1【解题分析】随机变量服从正态分布，且，故答案为.15、12【解题分析】

先设这组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，则另一组数据的平均数为，再根据已知方差以及方差公式可得答案.【题目详解】设这组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，则另一组数据2x1，2x2，2x3，…，2xn的平均数为，依题意可得，所以所求方差.故答案为：.【题目点拨】本题考查了利用方差公式求一组数据的方差，关键是根据两组数据的平均数的关系解决，属于基础题.16、2【解题分析】分析：由，可得，直接利用对数运算法则求解即可得，计算过程注意避免计算错误.详解：由，可得，则，故答案为.点睛：本题主要考查指数与对数的互化以及对数的运算法则，意在考查对基本概念与基本运算掌握的熟练程度.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）【解题分析】

（1）由于长方体中，因此只要证，这由中位线定理可得，从而可得线面平行；（2）以为轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面和平面的法向量，由法向量的夹角与二面角相等或互补可得．【题目详解】（1）证明：连接，∵分别为的中点，∴∵长方体中，，，∴四边形是平行四边形，∴，∴∵平面，平面，∴平面（2）解：在长方体中，分别以为轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，∴，，，设平面的一个法向量，则，取，则同样可求出平面的一个法向量∴∴二面角的正弦值为.【题目点拨】本题考查线面平行的证明，考查用空间向量法求二面角．本题属于基础题型．18、【解题分析】试题分析：（1）根据二项式定理可知，展开式中的每一项系数即为二项式系数，所以第二项系数为，第三项系数为，第四项系数为，由第二、三、四项系数成等差数列可有：，即，整理得：，解得：，因此，；（2）的展开式中的通项公式为，展开式中的常数项即，所以，与不符，所以展开式中不存在常数项。本题主要考查二项式定理展开式及通项公式。属于基本公式的考查，要求学生准确掌握公式，并能熟练运用公式解题。试题解析：（1）由，得：；化简得：，解得：，因此，（2）由，当时，，所以此展开式中不存在常数项．考点：1．二项式定理；2．等差中项。19、（1）或．（2）【解题分析】

（1）先对函数求导、然后因式分解，根据函数在在内有两个极值点列不等式组，解不等式组求得的取值范围.（2）先对函数求导并因式分解.对分成三种情况，利用的单调性，结合不等式在上恒成立列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【题目详解】解：（1）由题意知，．有得：或．（2）．①当时，，符合题意．②当时，令，得或，此时函数的增区间为，减区间为．此时只需：解得：或，故．③当时，令，得或，此时函数的增区间为，，减区间为，此时只需：解得：，故，由上知实数的取值范围为．【题目点拨】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间、极值，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，综合性很强，属于难题.20、（1）－2；（2）；（3）【解题分析】

（1）令求得，令求得所有项的系数和，然后可得结论；（2）改变二项式的“－”号为“＋”号，令可得；（3）由二项展开式通项公式求得，再得，变形，然后由组合数的性质求和．【题目详解】（1）在中，令，得，令，得，∴；（2）由题意，令，得；（3）由题意，又，∴，∴，∴．【题目点拨】本题考查二项式定理，考查赋值法求系数和问题，考查组合数的性质及二项式系数的性质．解题时难点在于组合数的变形，变形后才能求和．21、（1）详见解析；（2）(22【解题分析】

(1)由条件利用两个复数代数形式的乘除法，两个复数相等的充要条件，求得2a+b=6，从而可以证得结论。(2)由|z-2|<a，可得0<a<2，或a>5；再根据|z|=5a2【题目详解】(1)因为复数z=a+bi(a、b∈R)，若存在实数t使则ta-tbi=2+(4-3at2)i，可得ta=2，-tb=4-3a化简可得2a+b=6，即2a+b为定值．(2)若|z-2|<a，则(a-2)2+b2化简可得(a-2)(a-5)>0，求得0<a<2，或a>5．而|z|=a当0<a<2时，|z|∈(22,6)；当a>5时，综上可得，|z|的取值范围为(22【题目点拨】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相等的充要条件，二次函数的性质，属于基础题．复数