人教版八年级数学上册第15章《分式》全部教案（共12课时）

15.1.1《从分数到分式》教案

一、教学目标

（一）知识与技能：1.了解分式的概念，能判断一个代数式是否为分式，会求分式的值；2.理

解当分母不为零时分式才有意义，在分式有意义的条件下，会求分式的分母中所含字母的取

值范围，会确定分式的值为零的条件.

（二）过程与方法：经历与分数类比学习分式的过程，养成缜密的思维习惯，形成类比思想,

体验数学的价值.

（三）情感态度与价值观：通过类比思考，揭示分式有意义的条件，在实际操练中掌握分式有

意义的条件，体验解题成功带来的愉悦感.

二、教学重点、难点

重点：了解分式的概念，确定分式有意义的条件.

难点：确定分式有意义的条件，分式的值为零的条件.

三、教学过程

回顾与思考

1.下列两个整数相除如何表示成分数的形式：

3+4=10+3=12+11=-7+2=

2.在代数式中，整式的除法是否也能类似地表示？试用类似分数的形式表示下列整式的除

法：

（1）90+x可以用式子（）来表示；60+（厂6）可以用式子（）来表示.

（2）n公顷麦田共收小麦m吨，平均每公顷产量可以用式子（）吨来表示.

章前引言

一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h,它以最大船速沿江顺流航行90km所用时间,

与以最大航速逆流航行60km所用的时间相等，江水的流速是多少？

如果设江水的流速为vkm/h,则轮船顺流航行90km所用时间为h,逆流航

行60km所用时间为h,由方程可以解出v的值.

思考

填空：

（1）长方形的面积为10cn?,长为7cm,则宽为—cm：长方形的面积为S,长为m宽

应为.

(2)把体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2的圆柱形容器中，则水面高度为,

把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，则水面高度为.

分式

十二SVm906090旦•，有什么共同点？它们与分数有什么

可于——，一，—,—，-----，------

aSnxx-6030+v30-v

相同点和不同点？

可以发现，这些式子与分数一样都是4(即A+B)的形式.分数的分子A与分母B都

B

是整数，而这些式子中的A,B都是整式，并且B中都含有字母.

一般地，如果A,B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子鸟叫做分式.分

B

式4中，A叫做分子，B叫做分母.

B

(1)分式是不同于整式的另一类式子.

(2)分母中含有字母是分式的一大特点.

(3)分式比分数更具有一般性.例如，分数2仅表示2+3的商，而分式土既可以表示2+3,

3y

又可以表示(-5)+2,8+(-9)等.

下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？

m{n+p)，一孙+/24

5x-7,3X2-1,―—―，，-5,-一,

2。+172x-\75b+c

JJJj

整式整式分式整式整式分式整式分式

整式与分式的区别：整式的分母中不含字母，而分式的分母中含有字母.

有理式

整式和分式统称为有理式.有理式

［分式

思考

我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为0.要使分式有意义，分式中的分母

应满足什么条件？

分式的分母表示除数，由于除数不能为0,所以分式的分母不能为0,即当BW0时，

分式4才有意义.

B

例1下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？

(1)—(2)上(3)—(4)山

3xx-\5-3bx-y

解：(1)要使分式2有意义，则分母3xW0,即xWO；

3x

⑵要使分式上有意义，则分母x-IWO,即xWl：

x-\

⑶要使分式」一有意义，则分母5-3匕¥0,即8W』：

5-3b3

(4)要使分式已有意义，则分母尸了*0,即x#y.

x-y

如无特别声明，本章出现的分式都有意义.

练习

1.列式表示下列各量：

(1)某村有〃个人，耕地40hm2,人均耕地面积为hm2.

(2)4ABC的面积为S,BC边长为a,则高AD为____.

(3)一辆汽车人h行驶akm,则它的平均车速为一km/h.一列火车行驶akm比这辆汽

车少用1h,则它的平均车速为km/h.

2.下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？两类式子的区别是什么？

1X42a-5Xm-nx2+2x+lc

x33b3+5'3x2-y2，m+nx~—2,x4-13（。—/?）

JJjJjJJ

分式整式分式整式分式分式分式分式

3.下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？

(1)-(2)四(3)上一(4)—(3)如W(4)-2—

ax-\3雨+2x-y3a-bx-1

解：(1)当分母nWO时，分式2有意义；

a

⑵当分母x-IWO,即xWl时，分式把1有意义；

x-i

(3)当分母3/M+2W0,即机W-时，分式一也L有意义；

3"7+2

(4)当分母方yWO,即xWy时，分式有意义；

x-y

(5)当分母3a"W0,即人W3a时，分式网业有意义；

3a-b

(6)当分母f-IWO,即xW±l时，分式--有意义.

x2-l

课堂小结

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

四、教学反思

本节采取的教学方法是引导学生独立思考、小组合作，完成对分式概念及意义的自主探

索；通过“课后练习应用拓展”这一环节发展了学生思维，巩固了课堂知识，增强了学生实

践应用能力.提出问题让学生解决，问题由易到难，层层深入，既复习了旧知识又在类比过

程中获得了解决新知识的途径.在这一环节提问应注意循序性，先易后难、由简到繁、层层

递进，台阶式的提问使问题解决水到渠成.

15.1.2《分式的基本性质》教案

一、教学目标

（一）知识与技能：1.了解分式的基本性质，体会类比的思想方法；2.掌握分式的约分，了解

最简分式的概念.

（二）过程与方法：经历对分式基本性质及符号法则的探究过程，通过分式的恒等变形提高学

生的运算能力，渗透类比转化的数学思想方法.

（三）情感态度与价值观：在探究中获得一些探索性质的初步经验，感受成功的快乐，体验解

决数学问题的过程，有克服困难的勇气，具备学好数学的信心.

二、教学重点、难点

重点：使学生理解并掌握分式的基本性质，这是学好本章的关键.

难点：灵活运用分式的基本性质和变号法则进行分式的恒等变形.

三、教学过程

复习提问

1.下列各式中，属于分式的是（）

Ax+12„1a

A.----DB.----C.—x2+yDn.—

2x+122

2.当x一时，分式5.有意义.

x—2

3.当x―时，分式也的值为零.

x-2

温故而知新

（1）』=•!•的依据是什么？

62

分数的基本性质：

一个分数的分子、分母乘（或除以）同一个不为0的数，分数的值不变.

（2）由分数的基本性质可知，如果数cWO,那么2=至，生=a.

33c5c5

一般地，对于任意一个分数4，有@="，@=±i£（cW0）,其中a,b,c是数.

bbb»cbb+c

思考

类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？

分式的基本性质：

分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变.

4=4二C,4=生£（（；彳0）其中人，B,c是整式.

BB・CBB+C

例2填空:

x3()3x2+3xyx+y

⑴/1X—=---------，----------%—=------(2)==-~~-(^^0).

孙y6x()aha~ha~a~b

看分母如何变化，想分子如何变化.看分子如何变化，想分母如何变化.

解(])x3_%34-x_x23x2+3xy_(3f+3孙)+(3%)_x+y

xyxy-^-xy6x26x2+(3x)2x

Ia2a-bQa-b)•b2ah-b~

(2)—=----=---，-=--------------=-----m----

ahab»aa~baa~*ba'b

思考

联想分数的约分，由例2你能想出如何对分式进行约分吗？

与分数的约分类似，在例2（1）中，我们利用分式的基本性质，约去3—十?群的分子和

6厂

分母的公因式3x,不改变分式的值，把+产V化为山.像这样，根据分式的基本性质，

6x22X

把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.经过约分后的分式虫，其分

2x

子与分母没有公因式.像这样分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.

分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使得结果成为最简分式或者整式.

例3约分：

（I）-25a2bc3Q）_—96x2-12xy+6y2

15ab2cx2+6x+93x-3y

分析：为约分，要先找出分子和分母的公因式.

解（］）-25a2be3_5abc•5ac2_5ac2

I5ah2c5abe•3b3b

%2—9（x+3）（九一3）x—3

\2,）------------------------------=------

x2+6x+9（x+3）2x+3

（如果分子或分母是多项式，先分解因式对约分有什么作用？）

⑶6』-12母+6y2=^^

3x-3y3（x-y）

思考

联想分数的通分，由例2你能想出如何对分式进行通分吗？

与分数的通分类似，在例2（2）中，我们利用分式的基本性质，将分子和分母同乘适当

的整式，不改变分式的值，把,和丝辿化成分母相同的分式.像这样，根据分式的基本

aba

性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.

例4通分：

(1)3与E(2)二与三

2abctb"cx-5x+5

分析：为通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次塞的积作公分

母，它叫做最简公分母.

解：(1)最简公分母是.

3_3-bc_3>bca-b_(a-b)»2a_2a2-2ab

2a2b2a2b•be2a2b2c'ab2cab2c•2a2a2b2c

(2)最简公分母是.

2x_2x(x+5)_2x2+1Ox3x_3x(x-5)_3x2-15x

x-5(x-5)(x+5)x2-25x+5(x+5)(x-5)x2-25

思考

分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的根据是什么？

它们的共同点:

1.分子和分母同乘(或除以)的都是同一个数或整式;

2.并且同乘(或除以)不能是0.

根据:

分数的通分和约分根据的是分数的基本性质:

分式的通分和约分根据的是分式的基本性质.

练习

1.约分：

22

2bc⑵(x+y)y⑶x?+初

(1)⑷…2

acxy2(x+y)2

X

解:(1)原式=竺(2)原式=且(3)原式=亚型=

axy(x+y)x+y

原式=/一丁=(x+y)(x-y)=x+y

(4)

’(x-»x-y

2.通分：

王与2(2)至与竺(3)⑷2孙与x

(1)与y

abbebd4/ra(x+2)b(x+2)0+y)2x2-y2

解：⑴最简公分母是He.二=旦，2=旦

ababcbeabc

⑵取简公分母是皿・加市・4厂*’4从=画屋

(4)最简公公母臬〃人(丫+9)X.

耳日」Zx刀ClU\X~^).一，y

a{x+2)ah(x+2)b(x+2)ah(x+2)

(4)最简公分母是(x+y)2(尸y).

2xy_2xy(x-y)_2x2y-2xy2x_x(x+y)_x1+xy

(x+y)2(x+y)2(x-y)(x+y)2(x-y)'x2-/(x+y)2(x-y)(x+y)2(x-^)-

课堂小结

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

四、教学反思

本节课的流程比较顺畅，先探究分式的基本性质，然后顺势探究分式变号法则.在每个

活动中，都设计了具有启发性的问题，对各个知识点进行分析、归纳总结、例题示范、方法

指导和变式练习，一步一步的来完成既定目标，整个学习过程轻松、愉快、和谐、高效.

15.2.1.1《分式的乘除》教案

一、教学目标

（一）知识与技能：1.会通过类比的方法来理解和掌握分式的乘除法法则；2.熟练运用分式乘

除法法则，将分式乘除法全部化归为分式乘法进行计算.

（二）过程与方法：经历探索分式的乘除法运算法则，通过类比分数的乘除法法则，提高联想

能力和推理能力.

（三）情感态度与价值观：通过化除为乘，体会化归的思想方法，尝试在数学活动中获得成功

的喜悦，树立自信心.

二、教学重点、难点

重点：分式的乘除法法则的运用.

难点：进行分式的乘除运算.

三、教学过程

两个问题

问题1一个水平放置的长方体容器，其容积为V,底面的长为m宽为6,当容器内的水占

容积的％时，水面的高度为多少？

n

长方体容器的高为：—

ab

水面的高度为：—（分式乘法）

abn

问题2大拖拉机m天耕地ahn?,小拖拉机n天耕地bhm2,3大拖拉机的工作效率是小

拖拉机的工作效率的多少倍?

大拖拉机的工作效率是—hn?/天，小拖拉机的工作效率是—hn?/天，大拖拉机的工

作效率是小拖拉机的工作效率的（0+2）倍.（分式除法）

mn

根据分数的乘除法的法则计算：

24_2x4_82^4_252x55

3X5-3^5-153^5~3X4-3^4-6

【分数的乘除法法则】

两个分数相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.

两个分数相除，把除式的分子分母颠倒位置后，再与被除式相乘.

想一想

acac

—x——o•f—；—=.o.

bdbd

【分式的乘除法法则】

乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.

除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.

-a•ca»cac=a—•~d~~_a*d.

bdb^dbdbcb，c

例1计算：

(i)生・名(2)”+卫i

3y2x32c~4cd

解：⑴士・々=*3

3y2x36x3y3x~

小aby—5a2b2cib7,4cd4ab3cd2bd

2c2-4cd-2c2_5a2b2-\Oa2b2c2-5ac

运算结果应化为最简分式.

例2计算：

//-4。+4a-\11

⑴-------——⑵-----7--9----

。2—2。+1。2-449-m"m~-Im

2

Q2-4Q+4.a-\2y.a-\_(a-2)(a-\)_a-2

cr—2n+1〃“一4(a—1)~(〃-2)(Q+2)(a—1)?3—2)(a+2)(a—l)(a+2)

m

⑵

49-nrnr-7m击…7吁瑞高"7+7

例3如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为am(“>1)的正方形去掉一个边长为1m的

正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号，'小麦的试验田是

边长为(“T)m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500

kg.

(1)哪种小麦的单位面积产量高？

(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？

解：(1)“丰收1号”小麦的试验田面积是Q2-l)m2,单位面积产量是

500

号”小麦的试验田面积是(a-1)2m2,单位面积产量是kg/m2.

(a-1)2

'：a>\

：.(a-1)2>0,a2-l>0

由上图可得(a-l)2<a2-l

....500<^00^)即丰收2号小麦的单位面积产量高.

a2-l(“-I)?

(Va>1,/.(6Z-1)2-(a2-1)=((r-2a+1)-(a2-1)=-2(t?-1)<0,即<(a2-1))

Arj/c、500500500u~—1(a+l)(a—1)a+1

3-1)2a2-l(a-1)2500(«-1)2a-1

a+\

所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的倍.

一

练习

1.写出本节中问题1和问题2的计算结果.

勒门日否［VmmV门反而cabanan

解：问题1：一•—=---，问题2：—+—=—•一=——

abnabntnnmbmb

2.计算：

⑴网.譬(2)四十8卷(3)(-3孙)+支(4)立2.1

4b9a25a3xx-yx+y

解：(1)原式=9(2)原式=2・'-=上

3a5a10ar

⑶原式=(-3叶)・卫7=-"⑷原式=T

'2y2y

3.计算:

/八3a-3h25a2b3小4y2-x2x-2y

(1)—;~~-r(2)—5-^------7+--~"—

\Oabcr-b~x2+2xy+y2x2+2xy

解：(D原式=—75"7'(4一初=15。一..

\Oab(a+b)(a—b)2a+2b

4y2-x22x2+2xy>(2y+x)(2y-x)2x(x+y)2x(2y+x)4xy+2x2

⑵原式=可)-----z-.---------=------刍---•-------=----------=----------

x+2xy+yx-2y(x+y)~x-2yx+yx+y

课堂小结

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

四、教学反思

本节是从分数的乘除法则的角度引导学生通过观察、探究、归纳总结出分式的乘除法则.

这种温故而知新的做法不仅有利于学生接受新知识，而且能体现由数到式的发展过程.在

学生得出分式的乘除法则时，要求他们分别用文字和式子两种形式进行表述，这样不仅加深

了学生对法则的理解，而且锻炼了他们的数学表达能力.为了进一步加深学生对基本法则

的理解和运用，又由浅到深设计了一些练习题，这样学生就会把所学的知识融会贯通.

15.2.1.2《分式的乘方》教案

一、教学目标

（一）知识与技能：理解分式乘方的运算法则，熟练地进行分式乘方的运算.

（二）过程与方法：通过类比的思想来学习分式乘方的运算.

（三）情感态度与价值观：在合作探究的过程中，培养学生的类比，归纳能力.

二、教学重点、难点

重点：熟练地进行分式乘方的运算.

难点：熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算.

三、教学过程

复习巩固

1.下面的计算对吗？如果不对，应该怎样改正？

⑴匚・学=迎X⑵竺+e=2X

解：原式=-3解：原式=生・兰=竺

x3aa36r

2.计算：(取一工2)+：^_

孙

解：原式二My-x).-=f2y

x-y

判断下列解答的正误：计算：/+6•1

b

解：原式=〃2+1=n2,此解法是否正确？错误

错因分析：上述解法是先算乘法后算除法，属于运算顺序错误，事实上，对不含括号乘除混

合运算应该从左到右的顺序计算.

正确解答是：解：原式=4•1.1=4

bbb1

例4计算

2x3x

5X-3^25X2-9,5X+3

解2x,3.x_2x.(5x+3)(5%-3).x_lx1

5x-325x2-95x+35x-335x+33

乘除混合运算可以统一为乘法运算.

回顾与思考

。"表示的意义是什么？其中。表示什么？〃表示什么？

a"是指〃个〃相乘，读作a的八次方或(a的〃次惠)；

a表示底数，”表示指数.

am•a"=(a"')n=(ab)n=

计算：(-3)2=—(a-23)2=

〃中的a可以是数，也可以是整式，那a可不可以是一个分式呢？即两个整式的商的〃次

方？

思考

根据乘方的意义和分式乘法的法则，可得:

令器三即图4

一般地，当，？是正整数时，

)bb

这就是说，分式的乘方要把分子、分母分别乘方.

例5计算：

(r-lcrb)14fl4/>2

解：⑴

(3c)2~9c2

/b丫2〃/°丫九32a.c1a%'、c1_a3b3

-cd3)，了,［五J=—c3d9一下,彳=—c3d§•五•#=一奇

式与数有相同的混合运算顺序，先乘方，再乘除.

练习

1.计算：

⑴2Mn.5p2q5mnp⑵16-tz267-4^a-2

2

3Pq24/加3qa+8a+162a+8a+2

解：⑴原式=吟•坐•乌一

3Pq4/TWT5mnp2n"

⑵原式二(4+a)(4-a).2(a+4).a-2__-2(a-2)_4-2〃

(a+4)~a—4a+2a+2a+2

2.计算：

解：⑴原式=除8x12/

27z3

4a2"6a4-27c34a渺6n4-27?18//

(2)原式=426

kFbhcd*-p-*b

课堂小结

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

四、教学反思

在分式乘方的教学中，通过回忆乘方的定义，让学生利用乘方的定义和分式的乘除法则

进行一些具体的计算，进而归纳出分式的乘方法则，再通过一组练习加深对乘方法则的理解

和应用.本节课知识点较多，对运算法则的推理过程占了相当多的时间，因此，对基本法则

的理解和熟练程度还有待在后续的练习中予以加强.

15.2.2.1《分式的加减》教案

一、教学目标

（一）知识与技能：1.理解掌握异分母分式加减法法则，类比分数加减法计算；2.能正确熟练

地进行同分母分式加减和异分母分式的加减运算.

（二）过程与方法：在课堂活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，渗透类比、化归数学

思想方法.

(三)情感态度与价值观：在合作探究的过程中，激发学生学习数学的兴趣，重视在学习过程

中对学生的数学能力培养.

二、教学重点、难点

重点：运用分式的加减法则进行运算.

难点：异分母分式加减的运算(异分母转化为同分母).

三、教学过程

从分数所想到的……

-1-1--2=-5----2--

55—77—

你认为3=_以士—

CCCC

【同分母分数加减法的法则】同分母分数相加减，分母不变，把分子相加减.

同分母加减

【同分母分式加减法的法则】同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减.

计算下列各题：

5x+3y2x⑷x+3>_x+2y+2x-3y

x2-y2x2-yx-yx-yx-y

xxxx

小a2a3aa+2a-3a0八

⑵------1-------------=------------=-----=U

b+1b+lb+16+1b+1

小5x+3y2x5x+3y-2x3x+3y3(x+y)3

(3)-972~一7-—0T~—7-

x-yx~-yx~-yx-y(x+y)(x-y)x-y

⑷x+3y_x+2y+2x-3y=(x+3y)-(x+2y)+(2x-3y)=2x-2y=2(x-y)=2

x-yx-yx-yx-yx-yx-y

(1)注意分数线有括号的作用，分子相加减时，要注意添括号.

(2)把分子相加减后，如果所得结果不是最简分式，要约分.

异分母转化

异分母的分式黔一同分母的分式

a4a转化

小明认为，只要把异分母的分式化成同分母的分式，异分母分式的加减问题就变成了同

分母的加减问题.小亮同意小明的这种看法，但他俩的具体做法不同.

311二3・4a]a3।1=3x4।1

a4〃一。，4〃4a*aa4Ga*44a

_12aa_13g_1312,113

4a24/4〃24a二赤+而二而

O

小明F小亮

你对这两种做法有何评论？

异分母加减

【异分母分式加减法的法则】异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.

生嗯士徐曙异分母的分式算一同分母的分式

异分母分式通分时，通常取最简公分母作为它们的共同分母.

计算下列各题:

11

⑴------H--------⑵高

2P+342p-3q

解:-------F------

2P+3,2p-3q

2p-3q2〃+3g_2〃-34+2〃+3g_4〃

Qp+3q)Qp-3q)+Qp+3q)Qp-3q)=Qp+3q)Qp-3q)=4p2-9^2

4P

结果也可以写成

(2p+3g)(2p-3q)

⑵---a-2

。+2

4m+2)4_(a+2-4一，+4Q+4)/+4。

-----(6/4-2)=

4+2a+21。+2々+2。+2a+2

对于式子中出现的整式，可以把它看成分母是“1”的分式.

综合运用

问题3甲工程队完成一项工程需几天，乙工程队要比甲队多用3天才能完成这项工程，

两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？

解：甲工程队一天完成这项工程的」，乙工程队一天完成这项工程的」一，两队共同工作

n〃+3

一天完成这项工程的工+—L=」"+—^―=且二.

n拉+3n{n4-3)n(n+3)n(n+3)

问题42009年、2010年、2011年某地的森林面积(单位:kn?)分别是S”S2,S3,2011年

与2010年相比，森林面积增长率提高了多少？

解：2011年的森林面积增长率邑二邑，2010年的森林面积增长率是区二工，2011年与2010

S,S,

年相比，森林面积增长率提高了

邑

练习

(1)-4-+-^-

2c2d3c)2m-n(2m-n)2a2-b2a+h

2c3d+2c

解：（1）原式二-----------1----------------------

6c2d26c2d26c2d

12

（2）原式=

2m-n2m-n

a-bb

（3）原式二

a2-b2a2-b2a2-h2

/八w*a~i、era~

(4)原式=-----z(a+1)=-----------=----

a-\a-\a-\a-\

课堂小结

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

四、教学反思

从分数加减法引入，类比得出分式的加减法，最关键的是法则的探究，重点是法则的运

用，易错点是分母互为相反数，要化成同分母分式，在这个过程中要注意变号.学生在教师

的指导下，先独立进行自学，自己解决不了的问题在小组内讨论交流进行解决.

15.2.2.2《分式的混合运算》教案

一、教学目标

（一）知识与技能：能准确、熟综地进行分式的加减、乖除运算.

（二）过程与方法：通过对分式混合运算的学习，提高学生的计算能力和分式的应用能力.

（三）情感态度与价值观：在分式运算过程中培养学生具有一定代数化归的能力，培养学生乐

于探究、合作交流的习惯，进一步培养学生“用数学的意识”.

二、教学重点、难点

重点：掌握分式加减乘除法的法则，并会运用法则进行分式加减乘除法的计算.

难点：能够运用分式加减乘除法则来解决混合运算的实际问题.

三、教学过程

复习巩固

1计.算:言+金的结果是-

10%5

2.计算:-----+-----的结果是

2x—11—2x

任二汉+立片的结果是_______

3计.算:

2xy2xy

4•分式J的最简公分母是（）

A.xB.x3C.12xD.12X3

计算：⑴官』

解：⑴原式二嵩hr3公r胃尸=三

2aa+2_2。一(。+2)_a-2_1

（2）原式二

3—2)(a+2)(a-2)(a+2)(々-2)(a+2)(a—2)(〃+2)a+2

例7计算：俘

\b)a-bb4

解：原式=叱._!__0.4=」^__色=_4a5-。)

b2a-bbbb2(a-b)b2b2(a-b)b2(a-b)

_4a2-4a2+4ab_4ab_4a

kr{a-b)b2(a-b)ab-b1

式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减.

例8计算：(1)(m+2+-^—]•包二&(2)(4%——二」一]十±3

I2-mJ3-m厂―4x+4jx

解：(i)原式=(，，?+2)(2-，〃)+5.2，”4=”史・2(〃?-2)

2—m3-m2—m3—m

(3—m)(3+机)-2(2-〃z)

=------------•---------=-2(m+3)

2-7773-m

(2)j亨式—x+2x-11x_(x+2)(x-2)-(x-l)xx

'*x(x-2)(x-2)2Jx-4x(x-2)2x-4

练习

解：⑴原式=£・上-=•二=二-三=空一”=心£

4y2lxy12y2Sy2y48/8/8y4

(2)原式-x+1.4x~(%+1)—(x-1)4x24x2—4x—2

1x(x+1)2(x+l)(x-l)x+1(x+l)(x-l)x2+1

课堂小结

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

四、教学反思

在学习这部分内容时，可以根据学生的具体情况，适当增加例题和习题，让学生熟练学

握分式的运算法则并提高运算能力.但与整式、分数的运算相比，分式的运算步骤多，符号

变化复杂，所以在增加例题和习题时，要注意控制难度，特别是不要在分子、分母的因式分

解上增加难度.关键是让学生通过基本的练习，弄清运算依据，做到步步有据，降低计算的

错误率.

15.2.3.1《整数指数塞》教案

一、教学目标

(一)知识与技能：1.理解和掌握负整数指数幕的意义；2.能熟练运用整数指数幕运算性质进

行运算.

(二)过程与方法：I.通过观察、思考，推理、总结得出负整数指数幕的意义；2.体验利用负

整数指数累进行乘除法的转化.

(三)情感态度与价值观：启发学生通过独立思考、小组交流、自主发现问题来分析和解决问

题，从而提高学生学习主动性、积极性和学习数学的兴趣，鼓励学生在小组交流中敢于，积

极的发表自己的看法，积极的参与到与同学的讨论和学习中去.

二、教学重点、难点

重点：理解负整数指数幕的意义，掌握运算性质.

难点：理解负整数指数幕的产生过程和意义.

三、教学过程

情境导入

从前，有一个“聪明的乞丐”，有一次他讨了一块大面包.他想，如果我第一天吃这块

面包的一半，第二天再吃剩下的一半,……依次每天都吃前一天剩余面包的一半，这样下去，

我就永远不用再去讨饭了.你能知道第十天，他将吃到多少面包吗？他的想法对吗？

算一算：

第1天：第2天：即工；第3天：4,即L…

2224238

第10天：』；即」一；第30天：4-;即——-——；

2,°10242301073741824

复习巩固

当n是正整数时，an=a•a....a

正整数指数幕有以下运算性质：

(1)cf1,an=am+n(/w,〃是正整数);

(2)是正整数)；

(3)(ab)n=(fbn(〃是正整数);

(4)am^an=a,n-n(a^O,m,〃是正整数且相＞应；

(5)(£)“=£(〃是正整数).

此外，当时，«°=1(0指数幕的运算).

思考

am中指数m可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幕am表示什么？

做一做，你发现了什么？。3+«5=?

1

TIm工o)^a21

a

是正整数时，武=去（40）.这就是说，a

一般地，当n（aWO）是a"的倒数.

-_1

例如：a'=-5=

a"71

引入负整数指数'幕后，指数的取值范围就扩大到全体整数.

你现在能说出当m分别为正整数、0、负整数时，am各表示什么意思吗？

am（m是正整数）

a1"="1（〃?=0,且awO）

（“是负整数，且aw0）

.a

思考

引入负整数指数和0指数后，a"1•a"=产"（m,"是正整数）这条性质能否推广到〃?,

n任意整数的情形？

/・/=金二=/=/句，即a，.a-5=/MT)

aa

d即不―

a'•a~5=1•J=二=a-—a0+(-5)即/.4-5=4。《叫

归纳

am-a"=am+"这条性质对于相，”是任意整数的情形仍然适用.

整数指数基有以下运算性质:

（1）{tn,"是整数）；

（2）（""）"="""（〃?，〃是整数）；

⑶（加『如（〃是整数）；

（4）（"W0,相，〃是整数）；

⑸（〃是整数）.

\h）h

（6）当a#0时，a°=l（0指数基的运算）.

例9计算:

⑴a'2-^-a5(2)(勺)

(3)(.a'b2)3(4)a2b2•(a2/?-2)-3

(1)a2^-a5=a'2'5=a1=-^-

解:

a

⑵

(/匕。-匕

⑶2)3=36=4

a

(4)a'2b2,(a2b'2)'3-a2b2,a_6/?6=a-8i>8=

ax

当"?，〃为整数时，<f,^(f=amn,am•an=a",+[-n)=an-",因此a"+a"=d"",即同底数塞的除

法可转化为同底数幕的乘法特别地，^=a^b=a-b',所以(')=(。法“)"，

即商的乘方可以转化为积的乘方(。-b-'y.这样，整数指数塞的运算性质可以归结为：

(1)""•/=*"(/«,〃是整数);(2)(〃7,〃是整数)；(3)(ab)n=a"bn(〃是整

数).

练习

L计算：

(1)3°=_,3?=_；(2)(-3)°=—,(-3)2=_；(3)卬=—,b2=—(6W0).

2.计算：

⑴x2/3G"y)3(2)(2加c,3)-2((a%)3

解：⑴原式二fy3•炉,3二%-iy。」

X

⑵原式=(-a%%6)+06M=1=

444b7

课堂小结

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

四、教学反思

整数指数累是在学生学习了分式的基本性质及乘除法之后的教学,在复习累的有关运算

性质后提出问题“累的这些运算性质中指数都要求是正整数，如果是负整数又表示什么意义

呢？”通过提问让学生寻找规律，猜想出零指数幕和负整数基的意义，不但调动了学生学习

的积极性，而且印象更深，当然也达到了课堂的预期效果.

15.2.3.2《用科学记数法表示绝对值小于1的数》教案

一、教学目标

（一）知识与技能：理解和掌握绝对值小于1的数用科学记数法表示的方法.

（二）过程与方法：经历绝对值小于1的数用科学记数法表示的探究过程，体会负整数指数幕

的应用.

（三）情感态度与价值观：培养观察、迁移、交流的意识，形成良好的学习态度，感悟数学的

演绎推理的价值.

二、教学重点、难点

重点：掌握用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法.

难点：学会正整数指数与负整数指数用于科学记数法的区别.

三、教学过程

复习

1.用科学记数法表示下列各数：

（1）光速约为300000000米/秒；

（2）太阳半径约为696000千米；

（3）目前世界人口约为7600000000.

2.如何用科学记数法表示一个数？

像上面这样，把一个大于10的数表示成“X10”的形式（其中10,〃是正整数），

使用的是科学记数法.

3.用科学记数法表示下列各数：

300000=.；-5230000=；12600=.

预备知识

4-"='（"六0,"是正整数）

an

10°=____,10"=____,10-2=,10-3=,10-4=

一般地，10-"=’-=.（〃是正整数）

10w

因此，0.000-01=___.（〃等于第一个非0数前面所有0的个数）

―芯0’

尝试：我们已经知道一些较大的数适合用科学记数法表示，例如：65300000=6.53X107.你

能利用10的负整数指数累，将以下较小的数表示成类似形式吗？

0.01=_____；0.000001=；

0.0000257=2.57X___=；

0.000000125=1.25X=.

小于1的正数可以用科学记数法表示为aX10-"的形式，其中lWa<10,"是正整数.

这种形式更便于比较数的大小，例如2.57X10-5显然大于2.57X10-8,前者是后者的1()3倍.

类似的：-0.0000000135=-!.35X10'8.

学以致用

用科学记数法表示下列各数：

(1)0.00016；

(2)-0.00000562；

(3)0.0000000102；

(4)某种细胞的直径约为百万分之一米；

(5)某种新型高速计算机的存储器完成一次存储时间大约为十亿分之一秒.一

思考

对于一个小于1的正小数，如果小数点后至第一个非0数字前有8个0,用科学记数法

表示这个数时，10的指数是如果有相个0时，10的指数是一.

例10纳米(nm)是非常小的长度单位，lnm=10-9m.把inn?的物休放到乒乓球上，就如同把

乒乓球放到地球上.Imn?的空间可以放多少个Inn?的物休(物体之间的间隙忽略不计)?

解：lmm=l(y3m,lnm=1